Notion de Matrices (TS SPE Maths)

« Définition : La matrice transposée d'une matrice A de taille n p´ est la matrice notée TA (aussi notée At ), de taille p n´ , obtenues en échangeant les lignes et les colonnes d e A.

Exemples : T 1 4 1 2 3 2 5 4 5 6 3 6      =         , T 1 2 1 3 3 4 2 4     =        et ( ) T 5 5 7 7  =   .

II) Opérations sur les matrices 1) Somme de deux matrices : Soit A et B deux matrices de même dimension.

La somme de A et B est la matrice notée A B + de même dimension que celle de A et B et dont chaq ue coefficient est la somme des deux coefficients situés à la même position dans A et B.

Exemples : 3 1 1 4 3 1 1 4 2 5 2 4 3 2 2 3 4 2 1 6 - - +         + = =         - - + -         .

1 2 2 4 1 2 2 4 3 2 3 4 3 1 3 3 4 1 0 3 1 2 2 6 1 2 2 6 3 4 - + - -                - + - = - + - =              - - - - - - + -        .

Propriétés : · L'addition de matrices est commutative : A B B A + = + .

· L'addition de matrices est associative : ( ) ( ) A B C A B C A B C + + = + + = + + .

2) Multiplication d'une matrice par un réel : Soit A une matrice et k un réel.

Le produit de la matrice A par le réel k est la matrice notée Ak dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de la matrice A par le nombre k.

Exemples : 3 1 5 3 5 1 15 5 5 2 4 5 2 5 4 10 20 ´ ´       = =       ´ ´       .

1 2 3 1 3 2 3 6 3 3 4 3 ( 3) 3 4 9 12 1 2 3 ( 1) 3 ( 2) 3 6 ´ ´            - = ´ - ´ = -          - - ´ - ´ - - -      .

Remarque : l'opposée de la matrice A, notée A- , est la matrice A multipliée par 1- : A ( 1) A- = - ´ .

Propriétés : · ( ) A B A B k k k + = + •   ( )' A A ' A k k k k+ = + · ( ) ( ) ' A ' A kk k k = 3) Produit d'une matrice ligne par une matrice colo nne : Soit A une matrice ligne de dimension 1 n´ et B une matrice colonne de dimension 1 n´ .

( ) 1 2 A ... n a a a = et 1 2 B ... n b b b      =      .

Le produit de la matrice A par la matrice B, noté A B ´ , est égal à 1 1 2 2 ... n n a b a b a b ´ + ´ + + ´ .

Exemples : ( ) 3 1 3 1 ( 3) 3 4 9 4 -  = ´ - + ´ =     .

( ) 4 1 5 2 1 1 4 5 ( 1) ( 2) 3 7 3     - - = ´ + ´ - + - ´ = -       .

4) Produit de deux matrices : Le produit d'une matrice A de dimension n p´ par une matrice B de dimension p q´ est la matrice de dimension n q´ , notée A B ´ , dont le coefficient situé à l'intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est égal au produit de la i-ème ligne de la matrice A par la j-ème colonne de la matrice B.. »