PRÉPARATION AU BAC - T SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES - SUITES - Fiche R1

« ale PRÉPARATION AU BAC - T SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES - SUITES - Fiche R1 page 1 Révision : Savoir UTILISER UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE POUR ÉTUDIER UNE SUITE QUELCONQUE La situation ère On vous donne une première suite (un) quelconque, définie par une 1 formule de récurrence. Ce peut même être une relation mixte F1 : un+1 en fonction de un et de n . On vous donne une deuxième suite (vn) définie par une 2 Vous n'avez donc au départ que ces deux formules. ème F1 : un+1 en fonction de un , la relation formule F2 : vn en fonction de un (et de n ) . Le principe On démontre que (vn) est géométrique. On en déduit une 3 ème formule F3 : vn en fonction de n , expression explicite de vn en fonction de n . ème On en déduit une 4 formule F4 : un en fonction de n , expression explicite de un en fonction de n . On peut alors étudier (un) : calculs de termes, calcul de limite. Les étapes ● Démontrez que (vn) est géométrique C'est la question essentielle dont dépend tout le reste et qui peut être délicate… Suivez les étapes suivantes : 1) Partez de : Pour tout n   : vn+1 = 2) Utilisez F2 pour l'exprimer en fonction de un+1 . 3) Utilisez F1 pour passer à un . 4) Faites apparaître raison × … en factorisant. Remarque : La raison peut être donnée dans la consigne. Remarque : La factorisation peut être évidente si la raison est en facteur commun. Mais on doit parfois utiliser une factorisation forcée, c'est-à-dire factoriser par un facteur qui n'est pas facteur commun… Vous allez comprendre avec l'exemple suivant. Dans l'expression 2x + 3 , il n'y a pas de facteur commun. 3 Et pourtant, je peux forcer la factorisation par 2 en écrivant : 2x + 3 = 2 ( x + ) . 2 5) Utilisez de nouveau F2 pour arriver enfin à raison × vn . ● Déduire vn en fonction de n 1) N'oubliez pas de calculer v0 avec F2 et u0 . C'est en général demandé. 2) On trouve F3 en appliquant la relation explicite d'une suite géométrique vn = v0 q n . ● Déduire un en fonction de n 1) On trouve F4 en transformant F2 par équivalence pour isoler un en fonction de vn (et de n ) . 2) Il suffit alors d'utiliser F3 pour remplacer vn par son expression en fonction de n . Remarques sur les exercices ● Les exercices a à c contiennent des extraits de Baccalauréat ES et ne présentent pas de difficultés calculatoires. ● Les exercices d à f peuvent poser quelques difficultés calculatoires. ● Les exercices g à j utilisent une définition mixte (récurrence et explicite), avec quelques questions difficiles. ● Les très beaux exercices k et l présentent une suite qui s'exprime avec deux suites, une arithmétique et une géométrique.

Pour élèves aguerris… ale PRÉPARATION AU BAC - T a 1. SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES - SUITES - Fiche R1 page 2 On définit la suite (un) par u0 = 230 et, pour tout n   , un+1 = 1,04 un – 8,84 . Soit (vn) la suite définie par, pour tout n   , vn = un – 221 . a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1,04. Préciser son premier terme. b. Exprimer, pour tout n   , vn en fonction de n . c. En déduire que, pour tout n   , un = 221 + 9×1,04 . n D'après Baccalauréat ES Asie 2019 2. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par u0 = 2 500 et un+1 = 0,8 un + 400 . On note, pour tout nombre entier naturel n , gn = un – 2 000 . a. Montrer que (gn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme g0 . b. Exprimer gn puis un en fonction de n . c. Calculer u20 arrondi au centième. D'après Baccalauréat ES Liban 2014 3. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par U0 = 0,45 et Un+1 = 3 Un + 0,6 . 4 On note, pour tout nombre entier naturel n , wn = Un – 0,6 . a. Démontrer que, pour tout n   , wn+1 = b. Exprimer wn puis Un en fonction de n . 3 w . 4 n D'après Baccalauréat ES Pondichéry 2014 b Une commune dispose de 300 voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes : • chaque voiture est louée pour une durée d'un mois ; • la location commence le 1er jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ; • le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois. À la fin du mois de janvier 2019, 280 voitures ont été louées avec ce système de location. Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures. Pour cela, il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite (un) , où, pour tout entier naturel n , un représente le nombre de voitures louées le n-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi u0 = 280. On admet que cette modélisation conduit à l'égalité : un+1 = 0,9un + 31 . 1. Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ? 2. Pour tout entier naturel n , on pose : vn = un – 310 . 3. a. Montrer que la suite (vn) est géométrique.

On précisera le premier terme v0 et la raison. b. Pour tout entier naturel n , exprimer vn en fonction de n et montrer que un = –30×0,9 + 310 . n Calculer u10 et u11 . En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures. D'après Baccalauréat ES Amérique du Nord 2019 c Un infographiste simule sur ordinateur la croissance d'un bambou.

Il prend pour modèle un bambou d'une taille initiale de 1 m dont la taille augmente d'un mois sur l'autre de 5% auxquels s'ajoutent 20 cm. Pour tout entier naturel n non nul, on note un la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du n-ième mois, et u0 = 100 . 1. Calculer u1 et u2 . 2. Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel.... »