Les structures algébriques

« alors f(e) est le neutre de H.

• Pour x dans G, si on note x-1 l'inverse de X dans G alors f(x·•) est l'inverse de f(x) dans H.

Autrement dit, l'inverse de l 'image est égal à l'image de l'inverse : (f(x))-1 =f(x-1) En résumé, les groupes sont des ensembles dans lesquels il existe une opération appelée loi de composition interne possédant des propriétés particulières et ces groupes englobent une grande partie des opérations que l'on utilise chaque jour.

Cependant.

la structure de groupe possède une faiblesse.

Dans un groupe, une seule loi est disponible alors que l'on est souvent amené en mathématiques à manipuler plusieurs lois à la fois.

Les concepts d'anneaux et de corps permettent de pallier cette faiblesse .

1 Ut .\il iif.

1 111 Les structures d'anneau et de corps sont des enrichissements de la structure de groupe .

Un anneau (ou un corps) est un groupe muni d'une deuxième loi interne.

Cette deuxième loi n'aura généralement pas, pour la structure d'anneau, toutes les propriétés de la première.

li lui manquera en particulier l'existence d'un inverse pour chacun des éléments de l'anneau.

La seconde loi d'un corps possédera, quant à elle, toutes les propriétés de la première .

La structure d'anneau sera le plus souvent rencontrée sur des ensembles de fonctions ou de matrices.

Celle de corps , beaucoup plus rare, est celle des ensembles Q R etC munis de leurs lois additives et multiplicatives.

Par analogie avec l'addition et la multiplication, les deux lois d'un anneau sont souvent notées + et x.

Cela permet de manipuler des symboles familiers.

Il faut néanmoins faire attention car, en règle générale, il ne s'agit pas de l'addition ni de la multiplication classiques des nombres ! La définition d'un anneau est la suivante.

Un anneau est un ensemble muni de deux lois internes + et x telles que : • (A,+) est un groupe commutatif de neutre noté OA (par analogie avec l'addition).

• La loi x est une loi de composition interne sur A associative et distributive à gauche et à droite par rapport à+.

• La loi x admet un neutre différent de o.., note 1 A (par analogie avec la multiplication).

Si la loi x est commutative, l'anneau est dit commuta!~ ou abélien.

UN PIEMIEI EXEMPLE Soit F l'ensemble des fonctions numériques réelles.

Pour deux fonctions, f et g de F, on définit la som me f+g de la façon suivante .

f+g est la fonction qui à un x associe f(x)+g(x) .

Autrement dit (f + g) : x - f(x) + g(x).

Faire la somme de deux fonctions, revient à faire la somme de leur image .

De même, la multiplication de deux fonctions se définit par (lx g) : x - f(x) x g(x).

Il convient de noter que, même si ces deux notions peuvent paraître naturelles, on vient de définir de façon complète deux opérations sur l'ensemble des fonctions .

li aurait été possible de définir une addition et une multiplication différemment ! Il faut garder en tête les définitions de ce que sont l'addition et la multiplication dans l'ensemble considéré et qu~ + et x ne sont que des symboles.

L'ensemble (F, +,x) ainsi construit est un anneau .

Par exemple la fonction nulle, c'est­ à-dire x - 0 qui à tout nombre associe 0 est l'élément neutre de F pour l'addition définie ci-dessus .

En effet.

ajouter la fonction nulle à une autre ne modifie pas la fonction de départ.

Ainsi o , =x-O.

De même , le neutre pour la multiplication est la fonction identiquement égale à 1, =x-1 car multiplier une fonction par une autre valant toujours 1 ne la modifie pas.

De plus , toute fonction f de F possède un inverse pour l'addition , à savoir (-f) : x- -f(x) car f+(-f) est la fonction x- f(x) + (-f(x)) à savoir x- 0 qui est le neutre pour +.

On peut remarquer que pour la multiplication, toutes les fonctions ne possèdent pas un inverse .

En effet, si f ne s'annule jamais , on remarque que ljf =x -1/f(x) est l'inverse de f pour x car fx 1/f = f(x)x 1/f(x) c'est-à-dire f x 1/ f =x - 1.

Mais si f s'annule en au moins un point.

écrire cela devient impossible car cela reviendrait à diviser par o .

DES ANNEAUX CLASSIQUES • (Z,+, .), (Q+, .), (R,+, .) et (C,+, .).

• !:ensemble des matrices carrées muni de la somme et de la multiplication des matrices .

Tout comme dans les groupes, on a des morphismes de groupes, on dispose également de morphisme d'anneaux.

