LES VECTEURS (cours de mathématiques)

« • vecteurs or1hogonaux : ü J..v ~ü.v=ô • vecteurs colinéaires : AB et M.

sont colinéaires si et seulement si AB.AC=ABxAC .........

c.dly- Sdllr.-z Soient • et Y deux vecteurs quelconques.

La valeur absolue du produit scalaire u.Y des vecteurs 11 et Y est inférieure ou égale au produit de leurs normes : lü-VIs lül-lvl Ils wcn.s -~~- Une famille de vecteurs forme une base si aucun de ces vecteurs ne peul se déduire des au1res par une combinaison linéaire (une telle famille est dite libre) et si tout vecteur de l'espace peul s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base (une telle famille est dite génératrice).

On définit donc une base du plan comme une famille de deux vecteurs (1,1) qui definissent le plan : pour tout vecteur u, il existe a et Il tels que:u=a.I+Jl~ Les coordonnées du vecteur • dans la base [~ j) sont alors (a; JI).

On note u(a; JI) où a et Il sont respedivement appelés abscisse et ordonnée.

On définit alors le vecteur colonne qui correspond aux coordonnées du vecteur u.

mises dans un tableau sous la tonne suivante : ü=(::]:: les coordonnées des vecteurs de base sont alors : ._ ......

,..

On appelle base orthonormale.

une base dont les vecteurs sont de nonne égale à un et qui sont orthogonaux : [~ 1) est une base o!lhonormale si [~ j) est une base telle que : lïi=IJI=I et i.]=]l=O Une base o!lhonormale est munie d'un point de référence, appelé origine, dont les composantes seront (O; O).

En général ce point est noté o.

On note ce repère (0,1, j).

TL_ 0 OpéaiiMs M'les ncte.s On se place dans un repère orthonormal (O,i, j) Soient u(u1, lill et Y(Y~o v:z) deux vecteurs quelconques dans le plan.

• Égalité : les deux vecteurs u et Y sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales : • Addition : la somme des vecteurs • et Y a pour coordonnées la somme des coordonnées de u et de Y : ü +v(u 1 +v 1;u 1 +v 1) • Soustraction : la soustradion du vecteur Y au vecteur • est l'addition du vecteur • et du vecteur -v : ü -v(u 1-v 1;u 1 -v 1) • Multiplication par un réel : multiplier le vecteur u par un réel a revient à multiplier chacune de ses coordonnées para: a.ü(a.u,;a.u1) • Produit scalaire : le produit scalaire des vecteurs • et y est le réel égal à ü.v =urv 1 +u 1.v1 • La nonne du vecteur est égale à : lüi=Ju: +u: les deux vecteurs 11 et Y sont orthogonaux si et seulement si Ul.Yl + Uz.Y2 = 0 les deux vecteurs • et Y sont colinéaires si et seulement si u1.v2-u2.Y1 =O.

v.cte.s ......

On appelle vecteur directeur d'une droite (D) tout vecteur AB tel que les points A et B appartiennent à cette droite et soient distincts.

On appelle vecteur normal à une droite (D) tout vecteur n non nul et orthogonal à 111 vecteur directeur de la droite (D).

On peul prolonger la notion de vecteur dans l'espace.

On passe alors de deux composantes à trois.

Une base de l'espace est une tamile de trois vecteurs (l,j,k) qui définissent l'espace.

Pour tout vecteur u.

H existe a.

Il et y tels que : ü=al+P.J+yi c-•••hs les coordonnées du vecteur • dans la base (1.

~ k) sont alors (a, JI, y).

On note (a, JI, y) où a, JI et y sont respedivement appelés abscisse, ordonnée et cote.

On a, de même, la notion de vecteur colonne qui est la représentation des coordonnées du vecteur dans un tableau : •=[=:]== •• -+~ les coordonnées des vecteurs de base sont : r-[:J J=[!] •=[;] Soient deux points A(X..

y., z,J et B(x.,.

Y~>o Zj,).

les coordonnées du vecteur AB sont : [ JC.-JC.l 'li= y.-y.

z.-z_.

._ ..-.

••• ,..

~ r..­ Une base o!lhonormale est définie de la même façon : c'est une base dont les trois vecteurs sont de nonne égale à un et qui sont orthogonaux.

(1.

L k) est une base o!lhonormale si (1, ~ k) est une base telle que : lti=IJI=Ikl= 1 et l i.]=]l =0 ii=kl=O k.]=]i=O Un repère orthonormal dans l'espace est toujours une base o!lhonormale munie d'une oricine· On note ce repère (O.Uk).

j -i 0 OpéaiiMs- ........

J -les ncte.s Soient u(u1 , u2o u:!l et Y(v1, v2 , v:!l deux vecteurs quelconques dans l'espace.

• Égalité : l u1=v1 ii=i~ u1=t"1 u1=v1 directions sont dans le même plan .

• Si • et Y définissent 111 plan, on dit alors que le vecteur w est coplanlire aux vecteurs u et Y si : • il est dans le plan (11.

Y) ; - il est la combinaison linéaire de • et deY; -il existe a et Il tel que w = a.M + Jl.Y.

Soient trois vecteurs quelconques dans l'espace : u, Y et w et À 111 réel.

le produit vectoriel des deux vecteurs u et Y non colinéaires, noté UA Y est le vecteur normal au plan défini par LI base (u, Y), dont la nonne vaut lü" vi= lül-lvl.sin(ü, v) tel que (11, Y, UA Y) est une base directe.

On peul combiner trois vecteurs ..

y et w par deux produits vectoriels successifs.

