Rotations et Translations

« soit la médiatrice de [MM1 Les points invariants de la symétrie axiale par rapport à (D) sont les points de (D).

A l'instar des transfo rmations précéden tes, la symétrie axiale est une isométrie M M" ( D) / Attention cependant, la symétrie axiale possède une grande différence avec les autres transformations : si elle conserve la valeur des angles, en revanche elle inverse leur orientation ! On dit que c'est une isométrie opposée.

• p ·.~·.

· x '"' · ..

\È> e N' Si M', N'et P' sont les images respective s des points M , N et P par la symétrie d'axe (D) alors N 'M'P' = -NMP.

Par conséquent, l'image d'une figure par une symétrie axiale n'est en règle généra le pas exactement la même figure : c'est la figure" in versée», et bien souvent elle n'est pas superposable avec la première (essayez de superposer les triangles MNP et M'N'P', vous n'y arriverez pas).

lES AXES ET LES CENTRE S DE SYM ÉTRIE Nous pouvons désormais nous demander si, au sein même d'une figure géométrique, certaines parties de la figure peuvent être obtenues en effectuant une symétrie d 'une autre partie .

Par exemple, un dessin de cœur peut être obtenu en ne dessinant que la partie gauche .

On en fait ensuite le symé trique par rapport à un axe vertica l au milieu .

On dit que le cœur possède un axe de symétrie.

..

--.....

La plupart des figures classiques possèdent un ou plusieurs axes de symétrie.

Qu'en est-il d 'un carré, par exemple? Possède-t-il un axe de symétrie? Oui, bien sûr, si l'on trace un trait vertical au milieu du carré, c'est un axe de symétrie.

Si l'on en trace un autre horizontal , c'en est également un.

Et si nous traçons les diagonales , elles sont encore des axes de symétrie.

Soit un total de 4 axes de symétrie pour le carré.

/ / 1 / ' 1 / ' / --/r;-- / 1 ' / ' / Ceci a comme conséquence que l'on peut se contenter de tracer un seul des 8 traits délimités par les axes de symétrie, puis effectuer les 4 symétries par rapport aux 4 axes, dans n'importe quel ordre , et ainsi retrouver l'intégralité du carré .

Et qu'en est-il du cercle? Possèd e-t-il lui aussi des axes de symétrie? La réponse est surprenante : il en possède une infinité .

Quel que soit le diamètre que nous considérons, c'est un axe de symétrie du cercle.

/ invaria nte par une symétrie axiale d'axe (D), alors forcément (D) est un axe de sym étrie pour cette figure.

Vous pouvez regarder les lettres suiva ntes , trouver leurs axes et centres de symétrie et leur appliquer les symétries correspondantes pour vous en rendre compte .

E A N UNE DERNIÈRE ISOM ÉTRIE :LA SYM ÉTRIE GLISSÉE On appelle symétrie g lissée d'axe (D) et de vecteur u (te l que u /1 (D ) ) la transformation qui, à tout point M du plan, associe son image M 'co nstruite en faisant d'abord le symétrique de M par rapport à la droite (D ) puis une translation de vecteur u.

' ,M ~ ' ~ M' ' symé trique de M Notons que l'on obtient la m ême image en effectuant d'abord la tran slation puis la symétrie (cec i n 'est vrai que parce que le vecteur de la tran slation est para llèle à l'axe de symétrie) .

Cette transformation est encore une isométrie (c'est logique :en faisant la , translation, les longueur s sont conservées, et en faisant la symétrie, elles le sont encore ; elles restent donc inchangées tout au long de la transformation) et elle est opposée (là encore c'est logique : les angles sont conservés par la translation , puis inversés par la symétrie) .

De la même façon , si on peut dessiner une figure e n n 'en traçant qu'une partie puis en faisant le symétrique par rapport à un point , alors on dit que la figure possède un centre de symétrie .

C'est bien sûr le cas du cercle: son Pourquoi évoquer cette dernière centre est bien un centre de symétrie .

Il isométrie, largement moins cél èbre que en est de même du carré .

ces consœurs? Tout simplement parce INVARIANCE D 'UNE FIGURE PAR UNE ISOMÉTRIE On dit qu'une figure est invariante par une isométrie si l'e nsemble E ' des images des points de la figure est égal à l 'ensemb l e E des point s de la figure .

Attention , cela ne veut pas dire que chacun des points sont invariants par cette isométrie ! En effet, si par exemp le un point A est transformé en un point B .

et que B est transformé en A , a l ors l'image de l'ensemble {A,B} est bien {A,B} , et pourtant ni A ni B n 'est invariant.

Par exemple, un cercle de centre 0 est invariant par une rotation de centre 0, quel que soit l'angle de rotation .

Si cet angle est non nul, alors tous les points sont modifiés , et pourtant la figure g lobale reste identique.

Quant aux symétries, il est facile de voir qu'une figure qui possède un axe de symétrie (D) est invariante par la symétrie axiale par rapport à (D).

Regardez par exemp le le cœur : si on lui app lique la symétrie axiale par rapport à la droite vertica l e passant au milieu du cœur, alors la partie gauche est transformée en la partie droite et inversement.

Le cœur est donc globalement inchangé.

De même , une figure qui possède un centre de symétrie 0 est invariante par la symétrie centrale de centre O.

Et la réciproque est vraie :si une figure est que c'est la dernière isométrie du plan.