MORPHISMES D'ANNEAUX Soient (A,+,.) et (B,+, .) deux anneaux (on note de la même façon les lois de A et de B).

Un morphisme d 'anneaux de A vers B est une application de A vers B telle que : • f( l .J = 18 ; • Pour tout x, y éléments de A , f(x + y) = f(x) + f(y) et f(xxy) = f(x) xf(y).

Autrement dit, un morphisme d'anneaux est une application compat ible avec les lois de l'anneau .

l ' addition , est inversible pour la multiplication.

Si l'anneau est commutatif (sous entendu " pour la multiplication », car un anneau est toujours commutatif pour l'addition d'après sa définition) alors le corps est dit commutatif .

Si l'anneau n'est pas commutatif, on parle de corps gauche.

DES COIPS CONNUS Z est un anneau commutatif mais non un corps car les éléments autres que 1 n'ont pas d'inverse pour la multiplication.

Par exemple, l'inver s e de 3 est 1/3 et 1/3 n 'est pas dans Z.

Pour établir un corps à partir de Z, on doit ajouter à Z des éléments tels que 1/3 ainsi que le produit de tels éléments avec ceux de Z.

Ce nouvel ensemble est Q l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme p/q avec p et q des nombres entiers relatifs .

Il existe des corps plus grands que Q à savoir R , ensemble des réels ou même C , ensemble des complexes .

POURQUOI DES STRUCTURES? On dispose à présent de trois structures fondamentales qui sont le groupe , l'anneau et le corps .

Mais pourquoi construire de tels objets mathématiques? La réponse est tellement simple que nous l 'avons sous nos yeux sans la voir.

Prenons l'exemple des nombres tels que nous les connaissons.

Lorsque l'on est enfant.

on apprend à compter : 1, 2, 3, etc.

On construit ainsi, sans même sans apercevoir , l'ensem ble N des entier s naturels , c'est-à-dire des entiers positifs .

N est un ensemble très utile pour compter mais présente un défaut majeur : on ne dispose pas des nombres négatifs.

Les nombres négatifs sont non seulement utiles dans la vie courante, par exemple pour caractériser une température inférieure à 0 •c, mais aussi et surtout pour résoudre des équations .

En effet, pour résoudre x+ 3 = 0, on doit ajouter -3 aux deux membres de f---------:"-----1 l'équation afin d'éliminer 3 à gauche du LES ENSEMBLES MATHHIAnQUES signe égale.

Éliminer 3 signifie que l'on ne veut plus que ce nombre apparaisse à gauche du signe "= >> .

Mais comment a-t-on fait? En ajoutant -3 dans chaque membre de l'équation, on utilise sans le savo ir les propriétés des lois de composition internes! On ajoute -3 tout simplement parce que -3 est l'inverse de 3 pour l'addition et N""""""'"" Q;-bre"'"""""' que donc 3+(-3) =O.

On obtient ainsi ~:;:;:.;:".: m.~ ~ ;:::;:;:;:;,..,~ le neutre qui par définition vérifie f-------------l X+O=X.

Dans le cas d'une loi de composition interne notée •, pour résoudre l'équation x*y = z d'inconnue x, on compose à droite par l'inverse de y .

Ainsi on obtient (x*y) *y'= z *y'.

Si la loi est associative , on peut écrire (x*y)*y' = x*(y *y ').

Or, comme par définition y*y' = e, on obtient II!UPU Dans un anneau , les éléments sont inversibles pour l'addition mais rien n 'est dit quant à leur inversibil ité par rapport à la multiplication .

De cette remarque nait l'idée d'inventer une nouvelle structure : le corps .

Un corps est un anneau dans lequel tout élément non-nul.

c'est-à -dire différent de l'élément neutre pour x•e = z*y ', c'est-à-dire x= z *y'.

On a ainsi résolu notre équation ! Ainsi l'ensemble N des entiers naturels ne permet pas de résoudre des équa tions faisant intervenir des sommes car on ne dispose pas des inve rses des nombres dans cet ensemble .

Il faut pour cela inve nter la structure de groupe.

!:ensemble Z des entiers relatifs possède une structure de groupe pour l'addition et permet ainsi de résoudre des équations faisant intervenir des additions.

Cependant, la plupart des équations font à la fois intervenir des additions et des multiplications.

Il est alors nécessaire d'adopter une structure d'anneau .

(Z,+,*) est bien un anneau mais un problème simi laire à celui de N se pose .

Il n'existe pas d'inverse pour la multiplication dans Z.

Un nouvel ensemble doit alors être créé : un corps.

