Probabilités conditionnelles (cours)

« Chapitre VI Probabilités conditionnelles I) Langage des probabilités : Définition : Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle plusieurs résultats sont possibles, sans que l’on puisse prévoir celui qui se produira.

Les résultats possibles sont aussi appelés les issues ou les éventualités. – – – – – – – – A cette expérience aléatoire, on associe l'ensemble des résultats possibles, appelé univers et noté généralement Ω.

Ses éléments sont appelés éventualités. Les sous-ensembles de l'univers Ω sont appelés événements ou issues. Les événements formés d'un seul élément, sont appelés événements élémentaires Etant donné un univers Ω, l'événement Ω est l'événement certain. L'ensemble vide est l'événement impossible. L' événement formé des éventualités qui sont dans A et dans B est noté A ∩ B, qui se lit A inter B L' événement formé des éventualités qui sont dans A ou dans B est noté A ∪ B, qui se lit A union B Etant donné un univers Ω et un événement A, l'ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A constitue un événement appelé événement contraire de A et noté ̄A A et B sont incompatibles si A ∩ B = Ø – Exemple : On lance un dé à 6 faces – L'univers Ω est {1;2;3;4;5;6}, c'est l'événement certain. – L'événement : obtenir 1 est un événement élémentaire noté {1} – « Obtenir 1 ou 4 » est un événement noté {1;4} {7} est un événement impossible. – Si A est l'événement « le nombre obtenu est pair » et B l'événement B : « le nombre est supérieur ou égal à 4 » A = {2;4;6} B = {4;5;6} A ∩ B = {4;6} A ∪ B = {2;4;5;6} ̄ A = {1;3;5} II) Loi de probabilité : Définition Soit une expérience aléatoire d’univers fini Ω = {x1,x2,...,xn} • Définir une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque événement élémentaire x1, x2 ...xn un nombre réel P1,P2,...,Pn qui est un nombre vérifiant les 2 conditions : Pour tout i, 0 ≤ Pi ≤ 1 et P1 + P2 +....+ Pn = P(Ω ) = 1. La loi de probabilité d’une variable aléatoire X est donnée par : 1) L’ensemble des valeurs { x1,x2,...,xn } prises par la variable aléatoire, 2) Les probabilités p (X = xi ) pour toutes les valeurs xi prises par X. • Le nombre Pi est appelé probabilité de l’événement élémentaire Ei. • A chaque événement A est associée sa probabilité p(A) : c’est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

Ainsi, si A = {E1,E2} , p(A) = P1 + P2 Définition On dit que l’on est en situation d’équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité. On reconnaît ces situations lorsque l’on a des tirages au hasard, des dés équilibrés ou des boules indiscernables au toucher. Propriété : Dans une situation d’équiprobabilité, si A comporte k issues favorables sur n possibles :. »