Les intégrales

« Bonaventura Francesco Cavalieri (1598- 1647), s'appuyant sur les travaux des astronomes Galilée (1564-1642) et Kep/er(1571-1630), va développer la théorie des indivisibles.

L'idée centrale de cette théorie est qu'une courbe peut être considérée comme une somme de points que Cavalieri nomme les indivisibles.

De même, la surface comprise sous une courbe peut être assimilée à la somme d'une multitude de lignes, indivisibles elles aussi.

Derrière cette idée d'indivisible héritée de Kepler, Cavalieri généralise la méthode d'exhaustion utilisée par le Grec Archimède.

En effet, si la surface comprise sous une courbe n'est rien d'autre que la somme de rectangles infiniment minces (les indivisibles) , il «suffit" d 'additionner toutes ces portions pour obtenir l'aire recherchée; c'est donc calculer une surface inconnue en la divisant en surfaces connues puis en les additionnant.

Pour comprendre la méthode de Cavalieri, prenons de nouveau l'exemple de la parabole d'équation y= x'.

Cavalieri considère d'abord que la surface sous la parabole peut être découpée en une série de rectangles de largeur identique, ici égale à 1.

Chaque rectangle centré sur l'abscisse x, a une hauteur égale à x' par définition de la parabole .

Le premier rectangle s'étend de 0,5 à 1,5 et est centré sur 1, il a donc une hauteur de 1', le second s'étend de 1,5 à 2,5 et est lui centré sur 2, donc une hauteur de 21 et ainsi de suite jusqu 'au rectangle~ · qui a pour hauteur m '.

Grâce à des expériences similaires sur d'autres surfaces, Cavalieri effectue le rapport de la somme des aires des rectangles précédents , sur l'aire du rectangle qui contient tous les autres.

Pour ce dernier, la base vaut m + 1 puisque le premier rectangle de surface nulle commence à -1/ 2 et que lem "'"' rectangle finit à m + 1/2, sa hauteur est égale à m' ; la surface du grand rectangle est donc m'(m + 1 ).

Le rapport défini par Cavalieri est le suivant : (Surface des rn rectangles) /(Surface du grand rectangle) = (1'+2 1+31+ ...

+m2)/(m ' (m+ 1)).

Après avoir testé différentes valeurs de m, Cavalieri simplifie ce rapport et il obtient la forme réduite de 1/ 3 + 1 /(6m).

Il remarque alors que pour des valeurs de massez grandes, le terme 1/(6 m) devient négligeable devant 1/3, ce qui préfigure la notion de limite .

Pour ces valeurs de m, Cavalieri en déduit donc que: (Surface des m rectangles) = 1 /3 (Surface du grand rectangle) ou en d'autres termes, (Surface sous la parabole) = 1/3 (Surface du grand rectangle).

Or, si l 'on considère la surface de la parabole, depuis l'origine (x=O) jusqu'à une abscisse x quelconque, on a donc : Surface sous la courbe de x1=(1/3)xx 1=(1/3)x '-Ce résultat obtenu par Cavalieri est fondamental puisqu 'il introduit la notion de primitive , comme nous le verrons par la suite.

Par ailleurs , cette méthode des indivisibles, quoique peu rigoureuse, a permis à Cavalieri de calculer des surfaces sous d'autres courbes ainsi que des volumes .

THÉORÈME FONDAMENTAL DE rANALYSE D 'autres mathématiciens tels que John Wallis ou Pierre de Fermat utiliseront des méthodes similaires pour calculer des surfaces sous des courbes de plus en plus compliquées (par exemple les fonctions polynomiales y=kx", avec k un nombre réel quelconque et n un nombre entier), mais sans jamais réussir à généraliser une théorie de l'intégration valable pour toutes les courbes.

Ce sont Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz qui vont, indépendamment l'un de l'autre et avec des notations différentes, unifier toutes les théories éparses relatives au calcul de surfaces sous des courbes .

