Similitude et déplacement

« Exemples d'isométries B' B" B D • ABCD --+ A'B'C'D': rotation de centre 0 et d'angle rr./4 (45") • A'B'C'D' --+ A"B"C"D" : translation T de vecteur u • ABCD--+ A''B"C"D" : composée deR et de T (et inversement) le point M'tel que : • 0 est la médiatrice du segment [MM1.

si M n'appartient pas à 0, • M'= M, si M appartient à O.

Soit 0 une droite du plan et u un vecteur directeur de O.

On appelle symétrie glissée d'axe 0 et de direction u, la transformation qui est ~-----------"T"" __________ ___, la composée de la symétrie axiale d'axe image le milieu l'du segment [A'B1.

image de [AB] par f, •les aires, • les barycentres .

Toute similitude est la composée d'une isométrie et d'une homothétie de même rapport.

Réciproquement la composée d'une isométrie et d'une homothétie est une similitude.

La transformation vectorielle associée à une isométrie f, appelée isométrie vectorielle, conserve le produit scalaire.

C'est-à-dire que : f(u)f(v) = üV Parmi les isométries, on distingue deux cas : les déplacements et les antidéplacements.

En effet, toute isométrie est soit un déplacement, soit un antidéplacement IHFIIIITIOII Un déplacement est une isométrie qui conserve les orientations.

Cela signifie donc qu'il conserve les distances et les angles orientés .

Un déplacement est une similitude directe de rapport de similitude k = 1.

Un antidéplacement est une isométrie qui ne conserve pas les orientations.

Cela signifie donc qu'd conserve les distances mais inverse les angles orientés.

Un antidéplacement est une similitude indirecte de rapport de similitude k = 1.

Les déplacements et les antidéplacements possèdent toutes les propriétés des similitudes directes et indirectes respectivement et des isométries.

Col!pOSitlotls • La composée de deux déplacements est un déplacement • La composée de deux antidéplacements est un déplacement • la composée d'un déplacement et d'un antidéplacement est un antidéplacement.

De même, la composée d'un antidéplacement et d'un déplacement est un antidéplacement.

IK!pnque • les déplacements et les antidéplacements sont bijectifs.

• La réciproque d'un déplacement est un déplacement • la réciproque d'un antidéplacement est un antidéplacement DesalptiOII les déplacements sont le résultat d'un glissement du plan sur lui-même.

les seuls déplacements du plan sont la translation, la rotation, l'Identité du plan.

les antidéplacements sont le résultat d'un glissement du plan composé avec un retournement du plan sur lui-même.

Ce sont donc les symétries axiales et les symétries glissées .

Une translation de vecteur u est la transformation géométrique qui, à tout point M du plan , fait correspondre le point M'tel qu'on ait l'égalité vectorielle MM'=u .

Soit R un point du plan et a un angle orienté .

La rotation de centre R et d'angle a est la transformation géométrique qui, à tout point M du plan, associe le point M'tel que : • M'=M si M=R.

• RM = RM' et (RM ; RM1 =a sinon (c'est-à-dire siM,.

R).

IJIIIIRd DU lUlli l'identité est une transformation géométrique qui transforme un point M en lu~même.

l'image de la figure est elle-même.

C'est une translation de vecteur nul, une rotation d'angle nul...

SYIItœE AIIAII Soit D une droite du plan.

La symétrie axiale d'axe D est la transformation géométrique du plan, par laquelle tout point M a pour image 0 et de la translation de vecteur u.

l'image d'un point M est donc obtenu en effectuant d'abord la symétrie orthogonale d'axe 0 puis la translation de vecteur u (ou vice-versa).

LA TROISIÈME DIMENSION les isométries dans l'espace sont les suivantes : Déplac:-..ts • Translation • Rotations • VISSages Alltilléplac:eiMIIIs • Réflexions • Réflexions tournées • Réflexions glissées En ce qui concerne les translations, les rotations et les réflexions (dans le plan les réflexions sont les symétries axiales), le principe est le même que dans le plan.

la translation est définie par un vecteur de l'espace qui possède donc trois composantes .

la rotation, quant à elle, ne possède plus un centre mais un axe de rotation.

