L'arithmétique

« Un nombre n est divisible par un autre nombre m lorsqu 'il est le produit de ce dernier avec un troisième nombre : n=mp.

Autrement dit le reste de la division euclidienne den par m est égal à O.

Exemple: 8=4 x 2 +O.

le nombre m est alors un diviseur den , et n est un multiple de m .

Critères de divisibilité • Un nombre est divisible par 2 s 'il se termine par un chiffre pair (0, 2, 4, 6 , 8).

• Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3 .

Exemple : 471, la somme de ses chiffres est 4 + 7 + 1 = 12, qui est divisible par 3.

• Un nombre est divisible par 5 lorsqu 'il se termine par o ou s.

• Un nombre est divisible par 9lor s que la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Exemple : 4 185, la somme de ses chiffres est 4 + 1 + 8 + 5 = 18, qui est divisible par 9.

AlGORITHME D'EUCLIDE ET PGCD A partir de la notion de divisibilité , on introduit naturellement les notions très utiles en théorie des nombres de plus grand diviseur commun (PGCD) et plus petit multiple commun (PPCM) de deux nombres .

le PGCD de a et de b est le plus grand nombre qui divise à la fois a et b.

le PPCM de a et de b est le plus peti t nombre qui est divisé à la fois par a et par b .

l'algorithme d'Euclide , basé sur l'utilisation de la division euclidienne permet de déterminer le PGCD de deux nombres a et b.

Soient a= 540 et b = 231.

540 divisé par 231 donne 2 , reste 78 ; 540 =231 x 2 + 78.

231 divisé par 78 donne 2, reste 75 ; 231 = 78 x 2 + 75 78 divisé par 75 donne 1, reste 3 ; 78 = 75 x 1 + 3 75 divisé par 3 donne 25, reste 0 ; 75 = 3 x 25 +o.

le dernier reste , 3, est le PGCD de 540 et 231.

On peut alors en déduire le PPCM de 540 et 231.11 suffit de diviser le produit des deux nombres a et b par le PGCD .

le PPCM de 540 et 231 est donc 41 580.

Une propriété intéressante du PGCD est l'identité de Bézout : Si d = PGCD(a , b), il existe deux nombres u et v tels que d = a .u + b.v.

Par exemple, le PGCD de 14 et 10 est 2 , donc il existe deux nombres tels que 2 = 14 x u + 10 x v, ce qui n'est pas évident a priori.

Par exemple : u = 2 et V=-3 .

Si le PGCD de deux nombres est égal à 1, on dit que ces deux nombres sont premiers entre eux.

Ils n'ont alors aucun diviseur commun autre que 1 et eux-même .

NOMBRES PARFAITS ET NOMBRES AMIABLES Introduits par Pythagore , les nombres parfaits et amiables sont parmi les première s notions arithmétiques inventées .

Un nombre est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs .

Ainsi , 6 est un nombre parfait En effet, les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6 = 1 + 2 + 3 .

Il n'existe pas de nombre parfait impair inférieur à 10"', mais on ignore s'il en existe ou non au-delà .

le plus grand nombre parfait connu est -------------1 2756838 (2,..,'- 1) et il est pair.

LA NUMÉRAnON DANS UNE BASE l'adoption d'une base de numération est un moyen pour n'utiliser qu'un petit nombre de symboles dans la reprèsentation des nombres.

Au lieu de compter uniquement par unitès (n = 1 + 1 + 1 + 1 ...

), on compte par •paquets• .

On sait que les Babyloniens utilisaient le système sexagèsimal (base 60), les Grecs se seiVaient des lettres de l'alphabet, les Mayas utilisaient un système vicèsimal (base 20).

Actuellement la numération décimale (base 10) est la plus largement répandue .

Elle fait inteiVenir dix symboles distincts, ou chiffres, pour représenter des nombres : 0, l, 2 , 3, 4, s.

6 , 7, 8 , 9.

Dans le système décimal , la quantité reprèsentée par n'importe lequel des dix symboles en usage dépend de sa position dans le nombre .

Par exemple , le nombre 123 456 est une notation abrégée pour : 1 x 105 + 2 x 10' + 3xl0'+ 4 x 10' + 5 x 101 + 6 x 10' Pour certains usages, on utilise toujours d'autres nombres que 10 comme base car ils possèdent plus de diviseurs .

Par exemple, la base 60 et son sous ­ multiple 12 s'avèrent très utiles pour subdiviser le temps .

Par ailleurs , le système binaire (base 2), avec le système de numération de base 16, est utilisé en informatique .

Si la somme des diviseurs d 'un nombre est supérieure à ce nombre, on dit qu'il est abondant.

On sait qu'il existe une infinité de nombre s abondants (12, 18, 20 ...

).

Par exemple , les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3 , 4, 6 et 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.

Dans le même esprit , deux nombres sont amiables si la somme des diviseurs de l'un est égale~ l'autre .

