Les limites

Chapitre 5. Limites de fonctions I. Limites Le cours sur les limites de fonctions est plus volumineux que le cours sur les limites de suites car pour une suite, on envisage uniquement le cas où l’entier n tend vers +∞ : lim un . n→+∞ Pour les fonctions, la variable x peut tendre vers +∞ ( lim f (x)) ou vers −∞ ( lim f (x)) ou vers un réel (lim f (x)) et aller vers ce réel par la droite (lim f (x)) ou par la gauche (lim f (x)). Les situations à étudier sont x→+∞ x→1 x→−∞ x→1 x<1 x→1 x>1 donc nettement plus nombreuses. 1) Limite infinie en l’infini a) Exemples Exemple 1. On considère la fonction f définie sur [0, +∞[ par : pour tout réel positif x, f (x) = aux valeurs prises par la fonction f pour les grandes valeurs de x. Voici un tableau de valeurs x √ x √ x. On s’intéresse 0 4 10 100 1000 10000 100000 1000000 1020 0 2 3, 1 . . . 10 31, 6 . . . 100 316, 2 . . . 1000 1010 √ On va donner √ un sens plus précis à la phrase : « x√est grand quand x est grand ». > 10. Peut-on avoir √x > 10 ? Oui, dès que x > 100, alors x √ Peut-on avoir x > 100 ? Oui, dès que x > 10000, alors x > 100.√ √ A ? Oui, dès que x > A2 , alors x > A, Plus généralement, si A est un réel positif donné, peut-on avoir x > √ et si A est un réel négatif, c’est encore mieux car dès que x > 0, alors x > A. √ Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x pourvu que l’on prenne √ x assez grand. On traduit ce fait en √ disant que la limite quand x tend vers +∞ de x est +∞ et on écrit lim x = +∞. x→+∞ Exemple 2. On considère la fonction f définie sur R par : pour tout réel x, f (x) = x2 . On s’intéresse aux valeurs prises par la fonction f pour les grandes valeurs négatives de x. Voici un tableau de valeurs x 0 x2 0 −1 1 −2 4 −3 −10 9 100 −20 400 −50 2500 −100 10000 −1000 1000000 On va donner un sens plus précis à la phrase : « x2 est grand quand x est négatif et grand en valeur absolue ». Peut-on avoir x2 > 10 pour un réel négatif ? Oui, dès que x < −4, alors x2 > 10. Peut-on avoir x2 > 100 pour un réel négatif ? Oui, dès que x < −10, alors x2 > 100. √ Plus généralement, si A est un réel positif donné, peut-on avoir x2 > A pour un réel négatif ? Oui, dès que x < − A, alors x2 > A, et si A est un réel strictement négatif, c’est encore mieux car pour tout réel x, on a x2 > A. Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x2 pourvu que l’on prenne x négatif assez grand en valeur absolue. On traduit ce fait en disant que la limite quand x tend vers −∞ de x2 est +∞ et on écrit lim x2 = +∞. x→−∞ b) Définitions Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]α, +∞[ ou [α, +∞[. 1) On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient f (x) pour x positif assez grand. On écrit alors lim f (x) = +∞. 2) On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ contient f (x) pour x positif assez grand. On écrit alors lim f (x) = +∞. x→+∞ x→+∞ © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr Pour tout réel A, f (x) < A dés que x est suffisamment grand lim f (x) = −∞ f (x) x ] A x→+∞ Pour tout réel A, f (x) > A dés que x est suffisamment grand lim f (x) = +∞ ] A x f (x) x→+∞ Définition 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] − ∞, α[ ou ] − ∞, α]. 1) On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On écrit alors lim f (x) = +∞. 