C'est en travaillant, d'une part sur le calcul intégral (calcul des surfaces ou des volumes), et d'autre part sur le calcul différentiel (calcul des tangentes à une courbe, position des maxima et des minima), qu'ils vont faire le lien entre les deux et aboutir au théorème fondamental de l'analyse.

variation {!,)(très petite .

Il obtient que t.A = lim (y.{!,)() car il s'agit en fait de l'aire d'un rectangle de largeur infiniment petite {!,)( et de hauteur y= f(x).

Mais à la différence de ses prédécesseurs, Leibniz peut formuler cette égalité sans approximation car grâce au concept de limite , elle est rigoureuse d'un point de vue mathématique.

Et on tire de cette égalité que li rn (t.A I {!,)()=y .

En d'autres termes et d'après la définition de la dérivée posée par Leibniz , la variation ou la dérivée de l'aire sous la courbe de la fonction f(x) est la fonction f(x) elle­ même.

Pour calculer la surface entre deux points a et b, il suffit donc de sommer toutes les surfaces infinitésimales t.A entre ces deux positions.

Comme il s'agit d'une somme, Leibniz note cette opération avec les majuscule de l'époque J, et la différentielle de x est notée dx.

Nous avons donc dA= y.dx=f(x) . dx et par conséquent l'aire sous la courbe de f(x) est A=.~f(x)dx, soit l'intégrale de a à b de f(x).

Mais comment calculer cette intégrale? Nous avons vu précédemment que la dérivée de l'aire sous la courbe en un point x quelconque était égale à la fonction f(x).

Cela signifie qu'intégrer f(x) puis la dériver ne change rien ; la dérivation et l'intégration sont donc en quelque sorte deux opérations inverses l'une de l'autre : c'est le théorème f-------------i fondamental de l'analyse .

Et puisque LES DÉRIVÉES Le problème posé par le calcul d'une tangente à une courbe remonte lui aussi aux Grecs et à Archimède en particulier.

Et à l'instar du calcul des surfaces, les mathématiciens se sont intéressés à des comportements locaux, ce qui implique la manipulation de quantités infiniment petites et donc de très légères variations, il s'agit du calcul différentiel.

Roberval, Wallis ou Fermat développent des techniques astucieuses mais encore une fois, ils sont incapables de les généraliser.

Ce sera l'oeuvre de Leibniz qui, en introduisant le concept de limite, généralise le calcul différentiel tel qu'on le connaît aujourd'hui et définit mathématiquement la dérivée : dy/dx= lim {!,)(/L'.y.

Cette égalité signifie que la variation locale d'une fonction y=f(x) en un point x quelconque est le rapport d'une petite variation de la fonction associée à une petite variation de x, sur cette petite variation de x.

Le concept de limite est ici indispensable puisque la variation de x est infinitésimale .

Cette définition va ainsi permettre de calculer rigoureusement les dérivées de n'importe quelle fonction et de formaliser des règles de calcul.

Leibniz note f'(x) (prononcer f prime de x), la dérivée de la fonction f(x).

Connaître f'(x), c'est connaître les variations de f(x) en n'importe quel point.

Et par exemple, la dérivée d'une fonction constante est nulle , la dérivée de f(x) =x est f'(x)= 1 ou encore la dérivée de f(x) = x • est f'(x)=ax "''· A'(x)= dA/dx= f(x), pour calculer l'intégrale de f(x), il faut trouver une fonction F(x) que l'on nomme primitive de f(x), telle que F'(x)=f(x) .

L'aire sous la courbe de f(x) entre a et b est donc : A • [ f(x).dx • [F(x) l • F(b)- F(a) où a et b sont les bornes d'intégration, et x est la variable d'intégration.

rEXEMPLE DE LA PARABOLE Examinons le cas de la parabole qui a mobilisé l'attention de précurseurs tels qu'Archimède ou Cavalieri .

À cet effet, calculons par exemple l'aire sous la parabole entre x=-1 etx=4.

Selon la notation usuelle initiée par Leibniz, nous recherchons donc : f· [x2.dx Pour cela, il nous faut tout d'abord déterminer une primitive F(x) de f(x)=x ' tel que F'(x)=x 2 D'après les règles de dérivation déjà évoquées, (x")'=ax "·', on en déduit qu'ici F(x) = 1/3 x' car en considérant que a=3, F'(x)=(l/3x ')'=3 (1/3 x•-•)=x '.

