Ph L à TSB&C - Devoir surveillé de mathématiques n°5 - corrigé
Publié le 11/02/2012
Extrait du document
Exercice n°1 :
On considère l’équation : ( E ) z3 – (4+i)z2 + (13+4i)z – 13i = 0 où z est un nombre complexe.
1) Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.
i3 - (4 + i)i2 + (13+ 4i)i -13i = i3 + 4 + i +13i + 4i2 -13i = -i + 4 + i +13i - 4 -13i =0
i est donc une solution de (E)
2) Démontrer, en les déterminant, qu’il existe trois complexes réels a , b et c tels que :
pour tout nombre complexe z , z3 – ( 4 + i )z2 + ( 13 + 4i )z – 13i = ( z – i ) ( az2 + bz + c ) .
Soit P le polynôme défini par : P(z) = z3 – (4+i)z2 + (13+4i)z – 13i
Comme P(i)=0, P(z) est est factorisable par z-i.
Il existe donc un polynôme Q(z) tel que, pour tout zÎC , P(z)= (z -i) Q(z).
Le degré de P(z) étant 3 et celui de (z-2) étant 1, on en déduit que le degré de Q(x) est 2.
Il existe donc trois nombres complexes a, b,c tels que, pour tout zÎC, P(z)= (z -i)(az²+bz+c).
Ce qui s’écrit : pour tout zÎC, P(z)= az3+ (b-ia)z² + (c-ib)z - ic.
«
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Exercice n°2 : ( 4 Points ) à traiter par tous les élèves
QCM Nombres complexes
Pour chaque question, une seule des quatre proposit ions est exacte.
Le candidat entoure la bonne
réponse directement ci-dessous et rend le sujet de nseignement obligatoire avec sa copie sans oublier
dy mettre son nom et son prénom .
Aucune justification nest demandée.
Une réponse exacte rapporte
1 point; une réponse inexacte enlève 0,5 point; la bsence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est
négatif, la note est ramenée à 0 .
1) On considère un complexe z vérifiant
2i
6
z
z +
=
+ .
Lécriture algébrique de z est :
A : 8 3
2i B :
-8
3 2i C : 8 3 + 2i D : -8
3 + 2i
2) Dans le plan complexe, lensemble des points M d affixe z = x + iy avec x et y réels vérifiant
| z 1 | = | z + i | est la droite déquati on :
A : y = x 1 B : y = -x C : y = -x + 1 D : y = x
3) Soit léquation (E) : z = 6 z
3 - z
où z inconnue complexe différente de 3 .
Une sol ution de (E) est :
A : -2
2 i B : 2 + 2 i C : 1 i D : -1 i
4) Soit n un entier naturel .
Le complexe ( 1 + i
3 ) n est réel si et seulement si il existe un
entier naturel k tel que n est égal à :
A : 3k + 1 B : 3k + 2 C : 6k D : 3k.
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