Les grecs ne connaissaient que les deux plus petits nombres amiables : 220 et 284.

les diviseurs de 220 sont 1, 2 , 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, llO , dont la somme est 284.

Quant aux diviseurs de 284, qui sont 1, 2, 4 , 71 et 142, leur somme n 'est autre que 220.

LES NOMBRES PREMIERS les nombres premiers sont les nombres les plus importants en arithmétique .

Un nombre est premier lorsqu 'il n'est pas le produit de deux nombres plus petits, c'est-à-dire que ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même .

THtORÈME FONDAMENTAL DE 1.' ARITHMtTIQUE Depuis Euclide, on sait que tous les nombres peuvent être décomposès en un produit fini de nombres premiers .

Ainsi, si n désigne un nombre entier quelconque et « 2, 3 , 5, 7 ...

» la suite des nombres premiers , alors il existe des exposants (nombres entiers ) i, j, k,l ...

tels que n =p, pz'.

..

= 2 '3 '5 '7 1 ...

Par exemple , 540 = 22355', tous les exposants des autres nombres premiers étant nuls (un nombre élevé à la puissance 0 donne 1 ).

Chaque exposant désigne donc le nombre de fois que le facteur premier correspondant apparaît dans la décomposition .

Ce théorème montre que les nombres premiers sont comme les briques élémentaires des autres nombres .

On sait qu'tl existe une infinité de nombres premiers mais leur apparition dans la suite des nombres entiers semble aléatoire .

en outre, il n'existe aucune méthode pour en construire , bien que de nombreux mathématiciens s'y soient essayés.

NOMBIES DE FERMAT Par exemple, Pierre de Fermat en décrivant les nombres de Fermat qui sont de la forme F " = 2 2 ' + 1, croyait avoir une formule donnant les nombres premiers .

Mais si F0 = 3 , F1 = 5, F2 = 17, F 5 = 257 et F4 = 65 537 sont premiers , F 5 ne l'est pas, ainsi que de nombreux autres .

Il a fallu deux ans de calculs pour montrer que F u n 'est pas premier.

Ces nombres ont également d 'autres applications , en particulier dans la construction des polygones réguliers .

NOMBRES DE MERSENNE Mersenne (1588-1648) a également décrit les nombres de Mersenne de la forme M = 2 '- 1, dont il croyait qu'ils étaient premiers si p l'était , ce qui est faux .

Par contre , si M est un nombre premier , alors p l'est également mais la réciproque est fausse : par exemple, si p = 11, alors M = 2 047 = 23 x 89.

Néanmoins , les nombres premiers de Mersenne présentent certaines propriétés remarquables .

Une propriété énonce que si M est un nombre premier de Mersenne, alors le nombre M(M + 1 )/ 2 est un nombre dit «parfait », c'est-à -dire égal à la somme de ses diviseurs propres .

les nombres de Mersenne ont aussi permis de construire de nombreux grands nombres premiers.

le plus grand nombre premier connu à ce jour est un nombre de Mersenne (2 " """ - 1 ), il possède 7 235 733 chiffres et a été découvert le 2 8 mai 2004 par le GIMPS (Great Internet Prime Search) grace au calcul partagé sur Internet.

« THtORÈME DE IARtFACTION DES NOMBRES PREMIERS» Même si la distribution des nombres premiers parmi les nombres entiers naturels semble aléatoire , les nombres premiers obéissent pourtant à des lois très précises .

Ainsi , le théorème de raréfaction des nombres premiers affirme que pour un entier n donné , la quantité de nombres premiers inférieurs à n est à peu près nflog(n) .

Conjecturé par GIIUSSet legendre , ce théorème fut démontré indépendamment la même année par Hadamard et de la Vallée -Poussin en 1896 .

INDICATEUR D'EuLER Pour un entier n, l'indicateur d'Euler (n ) est la quantité de nombres premiers avec n, inférieurs à n.

Il est égal à : (n) = n(l -l/p 1)(1 -l/p,) ...

(1 -1/p,) où n =pip-} ...

est la décomposition de n en facteurs premiers.

Par exemple , pour n = 10 : 10=2 x 5 ;p , =2 etp2 = 5 (n) = 10(1 -l/2 )( 1 -l/5 ) = 4 .

Cette fonction possède de nombreuses propriétès intéressantes, et son étude a donné lieu à de nombreux rèsultats .

Il existe également encore des questions ouvertes liées à q,, comme par exemple la conjecture de Carmichaël qui affirme que (n) = n n'existe pas.

Cette conjecture a été vérifiée jusqu'à n = wmooo.

QUELQUES PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES lE PETTT THtOIÈME DE FERMAT Si p est un nombre premier, le petit théorème de Fermat affirme que pour tout entier naturel a , le reste de la division de ri' par p est le même que le reste de la division de a par p.

Ceci s'écrit en langage mathématique : ri' = a mod p ; qui se lit ri' est congru à a modulo p.

