Leçon 2nd Fonctions polynomiales du second degré

« 1ère S 1ère S 2) Factorisation-Signe-Racines a) Factorisation et racines Fonctions polynomiales du second degré On appelle racine d’une fonction polynomiale du second degré un zéro de cette fonction, c’est-à-dire un réel x tel que f(x) = 0. Toutes les fonctions polynomiales du second degré n’ont pas 2 racines réelles, cela dépend du signe du discriminant ∆. Toutes les fonctions polynomiales du second degré ne se factorisent pas en produit de 2 fonctions affines, cela dépend encore du signe du discriminant ∆ : 1) Forme canonique a) Définition On appelle fonction polynomiale du second degré, ou trinôme du second degré, une fonction du type x → ax 2 + bx + c , a, b, c réels , mais a≠0 . Ces fonctions ont pour courbe représentative des paraboles. Si ∆>0, x → ax 2 + bx + c admet 2 racines réelles x1 et x2 telles que : −b − ∆ −b + ∆ x1 = et x2 = et la fonction se factorise en : 2a 2a ax 2 + bx + c = a x − x1 x − x2 b) Forme canonique b Toute fonction polynomiale f du second degré peut s’exprimer sous une forme particulière appelée forme canonique : f ( x) = ax 2 + bx + c = a ( x − α ) +β gb g 2 Si ∆=0, x → ax 2 + bx + c admet une seule racine réelle, dite double : 2 b x1 = − et se factorise en : ax 2 + bx + c = a x − x1 2a b On peut obtenir la forme canonique à la main en reconstituant l’identité remarquable (A+B)² = A² + 2AB + B² ou alors en utilisant la propriété du cours b ∆ ou encore β = f (α ) où ∆ = b2 − 4ac . suivante : α = − et β = − 2a 4a Si ∆0, donc deux racines : Remarque : ∆ s’appelle le discriminant. −4 − 64 −4 + 64 = −3 et x2 = = 1 et f(x) se factorise en : 2×2 2×2 f ( x ) = a x − x1 x − x2 = 2.... »