D 'où en appliquant la règle de l'intégration : ..

l 1 ),.

1 3 l l•[,x.dx•[Jx ].,.3[4 -(-!)]• ![64-(-l)]· ~- 21.66666 ...

3 3 Il est également intéressant de noter au passage qu'avec sa méthode des indivisibles , Cavalieri a trouvé la primitive de la parabole.

rEXISTENCE D'UNE INTÉGRALE r-------------_, Avec la formalisation du calcul En utilisant sa propre définition du calcul différentiel, Leibniz va étudier une variation infinitésimale de l'aire LlA sous la courbe de y= f(x) et pour une infinitésimal , Newton et Leibniz ont véritablement inauguré l'ère de l'analyse mathématique .

De nombreux mathématiciens vont leur emboîter le Méthode de Cavalieri 40 20 0 pas et tenter de résoudre les nombreux problèmes mathématiques que pose le calcul intégral.

Pour n'en citer que deux, le Français Augustin­Louis Cauchy (1789-1857) et l'Allemand Bernhard Riemann (1826-1866) s'efforcent de travailler sur l'existence même d'une intégrale, ce qui les amène à définir plus précisément les notions de continuité et de limite .

Par exemple, est-ce que _,')(l!x ' )dx existe ? En effet, la fonction f(x)= 1/x' n'est pas définie en o car 1/0 n'est pas défini mathématiquement , donc des hypothèses sont nécessaires avant de calculer une intégrale.

Pour que :1 f(x)dx existe, f(x) doit être continue sur l'intervalle [a,b] : physiquement, cela signifie que l'on doit pouvoir tracer la courbe représentative de f(x) de a à b sans avoir à soulever le stylo de la feuille.

Le problème de la définition d'une intégrale se pose également lorsque l'intervalle d'intégration est infini.

Ainsi, quelle est l'aire présente sous la courbe de f(x) de 1 à l'infini (que l'on note avec le symbole =)? Intuitivement, on comprend bien que si la fonction tend vers une valeur infinie lorsque x tend vers l'infini, l'aire présente sous la courbe tend elle aussi vers l'infini, et par conséquent, l'intégrale n'est pas 5 définie.

Par exemple, ~)xdx n'est pas définie.

Mais réciproquement, ce n'est pas parce qu'une fonction f(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini, que ~)f(x)dx est forcément définie.

La fonction f(x) = 1 /x illustre parfaitement ce cas de figure.

En effet, la primitive de 1/x est définie comme étant le logarithme népérien, noté ln(x) avec lim ln(x)= =.

Donc ,~~ dx/x=~n(x) r or li;;ï /x=O, donc cette dernière hyp~thèse n'est pas suffisante.

Pour savoir si une fonction est intégrable sur un intervalle, c'est-à­ dire que l'intégrale ne prend pas une valeur infinie , il faut avoir recours aux comparaisons .

Si quelque soit x compris dans un intervalle [a,b], fetg étant deux fonctions continues sur cet intervalle, 1 f(x) 1 < 1 g(x) 1, alors .

.

~ f(x) !tU s ~ g(x) ltt< .

En d'autres termes, si la valeur absolue de fes t inférieure à la valeur absolue de g, alors leurs intégrales respectives sont ordonnées de manière identique.

Donc si la fonction g est intégrable (donc que son intégrale a une valeur finie), alors la fonction fi' est également et inversement, si f n'est pas intégrable (son intégrale prend une valeur infinie) , alors g ne l'est pas non plus .

Ainsi, à l'aide de quelques fonctions de référence , il est possible de savoir rapidement si une intégrale est définie ou pas.

Par exemple, pour l'intervalle [1, + = ],la fonction f(x)= 1/xa est une fonction de référence car elle est intégrable si et seulement si a est strictement supérieur à 1.

Étude de la variation infinitésimale de l'aire AA sous la courbe de y= f(x) x R 5 ille:. »