Un nombre n non premier qui vérifie cette propriété est appelé absolument pseudo-premier .

Un tel nombre est nécessairement impair et sa décomposition en facteurs premiers comporte au moins trois facteurs et ne comporte aucun carré .

On ignore s'il en existe une infinité .

LE THtORÈME DE FERMAT·WILES Parmi les équations diophantiennes , le théorème de Fermat-Wiles, longtemps appelé la conjecture de Fermat est l'un des plus célèbres des mathématiques.

Il a été démontré en 1994 par Andrew Wiles .

Enoncé en 1641 par l'ielft de Fenr11d, ce problème d'apparence très simple a occupé de nombreux _ _ ..._ --'.,.

mathématiciens pendant deux siècles et demi.

Sa démonstration prèsentée par Wiles , qui n'est comprise dans sa totalité que par une poignée de mathématiciens, utilise un rapprochement des formes modulaires et des courbes elliptiques .

Deux concepts qui appartiennent à l'analyse et à la géométrie algébrique , et qui sont au départ très éloignés de l'arithmétique.

le théorème de Fermat-Wiles s'énonce ainsi : Il n'existe pas de solution autre que x= 0, y= 0, z = 0 à l 'équation X"+ Y'= zn dès que n est supérieur à 2.

CONIECTURES DE GOLDBACH les conjectures de Goldbach sont deux problèmes posés par Goldbach (1690- 1764) à Euler en 1742.

Ces conjectures affirment que tout entier pair n 2: 4 est somme de deux nombres premiers et que tout entier impair n 2: 9 est somme de trois nombres premiers.

Elles sont encore non démontrées à ce jour , malgré des avancées importantes dues à Vinogradov (1937) et Vaughan (1975) .

On sait par exemple que la première conjecture est vérifiée pour n s 33.106 , et que pour ces nombres , les deux nombres premiers concernés sont distincts.

CONIECTURE DE CATALAN la conjecture de Catalan affirme que les seules puissances exactes consécutives sont 8 et 9.

Autrement dit la seule solution à l'équation diophantienne X" -)"' = 1 est x = 3, y=2 , n= 2 etm =3.

Posée par Catalan {1814 -1894 ) en 1844, elle a été démontrée en 2002 par Mihailescu .

INFINirt DES COUPLES DE NOMBRES PREMIERS IUMEAUX Deux nombres premiers p et q sont appel ès jumeaux lorsque q = p + 2.

Par exemple , ( 5, 7), (17, 19) ou (311 , 313) sont les premiers couples de nombres premiers jumeaux .

On ignore s'tl existe une infinité de tels couples .

On sait cependant que la série .I: lfp , qui diverge lorsque l'on considère tous les nombres premiers, converge si l'on se restreint aux nombres premiers jumeaux .

On a dénombré 6 497 407 couples parmi les lOO premiers millions de nombres premiers.

THtORÈME DE WARING En 1770, Waring (1734-1798) émettait l'hypothèse que tout entier n peut s 'écrire comme la somme de quatre carrès parfaits au plus , c'est -à-dire n =a' + b ' + c' + cP.

Il supposait également que ce nombre pouvait s 'écrire comme somme de 9 cubes parfaits au plus , comme somme de 19 puissances quatrièmes au plus , et d 'une manière générale comme somme d'un nombre fini g(k) de puissance k-ième au plus .

Ce théorème fut démontré petit à petit par lagrange pour k = 2 en 1770, par Wieferich pour k = 3 en 1909.

Hilbert montra la même année l'existence de ce nombre fini g(k), mais on ne sut le calculer pour k 2: 6 qu'après les travaux de Hardy et littlewood en 1935.

Ce théorème fut démontré en 1985 , 215 ans après .

LA FONCTION l; DE RIEMANN Pour un nombres , on définit le nombre l;;(s) comme la somme infinie l;;(s) = r .

, 0(1/n') .

Ce nombre est défini sis> 1 (on dit que la somme infinie converge) .

Par exemple, !;;(2) = l:0, 0(l/n ') = rc'/6 .

les mathématiciens ont étendu cette fonction aux nombres complexes sauf 1, c'est-à-dire qu'ils ont défini l;;(s) lorsque s est un nombre complexe (a+ ib) différent de l.

la fonction l;; est appelée fonction l;; de Riemann.

Elle inteiVient en arithmétique dans l'étude de la répartition des nombres premiers grace à l'identité d'Euler.

Cette identité exprime en effet l;;(s) comme un produit infini où apparaissent tous les nombres premiers.

l'étude de cette fonction a par exemple permis à Hadamard et de la Vallée­ Poussin de démontrer le théorème de raréfaction des nombres premiers cité plus haut.

Enfin , la conjecture de Riemann , non encore démontrée, portant sur la nature des zéros (ou racines) de cette fonction permettrait d 'affiner certains rèsultats concernant les nombres premiers .. »