C'est œ qu'on appelle un double produit -mel.

En piltiaJiier les dolmies produits vectoriels (•AY)AW et UA(YAW) sont respedivement les vecteurs : (ü Av) A w=(ü.w)Av-(v.w)Aü Ü A(VA w)=(Ü.W)AV-(Ü.V)A W H existe un moyen mnémotedlllique pour retenir la valeur d'un double produit vectoriel : Soient a,lt, c trois vecteurs.

On a alors : Q A(b Aè)=(ë..ii)Ab -(b..ii)Aë • Addition : Ordre alphabétique = • cab • -• bac • où les parenthèses sont les plus près ü +v(u 1 +v 1;u1 +v 1;uJ +vJ) possible du signe= .

• Soustradion : ~ ü -v(u,- v,;u1- v1;uJ + vJ) les deux vecteurs u et v sont colinéaires • Multiplication par un réel : si MAY= O.

• Produit scalaire : le produit scalaire des vecteurs u et Y est le réel : ü.v = UrV 1 +u 1.v1 +uJ.vJ • la nonne du vecteur • est égale à : lzïl = Ju: + 11~ u: • Les deux 1/edeurs • et v sont orthogonaux si et seulement si • Les deux vecteurs • et Y sont colinéaires si et seulement si ul.v2 -u2.v1 =O.

v.cte.s•*-lte les notions de vecteur directeur de droite et de vecteur normal à une droite restent les mêmes.

les vecteurs sont simplement définis clans l'espace : ils auront trois coordonnées.

.,__.LA __ J Soient trois vecteurs quelconques dans l'espace u(u1; ~; u3), Y(v1 ; v2 ; v:!l et w(wl; w2; w3l.

• Base orientée : il est possible d'orienter une base dans l'espace.

Une base est dite directe lorsqu'elle respecte la règle de la main droite.

Sinon, elle est indirecte.

• Règle de la main droite : une base (i, j.

k) est directe si on peut mettre le premier vecteur (1) dans la direction du pouce, le second (1) dans la direction de l'Index et le troisième (k) dans la direction du majeur.

• Coplanarité : deux vecteurs sont coplanaires si et seulement si leurs • Distributivité sur l'addition : üAv=O • Multiplication par un scalaire : ü 1\(v+w)=ü "v+ü "w • AniH:ommutativité : Â..(ü "v)=Â..Ü" v =ü 1\Â..v Attention le produit vectoriel n'est pas assodatil, en effet comme on l'a w dans la définition du double produit vectoriel (UAY)AW ,o UA(YAW).

Soient trois vecteurs quelconques dans l'espace u(u1; ~~z; u3), Y(v1; v2 ; vJ et w(wl; w2; w,).

On appelle produit mixte des vecteurs 11, Y et w le réel [u, v, w) tel que: (ü,v,w] =(ü" v).w ~ le produit mixte change de signe par permutation de deux vecteurs .

[ü,v,w]=-[v,ü,w) le produit mixte reste indlangé par permutation cirrulaire des trois vecteurs.

(ü,v, w]=[v, w,ü) =[w,ü, v) Pour tout réel >.., on a : (l.ü,v,w)=[iiJi,w)=(ii,v,l.W)=l.(ii,ii,w) Pour tout vecteur 1, on a : l [~ ~ii·:·:]:[~.:·:]+[~·:·:] [u,v +a, w)-[u,v, w)+[u,a,w) [ü,v, w+a)=[ü,v, w)+[ü,v,a) Les vecteurs11, Y et w sont coplanaires si et seulement si (tl.

Y, w) = 0 La valeur absolue du produit mixte de U, Y et W, (11, Y, w) est le volume du parallélépipède engendré par ces trois vecteurs.

Si deux des trois vecteurs sont écaux ou colinéaires, alors le produit mixte est nul.

Si u et Y sont non nuls alors : • et Y sont colinéaires, UA Y = 0.

APPROCHE ALGEBRIQUE ---· !:extension à la dimension finie n est effectuée de la même façon que pour passer du plan à l'espace.

Ainsi, on a rapidement les dtfinitions et propriétés suivantes : une base est une famille de n vecteurs (e;);.~,~~ qui définissent l'espace de dimension n.

Pour tout vecteur u, il existe (Il;);.~,~~ tel que : Ü=u,ë 1+u,fi 1+ ...

+'V.,i.

= Î"A ,., C..jum6es (Il;);.~,~~ sont les coordonnées de u dans la base (e;);.~,~~.

Pour tout i E [l,nL les coordonnées du vecteurdebasee;sont : 0 0 1 -+r-lis- 0 0 ._ ......

,..

~ r..­ une base o!lhonormale est définie de la même façon : c'est une base dont les vecteurs sont de 1101111e égale à un et qui sont orthogonaux.

~- .......

·-les .......

Soient u(U;);.~,~~ et v(Y.~i-1,11 deux vecteurs quelconques.

• Égalité : ü=v~V'ie(l,n) u,=v, • Addition : ü + v(u, +v,),.,,.

• Multiplication par un réel : a.ü( a.u, ),.,,.

• Produit scalaire : .

i.i=llrt1 1+u 1 .v1+u.+ll •.

v.

= I-u,v 1 ,_, • Nonne d'un vecteur : lüf=~u: +ri.

+ ...

+u; =~Îuf ,_, • Orthogonalité : ü J..v~ü.v=O • Vecteurs de droite : les notions de vecteurs directeur et normal sont une nouvelle fois les mêmes.

les vecteurs sont définis dans l'espace, ils auront trois coordonnées.. »