les limites

« Rappel CPGE 2 Limites de fonctions, asymptotes et branches infinies Le but principal de ce chapitre est d’étudier le comportement des valeurs d’une fonction lorsque la variable se rapproche des bornes de l’intervalle d’étude ou d’une valeur particulière donnée. Nous ne reviendrons pas sur les définitions du concept de limite. Dans toute cette leçon, on considère une fonction f définie sur un domaine D et Cf sa courbe représentative dans un repère. 1 – Asymptotes directes : 1) Asymptote horizontale : On considère que le domaine D comporte au moins une borne infinie. a) Définition : Lorsque lim f (x)  L   , alors la courbe Cf admet la droite d’équation y = L comme asymptote horizontale en  . x   Lorsque lim f (x)  L   , alors la courbe Cf admet la droite d’équation y = L comme asymptote horizontale en  . x  b) Interprétation : Lorsque les valeurs de la variable x sont de plus en plus grandes, c’est-à-dire au voisinage de  , la courbe Cf se rapproche de plus en plus de la droite horizontale d’équation y = L. Lorsque les valeurs de la variable x sont de plus en plus petites, c’est-à-dire au voisinage de  , la courbe Cf se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = L. L 2) Asymptote verticale : Soit a un réel, n’appartenant pas forcement au domaine D mais étant au moins au voisinage de l’une des bornes de D. a) Définition : Lorsque lim f (x)   ou lim f (x)   alors la courbe Cf admet la droite d’équation x = a comme asymptote xa xa verticale. b) Interprétation : Lorsque les valeurs de la variable x sont de plus en plus proches de a, c’est-à-dire au voisinage de a, la courbe Cf se rapproche de plus en plus de la droite verticale d’équation x = a. 1 M.

ALBERNI Lycée ND de Bon Secours 2 – Limites des fonctions usuelles à connaître : 1) Limite quand x tend vers l’infini : Constantes : Soit k   .

lim k  lim k  k . x  lim x   Polynômes : x  lim x 2   lim x 3    si n impair n n * lim x  lim x   n   ; et .    x    si n pair lim x   lim x 2   lim x 3   x  x  x  x  x  Racine carrée : lim x  1 0 x Inverses : 1 lim  0 x  x lim x  x  x  x   . 1 0 x2 1 lim 0 x  x 2 lim x  1 0 x3 1 lim 0 x  x 3 lim lim x  x  1 x 0 Cas général : Si lim f (x)   alors lim x  x  1 0. f (x) Exponentielle : lim e x   et lim e x  0 .

Par inverse, lim ex  0 et lim ex   x  x  x  x  Logarithme : lim ln x   . x  2) Limite quand x tend vers x = a réel : Lorsque f existe en a et est continue en a (chapitre 7), nous avons lim f (x)  f.... »