Sciences LA GÉOMÉTRIE FRACTALE

« La géométrie fractale dimension égale à 3.

Observée d'encore plus près, la pelote nous apparaît comme un fil (dimension égale à 1).

Ainsi, la dimension de la pelote de fil peut être représentée par une suc­ cession de nombres entiers.

De façon plus géné­ rale, dans notre vie quotidienne, nous côtoyons des objets présentant des irrégularités et dont la dimension ne peut être définie d'après la géomé­ trie euclidienne.

Ces corps sont souvent des objets fractals.

La courbe de Koch Les fractales à homothétie interne -transforma­ tion géométrique telle que la figure finale est une réduction ou un agrandissement de la figure ini­ tiale, et qui peut être renversée par rapport à la COURBE ET FLOCON DEVON KOCH Courbe de Koch Aocon de Koch figure de dépa rt- sont particulières: chacun de leurs composants est une reproduction de la fi­ gure globale.

Ainsi, quelle que soit l'échelle considérée, l'objet présente à peu près la même structure et le même aspect.

On dit qu'il y a inva­ ri ance d'échelle ou similitude interne.

La construction de ce type de fractales suit générale­ ment un algorithme (succession de règles opéra­ toires mathématiques) simple.

La courbe de Helge von Koch, dite «flocon de neige», a été créée en 1904.

11 s'agit d'une fractale à homothétie interne.

Pour la tracer, il suffit de reproduire un grand nombre de fois le motif de départ, à savoir un triangle équilatéral, en rédui­ sant sa taille (fractionnement).

La figure obtenue présente une dimension strictement comprise entre 1 et 2.

Elle a un périmètre infini, égal à 3 a (4/3)n, n étant le nombre de triangles (théorique­ ment infini) et a la longueur du côté du triangle de départ.

Cependant, l'aire de la courbe de Koch est, elle, finie et vaut 8/5 A, A étant l'aire du triangle de départ.

La dimension fractale de la courbe est: D =log 4/log 3 = 1,26.

On remarque que cette valeur est strictement comprise entre 1 et 2.

Applications de la géométrie fractale La géométrie fractale n'est pas qu'une simple théorie.

On s'en sert pour modélise r, à l'aide de programmes informatiques, un grand nombre de systèmes réels, comme un réseau hydrogra­ phique- ensemble des cours d'eau d'une région.

La notion de fractale est également appliquée à la chimie des solides et des interfaces.

Elle per­ met d'interpréter toute une classe de comporte­ ments dynamiq ues-c'est-à-dire qui évoluent au cours du temps- qui n'avaient pas pu être expli­ qués jusque-là, notamment certains phénomènes microscopiques qui se produisent lors de la sou­ dure de deux pièces métalliques.

Le corps humain contient une multitude de structures fractales, qui sont généralement à simi- � Lorsqu'il écrit son essai, Objets fractals, forme, hasard et dimension, Benoît Mandelbrot ne songe pas que quelques décennies plus tard, sa théorie sera utilisée pour des techniques de pointe, comme l'infographie ou l'image de synthèse.

C'est pourtant à partir du principe qu'il a développé qu'a pu être reconstitué l'aspect de ce neurone.

Grâce à Mande/brot, tout objet ou élément affichant une ramification formelle extrême peut désormais être illustré sans difficulté.

' Par la géométrie fractale, on a pu créer cette image de synthèse qui analyse l'évolution d'un lever de soleil sur un paysa ge montagneux.

litude interne, tels les réseaux sanguins ou les voies respiratoires, avec leurs nombreux embran­ chements.

Toutes ces structures ont été élaborées lors du développement de l'embr yon humain, qui a fait intervenir des processus lents présen­ tant un caractère chaotique déterministe-c'est­ à-dire suivant un désordre apparent -, comme la plupart des phénomènes conduisant à des objets fractals.

La fractale de l'organisme humain que les spécialistes étudient le plus souvent est le sys­ tème de tubules qui transportent les gaz entrant et sortant des poumons.

Certaines parties du cœur présentent également une structure frac­ tale.

Ainsi, la physiologie pourrait vraisemblable­ ment être un domaine privilégié de l'application de la géométrie fractale (et de la théorie du chaos déterministe).

Les physiologistes cherchent à expliquer comment les processus du dévelop­ pement aboutissent à des structures fractales dans l'organisme.

Enfin, les fractales, dont certaines présentent un aspect esthétique indéniable, sont utilisées notam­ ment en infographie.

Elles sont par exemple employées pour charger des images fixes et des vidéos dans un ordinateur, qui peut alors stocker une multitude d'images au moyen d'un petit nombre de données (compression d'images).. »