En effet, un théorème affirme que "toute isométrie du plan est soit une translation , soit une rotation , soit une réflexion soit une symétrie glissée"· On peut même préciser ce théorème : "Toute isométrie directe du p lan est une translation ou une rotation, toute isométrie indirecte est une symétrie axiale ou une symétrie glissée "· COMPOSÉES D 'ISOM ÉTRIES Que se passe -t-il si nous « composons , des isométries, c'est-à-dire que nous en effectuons deux à la suite ? Par exemple, si nous notons f une première isométrie et g une seconde isométrie, intéressons-nous à ce que nous noterons gof, qui est la nouvelle transformation qui consiste à d'abo rd effectuer la premièr e isométrie puis à effectuer la seconde.

Peut-on trouver des propriétés à cette nouve lle trans formation ? Tout d'abord, comme f conserve les distances et g aussi, la composée également.

Prouvons -le : soient 2 points Met N du plan .

Notons M'= f(M) et N'= f(N).

Notons aussi M"=g(M ') et N"=g(N').

M " et N" sont également les images de M et N par gof.

On a M 'N'= MN, car fest une isométrie .

On a aussi M"N" =M'N' car g est une isométrie .

Et donc on a M "N"= MN, et donc gof est une isométrie.

Grâce au théorème précédent, nous en dédui son s que got ne peut être que l'une des 4 transformations que nous avons vues .

Ce résulta t est assez puissant, il montre par exemple que si nous faisons d'abord une symétrie glissée puis une rotation , la composée n'est pas n'importe quoi, comme on pourrait penser de prime abord : elle est en fait soit une translation , soit une rotation , soit une symétrie axiale, soit une symétrie glissée.

Nous pouvons même avoir une idée plus précise de ce qu'e lle est, en utilisant la version détai llée du théorème , c'est-à-dire en se demandant si gof est directe ou opposée.

Si f et g sont directes alors les angles restent inchangés par f, inchangés par g, et donc par got, et par conséquent gof est directe .

Si f est directe et g opposée, ou si f est opposée et g est directe , alors les angles sont inversés une seule fois, et donc gof est opposée.

Et enfin, si f et g sont toutes les deux opposées alors les angles sont inversés deux fois, et donc au final ils sont inchangés , et donc gof est directe .

ILLUSTRATION PAR QUELQUES EXEMPLES Illustrons ces propriétés par que lques exemples, vérifiables à l'aide de dessins : • La composée de deux translations de vecteurs u et v est la translation de vecteur u+v.

Prouvons -le : notons f la translation de vecteur u et g celle de vecteur v, M un point du plan , M' son image par f et M"l'image de M 'par g.

M' M ÉNERCIE DE TRANSLATION· ÉNERCIE DE ROTATION On peut séparer l'énerg ie d u mouveme nt en deux : l'énergie de trans lation qui engendre l e mouvement d 'un corps d'un point à un autre selon une droite , et l'énergie de rotation qui engendre u n mouveme nt circulaire autou r d'un point.

Très tôt, les hom mes ont voulu créer des systèmes p ou r passer de l'une d e ces énergies à l'autre: la manivelle, par exem ple, tran sforme u n e éner gie de rotation a utour d'un point fixe en une énergie d e transla tion .

Poulies , treui ls, obéissent a ux m êm es méca nismes .

A l'inverse, le m ote ur d 'une voitu re transfor m e un m ou vement de trans lation en un mou vem en t circulaire des roues, g râce à l'ensemble piston­ bielle-vi lebrequin.

GÉN ÉRALISATION DE CES T RANSFORMATIONS DANS L'ESPACE Quand nous avons abordé l e sujet des symétries , nous avons vu que nous pouv ions symétriser par rapport à un point , ou par rapport à une droite .

Si nous nous plaçons dans l'espace à 3 dimensions , nous pouvons même symétriser par rapport à un p lan.

Par exemp le, quand nous nous regardons dans un miroir, ce que nous voyo ns n'est rien d'autre que l'image de notre corps par la symétrie par rapport au plan du miroir .

Notons que là encore, On a MM ' = u , et M 'M " = v, et donc MM "= MM '+ M'M "= U +V = u +v.

• La composée de deux symétries centrales de centres différents C et D est la tran slation de vecteur 2CD .

M" l'image est inversée : dans le miroir , ce qui semb le être notre œil gauche est en réalit é l'œil droit.

Nous pouvons aussi bien sûr déplacer des objets dans chacune des trois dimensions .

ou bien les faire tourner dans l'espace , et ainsi définir des translations et des rotations de l'espace.

L'étude en est un peu plus compliquée mais l'on y trouve des Prouvons-le : notons cette fois fla symétrie de centre C.

g celle de centre D .

Notons encore M un point du plan, M 'so n image par f et M"l' image de M' par g.

On a CM' = MC et DM " = M'O .

Décomposons MM" comme ceci : MM " = MC + CM'+ M 'D + DM ".

Remplaçons MC et DM " d'après les égalités ci­ d essus : MM " = 2 CM' + 2 M'D = 2 (CM' + M 'D ) = 2(0 = 2CD .

M C , M"< D M" MM"= 2CD • La composée de deux réflexion s d'axes (D ) et (E ) est une translation si (D ) // (E), et une rotation sinon .

Nous ne le prouverons pas ici, mais un dessin et un raisonnement similaire aux démonstrations précédente s peuvent vous aider à le démontrer .

propriétés et des théorèmes un peu similaires.

En mathématiques encore plus poussées , on peut même généraliser ces transformations dans des espaces à 4, ou 5 , ou 100 dimensions ..

LES PAVACES DU PLAN Les pavages du p la n utilisent généralement les isomé tries, c'est-à-dire que deux tuiles d u p la n sont déductibles l'une de l'a utre p ar une isométrie .

L'Alhamb ra de Gre n ad e est réputée pour ses nombreuses mosaïques par pavage .

Au déb ut d u XX' siècle, l'artiste Maurits Cornelis Escher expérimente diverses méthodes de pavage en deux dimensions.. »