Le corps Q des nombres rationnels permet de pallier ceci.

Ainsi, lorsque l'on passe de structure en structure, on gagne des propriétés tout en restant dans un cadre très général permettant de traiter un grand nombre de problèmes différents .

Par exemple, les équations faisant intervenir + et x peuvent être résolues dans un corps.

Après avoir montré que l'ensemble des matrices de déterminant non nul forme un corps, il sera possible de résoudre sans problème les équations faisant intervenir des somme s et des produits matriciels.

UNE DERNIÈRE STRUCTURE Comme vu ci-dessus, les structures algébriques permettent de résoudre des équations.

Mais les structures permettent de faire beaucoup d'autres choses .

La géométri e en est un exemple.

Lorsque l'on souhaite repr ésen ter des vecteurs et effectuer des opérations sur ceux-ci, on fait appel à une nouvelle structure :l'espace vectoriel.

Il s'agit ici de pouvoir effectuer des opérations telles que la somme de deux vecteurs ainsi que de multiplier un vecteur par un nombre (appe lé scalaire).

Il est donc nécessaire de définir un ensemble qui constituera ce que l'on appellera les vecteurs ainsi qu'un autre contenant les nombres (scalaires) que l'on utilisera pour les multiplier aux vecteurs.

Comme vu ci­ dessus, la structure la plus complète pour les nombres est le corps.

On prendra donc toujour s les scalaires dans un corps.

Soit alors K un corps.

On appelle espace vectoriel sur K, un ensemble E muni d'une loi de composition interne notée + conférant à E la structure de groupe commutatif et d 'une loi dite externe notée par un point qui à un scalaire de K et à un vecteur de E associe le produit de ces deux éléments .

Ainsi, à un vecteur x et un scalaire À, on associe le vecteur À.X.

Par exemple, si le corps choisi est R l'ensemble des nombres réels, et E l'ensemble des vecteurs du plan pouvant s'écrire ( b) avec a et b deux nombres réels correspondants aux coordo~nées du vecteur, À(t:) =( À:~)· Par ailleurs, la loi notée point doit vérifier les axiomes suiva nts, x et y désignant des éléments (vecte urs) de E, a et b désignant des scalaires : • a (X+ y)= ax+ay ; •(a+b)x=ax+bx; • a(bxx) =ab xx; •lx=x.

LES SYMÉTRIES DE LA NATURE ET LES GROUPES Lors que l'on observe le monde phys ique, on ne peut que remarquer l'importance des symétries .

Ces dernières structurent l 'univers à notre échelle, mais aussi, comme le prouve la phys ique moderne , l'univers de l'infiniment grand et celui de l'infiniment petit.

Mathématiquement.

les symétries d'un système physique permettent de faire baisser le nombre de p aramètres inconnus décrivant ce système.

Il a fallu cependant attendre le X IX' siècle pour disposer d'un bon support conc eptuel au sujet des symétries.

Même si, historiquement, la notion de groupe n'est pas née avec comme objectif celui de traiter des symétries, c'est cette notion qui permit de les mod éliser complètement et de les étudi er dans toute leur généralité.

Le géniteur premier de la théorie des introduisit cette notion afin d 'étudier la u~ ,;;.;~ OI;;o;liWIIilllll possibilité de résoudre les équations polynom iales de degr é supérieur ou égal à cinq par radicaux .

Il remarqua une symétrie dans l'écriture des racines des polynômes de degré inférieur à 5, puis construisit un groupe correspondant à ces symétries (groupe de permutation) .

Il montra les liens entre certaines des prop riétés mathématiques de ce groupe et le fait que les racines du polynôme correspondant soient exprimables par radicaux.

Il montra final ement que ces propriétés mathématiques n'étaient pas vérifiées si le degré du polynôme considéré était supé rieur ou égale à 5 .

LA FORMULE DU BINÔME DE NEWTON Soient a, b deux éléments d 'un anneau, tels que a et b commutent.

c'est à dire avec ab =ba .

Soit n un entier naturel, on a alors la formule du binôme de Newton : (a+b)' • ~C!a'b•-• avec c• ___ n_!_ ' k!(n -k)l Cette formule, pour n=2 , n'est autre que l'une des fameuses identités remarquables que les lycéens doivent appr endre par cœur : (a+b)' = a2+2ab+b ' De même , on dispose d'une autre formule très utile dans un anneau dont deux éléments x et y commettants.

,_, x'- y' • (x-y)~x' y•-•-• Dans le cas n=2, on retrouve une autre ident ité remarquable : x'-y' = (x-y)(x+y) .. »