Les matrices: mathématiques

« A est une matrice à n = 3 lignes et p = 4 colonnes, c'est-à-dire que A E M'· De plus, a23 = 4 ; a32 = 5.

On peut bien sûr définir plusieurs opérations sur les matrices, à commencer par les opérations classiques : addition et multiplication.

ADDITION Dans le cas de deux matrices D et E telles que n = p, les produits DE et ED ne sont pas égaux de manière générale (on dit que le produit n'est pas commutatif) .

Une telle matrice, ayant autant de lignes que de colonnes, est dite carrée.

On note D E M Exemple : -7 3 -4 -2 0 -12 -20 -12 LIEN AVEC LES APPLICATIONS LINÉAIRES APPLICATIONS LINtAIRES Il faut pour additionner les matrices qu'elles aient le même nombre de lignes et de colonnes.

Ensuite on les additionne case par case .

Dans le cas de deux matrices A et B de Mn,p (à n ligne et p colonnes}, on procède de la ( 01 9 x2-45 -7+27J= ( -43 20 J D DE Somme sur les diagonales descendantes : En réalité, chaque matrice peut s'interpréter comme un tableau de nombres , ou comme la définition d'une « fonction "· En effet, en reliant les matrices aux espaces vectoriels, les matrices représentent les applications linéaires : en physique, les torseurs décrivent les déplacements d'un objet et ils sont en fait une expression de la fonction qui permet de déplacer l'objet de sa position initiale à sa position actuelle .

Par exemple, dans le domaine de la physique , plus précisément de la mécanique , pour représenter la rotation d 'un mobile, on peut écrire les équations de changement de ses coordonnées x et y par et façon suivante : [ a , A+ B = ; a,, b:,] (~}X~ :~: ~~)=( ~ ~:) b.., =[a" ~b., a ,1 +b,.1 le résultat est une matrice C = (A+B) = (C;j)1, ;.n, '• i• P de Mn,p également , dont les coefficients c;i sont définis par C;j = a;i+b ;i · MULTIPLICATION On pourrait penser à une multiplication terme à terme également, mais ce n'est pas de la sorte que se définit la multiplication de deux matrices.

Concernant les dimensions, on ne peut pas multiplier n'importe quelle matrice.

Il faut que le nombre de lignes de la première soit égal au nombre de colonnes de la seconde.

Dans le cas de deux matrices A E Mn k et B E M~P on pose le calcul et on ' obtient une matrice ( ; ( CiV 1 si:sn , 1 s js pE Mn,p dont les coefficients C;j sont définis par t c u = ~a 11bu c'est-à-dire que chaque terme c;i de la matrice résultante est égal à la somme des produits terme à terme des éléments ail de la ligne i de la matrice A avec les éléments b1i de la colonne j de la matrice B.

Un exemple de multiplication de matrices est donné dans l'encadré ci-dessous.

DÉTERMINANT Opération qui n'existe que pour les matrices carrées, ayant autant de colonnes que de lignes à savoir n = p , le déterminant d'une matrice est un nombre .

Son expression sur des matrices ayant plus de trois colonnes est complexe, mais il s'exprime bien pour des dimensions inférieures : les applications en physiques (tenseurs en mécanique par exemple) s'attachent à des matrices de dimensions n = 2 ou 3.

n=1 : matrice réduite à un seul élément, det(A) = det(a 11) = a11 le déterminant est égal à cet élément.

n=2 : le déterminant est égal aux produit des termes diagonaux (termes de diagonale descendante) moins le produit des termes non diagonaux (termes de diagonale montante) n=3: Pour calculer le déterminant d'une matrice de M3 , 3 on recopie d'abord les deux premières lignes sous la matrice puis on effectue des produits sur les diagonales descendantes et montantes ja11 xa22 xa33l ~ = +ja,, x a , xa, l +aJixat2 ~J Somme sur les diagonales montantes : a3 1x a22xa13 dm(A)= +l~,,)(~ ,xa,,l .__......, +lc1.2J xal2xaJJI Finalement on trouve det(A) = dd (A) -dm (A) cette méthode est appelée la règle de Sarrus .

Exemples : Calcul pour une matrice à 2 lignes et 2 colonnes : {x(t)- x{O )xcost- y(O )x sint y(t)- x{O)xsint + y {O)xcost Ou bien on peut décomposer ce système en trois matrices : deux vecteurs (matrices colonnes, telles que p = 1 ) et une matrice .

Ici, les deux vecteurs colonnes sont les vecteurs det( D)-det ( ~ :) - 1 x(-4) -0x9 --4 coordonnées et ont tous deux même longueur n = 2, donc la matrice est Calcul pour une matrice à 3 lignes et 3 carrée de M2, 2 • On écrit : colonnes - 1 -3 4 dd(F) = 2x(-3 }x1 + Ox7x5 + 6x(-1}x4 = -30 dm ( F) = Ox(-1)x1 + 2x7x4 + 6x(-3 )x5 =-44 det(F) = dd(F) -dm( F) = -30- (-44} = 14 TRACE On peut tirer d'autres nombres intéressants d'une matrice , en considérant cette fois uniquement ses coefficients diagonaux : la trace ne s'applique de nouveau qu'aux matrices M(t) • (.r(t)) ·(COSI y(t) sml - sinl)(.r(O)) COSI y(O) •R(t)M(O) où M(t) est le vecteur position du point M à l'instant t, M(O} est le vecteur position à l'instant initial , lorsqu'on débute l'expérience) , et R(t) est la matrice de rotation à l'instant 1.

