Loi binomiale
Publié le 08/08/2014
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Loi b in om ia le page 2 G.
C O ST A N TIN I
M ais le s s u ccès e t le s é ch ecs n 'a p para is se n t p as n écessa ir e m en t d an s c et o rd re ...
V oic i u n m oyen d e d én o m bre r
t o ute s le s p ossib ilité s d 'a p paritio n d es s u ccès e t é ch ecs : o n c o nsid ère l'e n se m ble d es " m ots " d e n le ttr e s q ui n e
c o ntie n nen t q ue d es
S e t d es E.
O n s a it q u'i l y e n a e x acte m en t C nk
q ui c o ntie n nen t e x acte m en t k f o is la le ttr e S
(e t d onc n - k f o is l a l e ttr e E).
O n e n d éd uit : P ([X = k ]) = C
nkpk(
)1- -
p n k e t c eci p our t o ut k Î { 0 ; 1 ; ...
; n }.
R em arq ues :
1 .
Si o n n o te q l a p ro bab ilité d ' Ech ec, o n a : P ([X = k ]) = C nkpkqn
k
-
2 .
La p ro bab ilité d 'a v o ir n s u ccès e st : P ([X = n ]) = p n.
3 .
La p ro bab ilité d 'a v o ir a u cu n s u ccès e st : P ([X = 0 ]) =
q n .
P ar c o nsé q uen t, la p ro bab ilité d 'a v o ir a u m oin s u n
s u ccès e st
P( [X 1 ]) = 1 - P([X = 0 ]) = 1 - q n .
E xem ple :
R ep re n o ns l a s itu atio n d e l 'i n tr o ductio n : l a p ro bab ilité q u'u n t ir e u r a tte ig ne s a c ib le e st p = 3
4 .
1 ) O n s u p pose q u'i l t ir e
n = 7 f o is .
Q uelle e st l a p ro bab ilité q u'i l a tte ig ne l a c ib le a u m oin s u ne f o is ? D eu x f o is ?
2 ) C om bie n d e f o is d oit- il t ir e r p our q ue l a p ro bab ilité d 'a tte in d re l a c ib le a u m oin s u ne f o is s o it s u p érie u re à 0 .9 5 ?
3 ) D éfin itio n ( V aria b le a lé ato ir e s u iv an t u ne l o i d e B ern o ulli)
S oit u ne é p re u ve c o m porta n t d eu x is su es ( Su ccès e t Ec h ec).
O n n o te p la p ro bab ilité d e Su ccès.
S oit X la
v aria b le a lé ato ir e q ui e st é g ale à 1 e n c as d e Su ccès e t 0 s in o n.
A lo rs , o n d it q ue X s u it u ne lo i d e B ern o ulli d e
para m ètr e s p.
O n n o te a lo rs : X B( 1 ; p) .
R em arq ues :
· La l o i d e B ern o ulli e st u n c as p artic u lie r d e l a l o i b in o m ia le o ù l 'é p re u ve n 'e st r é alis é e q u'u ne s e u le f o is .
· Si
X B( 1 ; p) a lo rs P([X = 1 ]) = p e t P( [X = 0 ]) = 1 - p.
· Toute v aria b le a lé ato ir e
X s u iv an t u ne lo i b in o m ia le d e p ara m ètr e s n Î * e t p Î [ 0 ; 1 ] p eu t s 'é crir e c o m me
s o m me
X = X
1 + ...
+ X
n o ù, p our to ut k Î { 0 ; 1 ; ...
n} , X
k e st u ne v aria b le a lé ato ir e s u iv an t u ne lo i d e
B ern o ulli d e p ara m ètr e
p.
(X
k v au t 1 e n c as d e Su ccès à l a kè
m e r é alis a tio n d e e t 0 s in o n)
III) E sp éra n ce e t v aria n ce d e la lo i b in om ia le
C om men ço ns p ar u n p etit e x erc ic e : d ém ontr e r q ue s i X B( 1 ; p) a lo rs X 2 B( 1 ; p) .
O n a X
2(W ) = { 0 ; 1 } e t P( X 2= 1 ) = P(X = 1 ) = p, d onc X 2 B( 1 ; p) .
1 ) P ro positio n
S i X B( 1 ; p) , a lo rs : E(X) = p e t V(X) = pq ( o ù q = 1 - p)
D ém onstr a tio n :
E(X) = P([X = 0 ]) ´ 0 + P([X = 1 ]) ´ 1 = q ´ 0 + p ´ 1 = p.
V(X) = ( )EX2 -
( )EX 2
= ( )EX 2
- p2.
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