Les courbes sinusoïdales

« simples à retenir.

Les tables de sinus permettent d 'avoir des approximations décimales des valeurs obtenues pour de nombreux angles .

J:origine de telle s tables remontent à Hipparque au Il ' siècle avant J.-C.

Il avait établi des table s de cordes qui permettaient le passage des mesures d 'angle s à celles des cordes.

Ces table s étaient destinées à l'astronomie .

Elles ont malheur eusement été perdue s.

Aryabhata , au V' s iècle après J.-C., considérait la demi -corde de l'angle double plutôt que la corde de J'angle et ouvrit le passage entre table s de cordes et t ables de sinus.

Les premi ères tables de sinus auraient é té établies par le m athéma ticien arabe Al-Khwarizmi au IX' siècle.

FAMILLES DE FONCTIONS APPARENTÉES De nombreu ses fonction s ressemblent ou se rattachent aux sinus et cosinus.

fONCTIONS DÉSUÈTES ET COMPLÉMENTAIRES La fonction sinus verse , notée versin jouait un rô le extrêmement important aux XV'-xvl ' siècles.

Elle était la deuxième fonct ion la plus utilisée.

En revanche, de nos jours, son usage est quasi inexistant.

Les fonction s séca nte (sec), cosécante (cosec) et cotangente (cot a n) sont les inver ses multiplicatifs de la même mani ère à partir de cosinus.

sinus e t tangente .

Cotangente , cosinus et cosécante sont appelée s fonctions complémentaires.

correspondent aux mesures des angles non pas en degrés mais en radians .

Propriétés de sinus et d 'arcsinus La fonction sinus est définie sur l'ensemble des réels :to ut nombre , positif , négatif .

a u ssi grand ou aussi petit que l'on souhaite , admet un sinus.

Au contraire, le domaine de définition de l'arcsinus est beaucoup p lu s limit é: arcsinu s n'est défini que pour des valeurs comprises dans l'intervalle [-1; 1].

Les deux fonction s réciproques ont des sens de variation contraire : arcsinu s est croissante , tandis qu'arccosinus est décro issant e.

Les valeur s prises par a rcsin us et arccosinus varient respective m ent de -(rr/2 ) à rr/2 et de" à O.

Ce passage d'une extrémité de l'intervalle à l'autre respecte une r elation encore plus forte , exprimée par la formule suivante en tout point x : Arcsin (x) +Arccos (x) = rr/2 Enfin .

noton s que s i a r csinus est impaire comm e sinus, arccosinus n 'est ni paire , ni impaire , contrairement à cosinus.

E XPONENTIELLE COMPL EXE Leonhard Euler , déjà mentionn é pour avoir introdu it le concept de fonction pour Je sinus, d éfinit la fonction exponentielle complexe.

Il relia cette fonction aux fonction s sinus e t cosinus par une formul e remarquable , la formule d 'Euler .

Cette fonction évaluée en e" donn a d'ailleur s lieu a l 'identité d 'Euler , e'" + 1 = 0, que .---- --. Richard Feynman qualifia de" plus remarquable formul e des math ématiqu es».

Cett e fonct ion, dont la valeur en x est notée e•.

p ermet de repérer un point sur Sinus , cosinus , tangent e, sécan te, cosécante et cotangente sont les six fonction s trigonométriques.

Cependant , si en pratiqu e l'usage de sinus, cosinus et tangente est assez répandu , celui de cota ngente est moins fréquent et celui de séca nte ou cosécan te est particulièrement rare .

le cercle trigonom étrique .

Elle contient toute s les information s nécessaires à ARCSINUS ET ARCCOSINUS : LES FONCTIONS SOn positionnement et est très RÉCIPROQUES étroitement liée à l'ang le à mesure r .

À quoi serv ent les fonctions arcsinus et Sinu s et cosinus entretiennent eux aussi La fonction expone ntielle (différente de l'exponentielle complexe ) est une fonction positive qui croit très vite.

De même que sinus et cosinus sont respectivement les parti es impaire et paire de l'exponentielle complexe, les fonction s sinus hyperboliqu e sont les partie s impair e e t paire de la fonction exponentielle .

Comparons maintenant les propriétés des fonctions hyperboliques aux propriétés des fonction s trigonométriques correspondantes : • Une m ê me parité : le cosi nus hyperboliqu e est pair, tout comme le cosinus ; le sinus hyperboliqu e est impair, comme le sinus .

