Les coniques

Les coniques ? → ? → Le plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormal (O; i , j ) 1-) a-) 1 Déterminer une équation cartésienne de la parabole de foyer F? , 2? et de directrice D: x = 3. ? ? ?2 ? –––––––––––––––– On appelle (P) cette parabole. 2 (x – 3)2 1 M(x, y)∈(P) ⇔ MF2 = d(M, D)2 ⇔ ? – x? + (2 – y)2 = 2 ?2 ? 1 + 02 ? ? 1 M(x, y)∈(P) ⇔ – x + x2 + 4 – 4y + y2 = x2 – 6x + 9 4 Une équation cartésienne de (P) est donc: 4y2 + 20x – 16y – 19 = 0 . ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 1-) b-) Déterminer une équation cartésienne de la conique d'excentricité 5, de foyer F(3, 2) et de directrice associée d'équation y = 1. –––––––––––––––– L'excentricité est supérieure à 1 donc il s'agit d'une hyperbole (H). (y – 1)2 M(x, y)∈(H) ⇔ MF2 = 25×d(M, D)2 ⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 2 0 + 12 2 2 2 M(x, y)∈(H) ⇔ x – 6x + 9 + y – 4y + 4 = y – 2y + 1 Une équation cartésienne de (H) est donc: x2 – 6x – 2y + 12 = 0 . ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 1-) c-) ? → Déterminer une équation cartésienne de l'ellipse tangente à (O, i ) de sommets principaux A(5, 1) et A'(1, 1). –––––––––––––––– Géométriquement, le point de contact de l'ellipse (E) ? → avec (O, i ) est B(3, 0) et le centre de l'ellipse est ?(3, 1). AA' Par suite, a = = 2 et b = ?B = 1. 2 X2 ? → ? → Dans le repère (?, i , j ), (E) a pour équation + Y2 = 1. 4 ?X=x–3 ? → ? → Quand on revient dans le repère (O, i , j ), ? Y = y – 1 ce qui donne (x – 3)2 + 4(y – 1)2 = 4. ? Une équation cartésienne de (E) est donc: x2 + 4y2 – 6x – 8y + 9 = 0 . Corrigés des exercices sur les coniques --*-- Page 1 1-) d-) Déterminer une équation cartésienne de la parabole (P) de foyer F(1, 2) et de directrice D dans les cas suivants: α-) D = (AB) avec A(0, 1) et B(3, 0) β-) D: 2x – 3y + 5 = 0 γ-) D passe par O et est orthogonale à D': 2x – y + 3 = 0 –––––––––––––––– Rappel: Si D a pour équation cartésienne ax + by + c = 0 ax + bx + c alors d(A, D) = A 2 B 2 a +b α-) ??→ D = (A, AB) donc M(x, y)∈D ⇔ x 3 y – 1 -1 = 0 ⇔ x + 3y – 3 = 0. (x + 3y – 3)2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 10 M∈(P) ⇔ x2 + 9y2 + 9 + 6xy – 6x – 18y = 10x2 – 20x + 10 + 10y2 – 40y + 40 M∈(P) ⇔ 9x2 – 6xy + y2 – 14x – 22y + 41 = 0 M∈(P) ⇔ β-) γ-) (2x – 3y + 5)2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 13 M∈(P) ⇔ 4x2 + 9y2 + 25 – 12xy + 20x – 30y = 13x2 – 26x + 13 + 13y3 – 52y + 52 M∈(P) ⇔ 9x2 + 12xy + 4y2 – 46x – 22y + 40 = 0 M∈(P) ⇔ ? → u(1, 2) est un vecteur directeur de D' donc un vecteur normal à D. Par suite, D a une équation cartésienne de la forme 1x + 2y + k = 0. Comme O(0, 0)∈D, D a pour équation cartésienne x + 2y = 0. (x + 2y)2 M∈(P) ⇔ = (x – 1)2 + (y – 2)2 5 M∈(P) ⇔ x2 + 4xy + 4y2 = 5x2 – 10x + 5 + 5y2 – 20y + 20 ...