Mengenlehre - Mathematik.

« Die folgenden Sätze sind grundlegende Folgerungen der obigen Definitionen, wobei A, B, C, … Teilmengen einer Menge L darstellen: 1.

A È B = B È A (Kommutativität der Vereinigung). 2.

A Ç B = B Ç A (Kommutativität des Schnitts). 3.

(A È B) È C = A È (B È C) (Assoziativität der Vereinigung). 4.

(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) (Assoziativität des Schnitts). 5a.

A È (B Ç C) = ( A È B) Ç (A È C). 5b.

A Ç (B È C) = ( A Ç B) È (A Ç C) (Distributivgesetze). 6.

Wenn A Í B und B Í C, dann A Í C. 7.

A Ç B Í A Í A È B. 8.

A È A = A = A Ç A. 9.

A È Æ = A. 10.

A Ç Æ = Æ. 11.

A È L = L. 12.

A Ç L = A. 13.

( Ac)c = A. 14.

Wenn A Í B, dann Bc Í Ac. 15a.

( A È B)c = Ac Ç Bc. 15b.

( A Ç B)c = Ac È Bc (de Morgan’sche Regeln). 16.

A B = A Ç Bc. 17.

( A B) C = A (B È C). 18.

Ist A Ç B = Æ, dann gilt ( A È B) B = A. 19.

A (B È C) = ( A B) Ç (A C). Diese Regeln sind eng verwandt mit der Boole’schen Algebra für die Operationen „und”, „oder” und „nicht” von Aussagen. 4 ANWENDUNGEN In der Analysis ist es hilfreich, nicht nur Eigenschaften von Zahlen und Funktionen zu betrachten, sondern auch von Zahlenmengen (Teilmengen von ).

Ein Beispiel fürZahlenmengen, die in der Analysis auftreten, sind die Intervalle [ a,b] = { x ε  | a < x < b}.

Ein Beispiel für Eigenschaften von Mengen ist die Eigenschaft „offen” einer Menge A, die definitionsgemäß dann besteht, wenn Folgendes gilt: Zu jedem x ε A existiert ein p > 0, so dass das Intervall [ x - p, x + p] Teilmenge von A ist.

Darüber hinaus sind auch Mengenfunktionen von Interesse.

Das sind Funktionen, die als Argument eine Teilmenge von  (und nicht etwa ein Element von ) annehmen und eine Zahl ausgeben; ein Beispiel für solche Mengenfunktionen sind das Lebesgue’sche Längenmaß und seine höherdimensionalen Entsprechungen, der Flächeninhalt und dasVolumen. 5 THEORIE DER UNENDLICHEN MENGEN Diese Theorie sieht von den Eigenschaften der Elemente (etwa ihrer Eigenschaften als Zahlen, wenn die Elemente Zahlen sind) ausdrücklich ab; sie geht ebenfalls schon aufBolzano und Cantor zurück.

Zunächst stellt sich die Frage nach dem Größenvergleich von Mengen: A und B werden als gleichmächtig bezeichnet, wenn es eine Bijektion (umkehrbare Abbildung) zwischen ihnen gibt.

Zwei endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn sie dieselbe Anzahl von Elementen haben.

Eine Menge ist unendlich, wenn sie nicht zu einer endlichen Menge gleichmächtig ist (Beispiel ).

Die verschiedenen möglichen Größen von Mengen werden durch die Mächtigkeitsklassen („Kardinalzahlen”) repräsentiert, die jeweils die gleichmächtigen Mengen umfassen.

Die endlichen Mächtigkeiten entsprechen den Anzahlen 0, 1, 2, etc.

(und können zurDefinition der natürlichen Zahlen benutzt werden).

Interessanterweise gibt es durchaus verschiedene unendliche Mächtigkeiten; so sind, wie Cantor beweisen konnte,  und nicht gleichmächtig, während (vielleicht ebenso überraschend) ,  und  alle gleichmächtig sind.

Bislang unbewiesen ist die von Cantor aufgestellteKontinuumhypothese, dass es keine Mächtigkeit zwischen der von  und der von  gibt. Ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung unendlicher Mengen sind Wohlordnungen (Ordnungsrelationen, in denen jede nicht leere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt).

Der deutsche Mathematiker Ernst Zermelo konnte 1908 auf der Grundlage des Auswahlaxioms zeigen, dass jede Menge eine Wohlordnung besitzt.

DieÄquivalenzklassen von Wohlordnungen werden auch „Ordinalzahlen” genannt.

Alternativ lassen sich Ordinalzahlen als solche Mengen definieren, bei denen jedes Elementzugleich Teilmenge ist und die Ist-Element-von-Relation eine Wohlordnung definiert; ein Beispiel für eine solche Menge ist { Æ, {Æ}, {Æ, {Æ}}}. Erstaunlicherweise gibt es keine Menge aller Ordinalzahlen.

Das widerlegt die naive Intuition, dass stets eine „Menge aller X” existiert, sobald man den Begriff X eingeführt hat.

Weitere Beispiele dieser Art sind die nicht existente „Menge aller Mengen” (Cantor) und die nicht existente „Menge all derjenigen Mengen, die sich selbst nicht alsElement enthalten” (Bertrand Russell 1901).

Sehr wohl kann man allerdings zu einer gegebenen Menge A die „Menge aller X, die Elemente von A sind” bilden. Immer noch Gegenstand der Forschung ist die Axiomatisierung der Theorie der (unendlichen) Mengen. Bearbeitet von:M&PHY MünchenMicrosoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation.

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