Les vecteurs
Publié le 26/07/2013
Extrait du document
A - Vecteurs égaux
1- Définition
Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même longueur, même direction et même sens. C'est pour
cette raison qu'on représente les vecteurs par des flèches.
Les vecteurs AB et CD sont égaux, en effet ils ont :
• même longueur : AB = CD
• même direction : (AB) // (CD)
• même sens : le sens de A vers B est le même que le sens de C vers D.
Attention
L'égalité AB=CD regroupe trois informations ; il faut donc que les trois propriétés soient
vérifiées pour qu'elle ait lieu.
2- Vecteurs et milieu d'un segment
Considérons trois points A, I et B.
Le point I est le milieu du segment [AB]
si et seulement si AI=IB
«
S
i l 'une de ces 4 é gali té s e st vé rif ié e , l es 3 a utre s l e s ont aus si.
B
- S
om me d e v ecte u rs O
n pe ut dé fini r une addi ti on de s ve cte ur s qui a de s pr opr ié té s s em bl abl es à celle s de l'a ddi ti on de s
nom
bres.
1
- R
ela tio n d e C hasle s Q
ue ls que soi ent les poi nts A , B e
t C :
AC= AB BC L
e ve cte ur
AC e
st l a s om me de s ve cte ur s AB e
t BC .
R
em ar qu e O
n pe ut int erpr éte r l a r ela ti on de Cha sle s de la f açon s uiva nte : l e ve cte ur
AB r
epr ése nt e un
dé
plac em ent de A ve
rs B e
t l e ve cte ur
BC r
epr ése nt e un dé place m ent de B ve
rs C ;
l a s om me de
c
es de ux dé place m ent s e st un dé plac em ent de A ve
rs C qu'
on r epr ése nt e pa r l e ve cte ur
AC .
A
tt e n tion L
a r ela ti on de Cha sle s
AB BC= AC (
qui conc erne de s ve cte ur s) e st vr aie que ls que soi ent les
poi
nts A , B e
t C .
L
a r ela ti on A
B +
B
C =
A
C (
qui conc erne de s di sta nc es) n' est vé rif ié e que si l e poi nt B e
st s ur le
s
e gm ent [ A
C ]
; de mani ère gé néra le on ne peut affir m er que A
B +
B
C A
C .
2
- R
èg le d u p ara llé lo gra m me Q
ue ls que soi ent les poi nts A , B , C e
t D :
O
n a l'é ga li té
AB AD= AC s
i e t s eul em ent si A
BC D e
st un pa ra llé logr am m e.
3
- P
ro prié té s d e l'a d d it io n d es v ec te u rs L
'a ddi tion de s ve cte ur s a de s pr opr ié té s s em blabl es à celle s de l'a ddi ti on de s nom bres r éels .
a
) S
uit e d 'a d dit io ns d e v ecte u rs L
or squ' on e ffe ctue une som me de plusie ur s ve cte ur s, on pe ut m odi fie r l 'or dre de s t erm es ou
r
e gr oupe r pl usie ur s t erm es s ans m odi fie r l e r ésul ta t.
b
) V
ecte u r n ul P
our tout poi nt A , l
e ve cte ur
AA e
st a ppe lé ve cte ur nul ; on l e not e 0 .
O
n ne modi fie pa s un
ve
cte ur en l ui ajout ant le ve cte ur nul .
c
) V
ecte u rs o ppo sés D
eux ve cte ur s s ont oppos és l or sque leur som me e st é ga le a u ve cte ur nul , ils ont alor s m êm e
l
ongue ur et m êm e di re ction m ais de s s ens di ffé re nt s.
K
B 2
s u r 4A B
C
A B
C
D.
»
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