Elle est définie comme suit : Soit D une droite, k un vecteur de norme 1 de D et e un nombre .

la rotation d'axe D orienté park et d'angle e, notée r (Dk,6) , est l'application qui à tout point M de l'espace associe le point M' qui est : • situé dans le plan P orthogonal à 0 passant par M, • image de M dans P par la rotation plane r (H,6), où H est le point où D coupe P et P suit l'orientation de O.

D f la réflexion de l'espace est une symétrie orthogonale par rapport à un plan de l'espace.

On ne fait plus de symétrie par rapport à un axe mais par rapport à un plan.

le vissage, ou encore déplacement hélicoïdal, est le produit r (Dk, e)•tu d'une rotation et d'une translation, où : •l'angle de la rotation est différent de zéro modulo 2lt, • le vecteur de la translation est non nul et il se trouve dans la direction de l'axe de la rotation.

Pour obtenir l'Image M'd'un point M, on translate M par tu, ce qui donne le point intermédiaire M1, puis on fait tourner M1 par la rotation r (Ok, 6), ce qui donne M'.

On peut également commencer par la rotation .

Une réflexion tournée est le produit sP•r (Ok, 6) d'une réflexion et d 'une rotation, où : •l'axe de la rotation est perpendiculaire au plan de la réflexion, •l'angle de la rotation est différent de zéro modulo 2lt.

Pour obtenir l'Image M'd'un point M, on fait tourner M par la rotation r (Ok, 6), ce qui donne le point intermédiaire M,.

puis on réfléchit M1 par rapport à P, ce qui donne M'.

On peut également commencer par la réflexion : M-.M 2-.M' D H p Une réflexion glissée est le produit tu • sP d'une réflexion et d'une translation, où le vecteur de la translation : • est non nul, • appartient à la direction du plan de la réflexion.

Pour obtenir l'Image M'd'un point M, on réfléchit M par rapport à P, ce qui donne le point intermédiaire M1, puis on translate M1 par tu, ce qui donne M'.

On peut également commencer par la translation : M-.M2-.M' SIMIUIUDES DANS L'UfACE On a vu précédemment que les isométries font partie des similitudes .

Or, un théorème énonce que, dans l'espace, toute similitude, si ce n'est pas une isométrie, est toujours le produit d'une homothétie de rapport positif ou négatif, et d'une rotation dont l'axe passe par le centre de l'homothétie.

Ce produit est commutatif, c'est-à-dire que le résultat sera le même peu importe l'ordre.

DIMENSIONS SUNIIEUIES Il est possible de parler de similitude et de déplacement en dimension supérieure .

On utilise alors des tableaux de chiffres appelés • matrices • qui représentent les applications dans un • espace • de dimension n dans lu~même ou un autre • espace •· l'outil géométrique est alors à la fois plus simple et plus puissant Par exemple, la matrice de l'identité dans un espace de dimension 5 dans lui-même est présentée ci-dessous .

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0UVEnuU Il LA PHYSIQUE En sciences physiques, il existe une méthode appelée méthodes des similitudes.

En effet, il arrive souvent que Je scientifique obtienne un système d'équations très complexe et souvent impossible à résoudre.

C'est Je cas, par exemple, en mécanique des fluides pour les écoulements turbulents.

JI a aloo le choix entre deux solutions : • soit faire des approximations et obtenir une solution approchée du problème, • soit avoir recours à l'expérience .

On est donc amené à réaliser des prototypes (modèles en grandeur nature) ou des maquettes (modèles réduits).

En général, pour des raisons de coûts, l'étude d'un prototype se fait sur une maquette.

JI faut donc transposer les résultats de la maquette au prototype :c'est la méthode des similitudes.

Celie-. »