2) On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On écrit alors lim f (x) = −∞. x→−∞ x→−∞ Pour tout réel A, f (x) < A dés que x est négatif et suffisamment grand en valeur absolue lim f (x) = −∞ ] f (x) x→−∞ A x ] x Pour tout réel A, f (x) > A dés que x est négatif et suffisamment grand en valeur absolue lim f (x) = +∞ A f (x) x→−∞ c) Limites de référence infinies en l’infini Théorème 1. 1) a) Pour tout entier naturel non nul n, lim xn = +∞. b) Pour tout entier naturel non nul p, lim x2p = +∞ et pour tout entier naturel p, lim x2p+1 = −∞ ou x→+∞ x→−∞ +∞ si n est pair encore, pour tout entier naturel non nul n, lim x = { . −∞ si n est impair x→−∞ √ 2) lim x = +∞. x→−∞ n x→+∞ Voici les graphes des fonctions x ? x2 , x ? x3 et x ? © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. √ x. 2 http ://www.maths-france.fr 2 2 −2 −1 1 y= 1 y= x2 x3 2 1 2 −1 −2 −1 −2 1 −1 −2 1 2 −2 −1 √x = y 1 2 −1 −2 √ x = +∞ et que lim x2 = +∞. x→−∞ √ • Soit A un réel. Si A < 0, alors pour tout √ réel x ? 0, x > A. √ √ 2 x > A2 (par stricte croissance de la fonction t ? t sur [0, +∞[) ou encore Si A ? 0, alors pour x > A , on a √ x > A. √ Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x pourvu que x soit suffisamment grand et donc Démonstration. Nous allons démontrer que lim x→+∞ lim x→+∞ √ x = +∞. • Soit A un réel. Si A < 0, alors pour tout réel x, x2 > A. √ √ 2 Si A ? 0, alors pour tout réel x < − A, on a x2 > (− A) (par stricte décroissance de la fonction t ? t2 sur ] − ∞, 0]) ou encore x2 > A. Ainsi, tout intervalle de la forme ]A, +∞[ contient x2 pourvu que x soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue. Donc lim x2 = +∞. x→−∞ Exercice 1. Soit f la fonction définie sur R par : pour tout réel x, f (x) = 1 − (x − 2)2 . Montrer en revenant à la définition que lim f (x) = −∞. x→−∞ Solution. Soit A un réel. Soit x un réel. f (x) < A ⇔ 1 − (x − 2)2 < A ⇔ 1 − A < (x − 1)2 ⇔ (x − 1)2 > 1 − A. 1er cas. Si A > 1, alors 1 − A < 0 et donc pour tout réel x, (x − 1)2 > 1 − A puis f (x) < A. 2 ème cas. Si A ? 1, alors 1 − A ? 0. Par suite, √ √ √ √ (x − 1)2 > 1 − A ⇔ x − 1 > 1 − A ou x − 1 < − 1 − A ⇔ x > 1 + 1 − A ou x < 1 − 1 − A. √ En particulier, si x < 1 − 1 − A, alors (x − 1)2 > 1 − A puis f (x) < A. Ainsi, tout intervalle de la forme ] − ∞, A[ contient f (x) pourvu que x soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue. Donc lim f (x) = −∞. x→−∞ 2) Limite réelle en l’infini a) Définition Définition 3. 1) Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]α, +∞[ ou [α, +∞[. On dit que f tend vers le réel ? quand x tend vers +∞ si et seulement si tout intervalle ouvert de centre ? contient f (x) pour x assez grand. On écrit alors lim f (x) = ?. 2) Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] − ∞, α[ ou ] − ∞, α]. On dit que f tend vers le réel ? quand x tend vers −∞ si et seulement si tout intervalle ouvert de centre ? contient f (x) pour x négatif assez grand en valeur absolue. On écrit alors lim f (x) = ?. x→+∞ x→−∞ © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 3 http ://www.maths-france.fr Il revient au même de dire que lim f (x) = ? (respectivement lim f (x) = ?) et de dire que la distance de f (x) à ? tend vers 0 quand x tend vers +∞ (respectivement −∞). x→+∞ x→−∞ b) Droite a...