• Explosion de l'exponentielle et cercle borné : sin et cos proviennent du cercle et resten t enfermés dans un domaine étroit , il sont born és sur l'interva lle [ - 1 ;1]; au contraire , sh et ch proviennent d e l'expo nentielle qui croît très vite : leurs valeurs ne sont pas born ées et croissent même très rapidemen t ver s l'infini .

• Point de rencontre :sin et s h se rencontr ent en un seul point: l'origine de coordonnées (0,0).

De m êm e, cos et ch se rencontrent en un unique point , de coordonnée (O; 1 ).

sur l'axe des ordonnées .

L es fonction s sinusoïda les sont une famille de fonctions obtenues à partir de la fonction sinus .

TRANSFORMA TIONS DE L A FONCTION SINUS Qu'est-ce que changer la p ériode? Parton s de la repr ésentatio n g raphique de la fonction sinus e t étirons-la de part et d 'autre de l' axe des ordonn ées ( l'axe vertical du repè re), comme un accordéon .

Deu x ondul ation s identiques seront plus espacées.

On a arccosinus? Sinus e t cosinus asso cient un lien très étroit avec les angles, donc ainsi augmenté la période d e la une valeur à un angle ou une longueur avec l'expo nenti elle complexe.

La fonction sinus :celle-ci se répète à d 'arc.

Mais si on ne dispo se que des formule d'Euler est la suivante : l 'identique pour un interva lle plus valeurs du sinus ou cosinus, comment e• = cos(x) + isin(x) où i est l'unité des grand que l'intervalle n ormal.

Par une retrouver l'a ngl e? Deu x fonction s, nombre s imaginaires, élémen t compression, on p eut de même appelées foncti o ns r éciproques, fondament al des nombr es complexes diminue r la pé riod e.

L a période permettent ce passage : arcsinu s e t vérifiant l'égalité i' = -1.

Les formules norm ale d e s inus est de 2rr, mais grâce arccosinus .

Ainsi, alors que sinus et qui perm ettent de retrou ver le cosinus à ce procéd é, il est possible d 'obtenir cosinus faisaient passer des angles au et le sinus à part ir de l 'exponentielle n 'importe quelle périod e: période de calcul , les fonctions arcsinus et complexe sont également appelées 1,v'3 ...

Math ématiqu e m e nt, la fonction arccosinus p ermetten t de remonter du formul es d 'Euler .

On dit que cosinus est d e périod e T aura pour express ion au calcul aux angles.

Attention , les valeurs la partie pair e de l'exponentielle point t: prise s par les fonctions réciproques comple xe et sinus s a partie impaire.

J (t) = s in (2rr/ T) t =s in (w t) = r-.:.....;..;;..:;......;.;........;...;...;...;.;.:;...;..:....;.;.._..\ ..,;.;....;.:;.;.;.;;;..;.;..;...;.;.;..;.;.:;..;..;..;..;..=;..;;..___,\ sin (2rr Jt).

où w=2rr/T et J= 1/T et f -1 Le cercle trigonométrique se nomment respectivem ent la -1 pulsation et la fréquen ce.

Ces deu x grandeur s sont fréquemm ent utilisées à la place de la période , notamment en physique.

Qu'est-ce que change r l'ampl itude? Nou s pouvons égale ment étirer la courbe de sinus selo n l e sens vertica l.

Si nou s décriv io ns un paysage, nous dirions alors que la haut eur est plus important e, ou encore les bosses plus haute s et les cre ux plus bas.

Pour la fonction sinus, le vocabulaire exact est : l 'amplitude a été augmentée.

Elle correspond à la dis tance entre l'axe des abscisses (horizont a l) et un point de valeur maxim ale.

Qu'est-ce que changer la phase à l'origine ? Reprenon s la repr ésentation de sinus e t f aiso ns-la glisse r l e long de l'axe horizontal.

Sauf si le décalage est multipl e de la période , la représentation obtenue ne passera plus par le point {0,0).

Ainsi, nous avon s changé la phase à l'ori g ine cj>.

Pour une phase à l'origine cj>,la nouv elle formule mathéma tique est j(t) =sin (t+cj>).

Qu'est-ce que changer la moyen ne? Faisons glisser la courbe d e s inus non plus vers la droite ou gau che mais vers le haut ou Je bas.

Nous venons de changer la moyenne.

Par exemple, si la fonction sinus a été d écalée de deux unités vers le haut , la moyenne sera de 2.

La formule de la moy enne est la suivant e : J(t) = rn+ (sin) t.

Tout en un Une fonction sinus peut subir les quatre transformation s en m ême temp s : nouv elle pulsation (ou p é riod e), nouvelle amplitude , nouvell e phase et nouvell e moyenne , soit math éma tiquement j(t) = Asin (wt+. »