On peut étendre cela à une «fonction " f allant d'un espace de dimension p à un espace de dimension n : on écrira alors Y= MX où Y E M 1,n M E Mn,p et X E M 1,p pour l'habituel y= f(x), où y est dans l'espace d 'arrivée F de dimension n, et x dans l'espace de départ E de dimension p.

Ces « fonctions " f sont en fait des applications linéaires ou morphismes, c'est-à-dire qui sont définies dans un espace vectoriel E (dont les éléments sont des vecteurs et se représentent avec des matrices colonnes) et à 1------------....l-------------1 carrées et permet de calculer la somme valeurs dans un autre espace vectoriel F (qui peut être égal à E comme on l'a vu avec la rotation) et vérifient les propriétés suivantes : Exemple de multiplication de matrices En pratique, on pose le calcul comme suit : (! -~ 17 1~5] Ae M ,, 4 5 6 -7 B e M., [ 1~2 _: l -] 5 [ l/ 2xl+2x 2+3xl 7 +(-l)x 8 AB=Ce M,,, l/2x3 + 2x(-3) +3x 4 +(-l)x l,5 l/2x 4 + 2x5 + 3x 6+ (-l)x (-7) 4 xl+ l x 2+ (-2) xl7 +5x 8 J 4x 3+ lx (-3) +.

(-2) X4+ 5x l.5 4 x 4+ lx 5+ (-2) x6+ Sx (-7) de tous les termes diagonaux.

Pour tout élément A de Mnn on définit la trace par : · [ a " tr(A)=tr ' a ,, Exemple : calcul pour une matrice à 2 lignes et 2 colonnes tr(D) •Ir( ~ :) •l +(-4)- -3 Calcul pour une matrice à 3 lignes et 3 colonnes ~~ ~)-2+(-3) +1-0 -pour tous a et b dansE, f(a)+f(b) -pour tous À E K et a E E, f ( M) = Àf(a) (K est un corps sur lequel est défini l'espace vectoriel E , usuellement le corps des nombres réels R) Dans le cas où E = F, on dit que fest un endomorphisme .

MATRICES DE PASSACE En fait lorsque l'on écrit la matrice M E M n,p correspondant à une application linéaire f, cela se fait toujours d'un espace E avec une certaine base B E= (ej),• i• P vers un espace F avec une certaine base B F= (f;),,;sn Ainsi la matrice de l'application identité Id, telle que pour tout x on ait ld(x) =x et F =Ede dimension n, n'est pas la matrice identité (il n 'y a de 1 que sur la diagonale , tous les autres coefficients sont nuls) si les bases BE et B'E= BF ne sont pas confondues : on décompose alors chaque vecteur f i de la base B'E selon les vecteurs e; de la base B& ce qui revient à les projeter comme on le ferait en physique pour décomposer un vect eur v suivant le repère (0, ex, ey, ez) e n v= vxex+vyey+vzez où l'on a en fait vx =v.

ex, vy = v.ey et vz = v.ez par projection.

la matrice de passage de la base BE= (ej), •i• P à la base BE= (f;)1.;.n s'écrit donc: PB[ - : [ .f,.e, B - .

E J.,.e, On utilise ensuite ces matrices pour exprimer un même vecteur dans deux bases différentes : si X désigne le vecteur écrit dans la base BE et X' le même vecteur écrit dans la base B 'E alor s on les relie par la relation X=P% 'EX' E Exemple : en physique on a souvent besoin d 'exprimer un vecteur: ·-( ~) exprimé dans un repère cartésien suivant des coordonnées dites cylindriques : On doit passer de (0, e,, ey, e ,) à (0 , e,, ew e,).

la matrice de passage s'écrit (cos 8 - sin 8 0) sin6 cos6 0 0 0 1 car il s'agit en effet d 'une rotation dans le plan (0, e,, ey) et le vecteur vertical ez reste inchangé.

Par ailleurs, on a (v,) (cos6 - sin6 O)( v' ) v, -s mB cosB 0 v, v , 0 0 1 v, et on retrouve les formules de rotation.

INTERPRÉTATION DES OPÉRATIONS MATRICIELLES EN TERMES D'APPLICATIONS LINtAIRES l'addition des matrices correspond à l'addition des morphismes : on comprend mieux pourquoi il faut que les dimensions soient les mêmes, dans la mesure où pour des applications linéaires il faut que les espaces de départ et d'arrivée soient identiques pour les deux fonctions.

la multiplication des matrices correspond à la composition .

là encore les dimensions se justifient : - si f va de E vers G, avec E de dimension p et G de dimension k -si g va de G vers F , avec F de dimension n alors g .

f va de E vers F - si M E M~P est la matrice de f et N E Mn,k celle de g, alors NM E M n,p est la matrice de g • f.. »