Les nombres premiers : VERS UNE RECHERCHE SANS FIN ?

« nombres premiers s'observe sur l'allure de la courbe 1t(x).

Bien que cette dernière tende vers l'infini, elle a une direction asymptotique horizontale.

Au début du XIX' siècle , Gauss et Legendre ont formulé séparément la même conjecture : ils supposèrent que le comportement de la fonction 1t(x) à l'infini était le m ême que celui de x/Log(x).

Cette conjecture a en effet été démontrée en 1896 de man ière indépendante par Jacques Hadamard et Charles -Jean de la Vallée Poussin, et porte le nom de «théorème de la raréfaction des nombres premiers ».

LA RENAISSANCE DE L'ARITHMÉTIQUE Après avoir été développée initialement dans l'Antiquité , l'arithmétique a connu sa renaissance au XVII' siècle avec notamment les travaux de Fermat Ptlsca/ et Leibniz .

Parallèlement à ces travaux, ces savants sont les principaux découvreurs du calcul différentiel et ont beaucoup fait progresser la connaissance des s éries infin ies, c'est-à-dire des fondements de ce que les mathématiciens appellent aujourd'hui l'analyse .

Cela n 'est pas un hasard : la découverte du calcul différentiel est directement liée au développement de l'arithmétique comme Leibniz en témoigne lui-même dans sa Quadrature arithm étique du cercle , de l'ellipse et de l'hyperbole .

L'arithmétique n 'a elle-même pu progresser que par la découverte des principes qui engendrent les nombres , donc par une meilleure connaissance des nombres premiers.

W THOOitMES DE fEUIAT Deux «théorèmes » de Fermat, particu ­ lièrem ent célèbres en arithmétique, ont longtemps été considérés comme des conjectures (bien qu'il ait lui-même déclaré les avoir prouvés ) , car on n 'en a pas retrouvé de démonstration après sa mort L'un d'entre eux, appelé « petit théorème de Fermat », concerne les nombres premiers .

Pierre de Fermat énonce que si n est un nombre entier et p un nombre premier , alors (n' - n ) est divisible par p.

Ce théorème a été démontré par la suite par Leonhard Euler et généralisé par Gauss qui en fit un fondement de ses travaux sur les résidus quadratiques dans ses Recherches arithm étiques .

Un autre théorème de Ferma t a joué un rôle clef dans le développement u~érieur de l'arithmét ique : il énonce que tout nombre premier de la forme 4n + 1 , par exemple 17 = (4 x 4) + 1, peut être considéré comme la somme de deuxcarrés , c'est -à -dire 17 = 42 + 1'.

Cependan~ Fermat a aussi émis une conjecture qui s'avéra fausse par la suite.

Espérant avoir trouvé une progression régulière de nombres premiers , il dit que tous les nombres de Fermat , ceux qui s'écrivent sous la forme 22 ' + 1, sont des nombres premiers.

Plus tard , Euler montra que 2:t' + 1 , c'est-à-dire 4 294 967 297 est égal à 6 700 417 x 641, donc qu'il n 'est pas premier.

LES NOMIIES PIEMIUS DE MEISENNE Marin Mersenne est un contemporain de Fermat qui s'est beaucoup intéres sé aux nombres premiers.

Il a notamment cherché à déterminer les nombres prem iers de la forme M = 2 ' - 1, l ' exposant p étant un nombre entier .

Les nombres qui s 'écrivent sous cette forme sont appelés « nombres de Mersenne ».

Attention : tous les nombres de la forme 2 ' - 1 ne sont pas nécessa irement des nombres premiers.

Néanmoins , les nombres premiers de Mersenne présentent certaines propriétés remarquables.

Une propr iété énonce que si M est un nombre premier de Mersenne, alors le nombre M(M + 1 ) /2 est un nombre dit «parfait» , c 'est-à -dire égal à la somme de ses diviseurs propres .

Un exemple de nombre parfait est 6 : 6 = 1 x 2 x 3 = 1 + 2 + 3.

En prenant M = 7, alors M (M+ 1 )/ 2 = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (somme des diviseurs propres de 28).

Par ailleurs , suivant la formulat ion M = 2 '- 1, si M est un nombre premier , alors p l'est également.

Cependan~ la réciproque est faus s e : par exemple , si p = 11, alors M = 2 0 47 = 23 x 89.

Le plus grand nombre premier actuel , découvert en mai 2004 par un réseau d'ordinateurs (projet GIMPS), est un nombre d e Mersenne : 224. »