Les nombres complexes

« droites [OA) et [OM).

Ces deux renseignements sur l'emplacement du point M sont les coordonnées polaires .

Dans ce nouveau système, M a pour coordonnées (r, 6).

Par analogie, on peut situer l'Opéra Garnier en disant qu'elle se situe à 2 km au nord-est de la Tour Eiffel.

Ainsi, dans les coordonnées polaires , la première composante donne la distance à l'origine , quant à la deuxième elle indique la direction.

On remarque que l'on doit avoir r 2: o.

On a les relations suivantes entre ces deux types de coordonnées : a=rcos6 b =r sin 6 et inversement : r=v(a' + b') cos 6 =a 1 r, sin 6 = b 1 r.

LA NOTATION EXPONENnELU leonhard Euler (1707-1783) fait partie des mathématiciens les plus prolifiques de l'histoire des mathématiques .

Ce mathématicien suisse a rédigé près de 900 livres et articles .

On lui doit entre autres les notations f(x) pour les fonctions, e pour la base des logarithmes naturels, i pour la racine de -1 etJt .

C'est lui qui découvre la relation : e ie =cos 6 + i sin 6.

Cette relation s'appelle la formule d'Euler.

Si on applique cette formule à 6 =" , on trouve : e in+ 1 =o.

Cette formule est souvent surnommée la plus belle formule mathématique car elle allie astucieusement les nombres : 0, 1, e, "et i.

Utilisons dèsormais les relations entre les coordonnées cartèsiennes elles coordonnées polaires .

Dans ces deux systèmes, le point M d ' affixe z a pour coordonnées (a, b) ou (r, 6).

z =a + ib = r cos 6 + ir sin 6 = r (cos 6 + i sin 6).

D 'où z = rei9 .

On peut remarquer que : [ei91 = v(cos 2 6 +sin ' 6) = 1.

Il en découle que : 1z1 = lrl x lei91 = r.

la notation exponentielle (appelée aussi forme polaire) a l'avantage de nous donner facilement le module d'un nombre complexe.

e est appelé l'argument de z et on note 6 = arg(z) .

la forme polaire permet aussi de simplifier la multiplication et la division: z x z'= (r x r') e i(e+e) z' f z = (r' f r) e i(e·- 9>, il en découle que arg (z' 1 z) = arg(z') -arg(z).

SïvetV' sont les images de z et z' alors l'angle entre ces deux vecteurs vaut e·- e, arg(Y.

V' ) = arg( z' 1 z ) = e·- e.

ï = r(cos e- i sine)= r(cos [-e] + i sin [-eD =re -is.

Pour l'addition ella soustraction, la forme a + ib convient mieux tandis que pour la multiplication et la division, c'est la forme re"' qui est plus pratique.

Quant à la conjugaison, les deux formes donnent de bons rèsultats.

LA FOIMUU DE MOIVRE Nous avons vu que cos 6 + i sin e = ei9 , la formule de Moivre s'obtient en élevant cette égalité à la puissance n : (cos 6 + i sine)"= (eiSJ• =ein e= cos ne + i sin ne.

Cette formule permet entre autres d'exprimer cos kx en fonction de cos x lorsque k est un entier et trouver les coefficients des polynômes de Tchebychev (1821-1894) .

Exemple : avec k = 4, Re (cos 4e + i sin 4e) = Re ((cos e + i sin e)•) cos 4e =cos •e-6 cos2 esin 2 e + sin4e=a cos4e- a cos2e + 1 On a utilisé pour la dernière étape l'égalité cos2 e + sin2 e = 1.

LA MUUlPUCATION PAA fi' Soit M un point du plan centré en 0 d'affixe z et M'le point d'affixe z'=z x eix.

On a : OM' =J;'I = lzlleixl = lzl = OM, et arg (oM, OM') = arg( z',z) = arg(eilj =x.

Donc M' est l'Image de M par la rotation de centre 0 et d'angle x.

Exemple : avec z =a + ib et x= Jt/2 (ceci correspond à une rotation de 90 °).

ein/2 = i donc z' = z x i =- b + ia.

lES TRANSFORMATIONS DU PLAN l'un des nombreux avantages de la manipulation des nombres complexes est le lien très fort qui existe entre ces nombres et la géométrie du plan.

Nous allons étudier les transformations usuelles du plan et montrer comment traduire ces opérations géométriques avec les nombres complexes .

Par la suite le point B sera l'image du point A par la transformation étudiée, Q sera le centre de la transformation si cela est nécessaire et z:s.

z,.

z0 seront les affixes de ces trois points .

LA IOTATION D' ANGU X n DE CENTIE Q On doit avoir QÂ = QB et arg (QA, nB)= x.

Ce qui s'écrit avec les complexes IZe- z01 = lzA- z 01 et arg(z 8-Zc, zA- Zc) =X.

soit z8 -z0 = (zA- z0 ) eix.

D'où z8 = z0 + (zA- Zc) eix.

LA TIANSLATION DE VEmUI Û On a la relation : Aâ = û.

donc Zg- z.

=lü.

On obtient : z8 = zA+Z ü .

L'HOMOTHtnE DE CENTIE Q n DE IAPPOIT K Comme QB = k QÂ alors Zg - Zc = k(zA- Zc).

Donc z8 = z0 + k(z.

-Zc).

lEs SYMhaiES D'AXE Par rapport à 1 'axe des abscisses : Zs=Z.

Par rapport à 1 'axe des ordonnées : zs = -z.

QUELQUES PROPRIÉTÉS SUR C ( EST UN COIPS COMMUTATIF (C, +, x) est un corps .

Ceci doit se lire: l'ensemble des complexes muni de l'addition et la multiplication est un corps.

Un ensemble est un corps s'il posséde les propriétès suivantes : il est stable par addition et multiplication (ceci revient à dire que la somme ou le produit de deux nombres complexes est encore un nombre complexe) , tout élément posséde un opposé et s'il est non nul, un inverse (cette propriété est simple à montrer, avec z =re ie,- z =re i(e • n) est l'opposé de z et z -• = 1/r e-i6 est l'inverse de z).

De plus, C est un corps commutatif c 'est-à-dire que z x z' = z' x z.

On peut remarquer que C n'est pas ordonné contrairement à R.

Si on prend deux éléments a et b dans R on a soit a s b soit b s a.

Dans C cela na p 'as de sens.

( EST ALGhiiQUEMENT CLOS On appelle polynôme toute fonction de la forme: P(x) = anX" +an- 1 x. »