LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE
Publié le 27/01/2019
Extrait du document
Le raisonnement
En mathématiques, un raisonnement est généralement introduit par une ou plusieurs affirmations: les prémisses. On utilise ensuite les principes de la logique pour démontrer que, si les prémisses sont vraies, on arrive à une conclusion particulière. Le raisonnement est donc une opération de l'esprit, qui consiste à inférer une conclusion à partir de prémisses. C'est donc un moyen de preuve et de justification. La théorie des systèmes déductifs, ou théorie de la démonstration, s'attache à définir lés règles nécessaires à un raisonnement correct. Les axiomes sont des affirmations que l'on admet au début d'une théorie.
La démonstration
ia démonstration ést une argumentation perrnet-t: ît de montrer qu'une proposition est vraie. Il ei iste différentes méthodes élémentaires de dénonstration. Par exemple, la démonstration par quatre couleurs sont suffisantes pour colorier une carte géographique (deux régions voisines ayant donc des couleurs différentes). Cette méthode de démonstration a soulevé d'importantes controverses; on s'est notamment demandé si la démonstration pouvait être validée, sachant que l'homme n'en a pas vérifié toutes les étapes.
Les Éléments d'Euclide
Au IVe siècle av. J.C., le mathématicien grec Euclide introduisit, dans ses Éléments, la notion de démonstration; il jeta les bases de la méthode axiomatique. Le terme «élément» correspond aux résultats fondamentaux acquis en mathématiques, principalement en géométrie. L’ouvrage présente une articulation déductive des propositions exposées. C'est en cela qu'il constitue un éminent exposé scientifique, dont s'inspirèrent de
«
La
logique mathématique
, ,
LES TABLES DE VERITE
p q v v
v F
F v
F F pe
t q
v F
F
F Conjonction
de p et q
Si p et q sont deux propositions, « p et q »
est vraie si et seulement si les deux propositions
p et q le sont aussi.
p
q
v v
v F
F v
F F p
)
v
F
v
v q
p q pouq Disjonction
de p et q
p q p
< > q
v v v v v
v
v F
F v v
v Si
p et q sont deux propositions, « p ou q »
est vraie si et seulement si au moins l'une
des deux propositions l'est aussi.
v
F
F
F v F
F F
F F F
v
pou bienq Disjonction
exclusive de p et q
p q p
nonp
v v
F v F
v F
F v v
v Si
pet q sont deux propositions, «pou bien q ••
est vraie quand une seule des deux propositions
est vraie.
F
v
F F F
En logique mathématique chaque proposition ! ne �ut être que vraie (V) ou fausse (F).
a A chaque type de connexion reliant deux
propositions (conjonction, disjonction, implication,
équivalence, etc.), co"espond une table de vérité.
Gottfried Leibniz met au point en 1684
une nouvelle méthode pour déterminer .....
tes maximums et tes minimums, jetant ainsi
les bases du calcul Infinitésimal.
Euclide d'Alexandrie (450-380 av.
J.-C.) '
expose son • postulat •: d'un point extérieur
à une droite, on ne peut mener qu'une et une
seule parallèle à cette droite.
nombreux mathématiciens.
Euclide différencie
deux types de propositions: celles posées comme
hypothèses allant de soi, les axiomes, et celles qui
sont démontrées à partir de ces principes.
Ainsi,
on doit laisser la place aussi peu que possible à
J'intuition.
Parmi les propositions non démon
trées, on range les postulats géométriques.
Euclide
énonça cinq postulats, dont Je plus connu dit
ceci: par un point du plan, il ne passe qu'une
droite parallèle à une autre droite donnée.
L'algèbre de Boole
Depuis de longues années, des mathématiciens
ont tenté de réaliser des machines qui raisonne
raient comme les hommes.
Ainsi, Je mathémati
cien et philosophe allemand Gottfried Leibniz
(1646-1716) envisagea sans succès de construi
re un calcul, la Caracteristica Universalis, pour
juger de manière automatique de la validité
d'un raisonnement.
L'algèbre de Boole fut intro- Implication
de p et q
Si pet q sont deux propositions, «p
) q »
(p implique q) est fausse uniquement
quand p est vraie et q est fausse.
Équivalence de p et q
Si pet q sont deux propositions, «p < )
q •
(p équivalente à q) est vraie dans deux cas:
- quand p et q sont vraies;
- quand p et q sont fausses.
Négation de p
Si p est une proposition, «non p » est vraie
quand p est fausse, et fausse quand p est vraie.
duite en 1854 par le mathématicien George
Boole, dans son ouvrage Recherches sur les lois
de la pensée.
Il s'agit d'une algèbre qui simule les
raison nemen ts logiques par des opérations
mathématiques.
Elle s'attache plus à la vérité des
raisonnements qu'aux variables et aux valeurs
numériques elles-mêmes, qui pourraient fausser
certaines déductions.
Le système mathématique
de Boole est un ensemble noté B, muni de deux
opérations, notées EB et 0 (à ne pas confondre
avec l'addition et la multiplication), définies à
partir des axiomes suivants:
1) Les opérations EB et 0 sont commutatives:
pour deux éléments quelconques a et b de B, on a:
a EB b=b EB a et a 0 b=b 0 a.
2) Chacune des deux opérations est distribu
tive par rapport à J'autre: pour des éléments
quelconques a, b, c de B, on a:
a EB (b 0 c)=(a EB b) 0 (a EB c )
et a0
(bE8 c)=( a0b )EB(a0c ).
3) Dans B, il existe un élément neutre pour
chacune des opérations EB et 0.
que l'on note
respectivement 0 et 1.
4) Pour tout élément a de B, il existe un élé
ment de B, appelé complément de a, noté a', et
vérifiant a EBa'=O et a 0 a'= 1.
D'autre part, les symboles EB et 0 peuvent
être remplacés respectivement par /\, et par V.
Les éléments de B sont abstraits (propositions)
ou bien concrets (nombres ou réseaux élec
triques, par exemple), mais pas les deux à la fois.
Dans l'algèbre de Boole, une proposition est soit
vraie, soit fausse, mais jamais les deux simultané
ment.
Les algèbres de Boole, qui sont finalement
des algèbres d'ensembles, sont notamment
employées en informatique et en électronique,
par exemple dans la théorie des circuits intégrés
(circuits logiques).
De nos jours, la logique mathématique a un
rôle capital en informatique théorique.
Par
exemple, la modélisation de la notion d'algorir 1-
me, à partir des années 1930, fut largement u' .li
sée dans la conception des logiciels..
»
↓↓↓ APERÇU DU DOCUMENT ↓↓↓
Liens utiles
- LOGIQUE ET MATHÉMATIQUE: QCM de philo
- LOGIQUE ET MATHÉMATIQUE.
- La vérité mathématique est-elle pure logique ?
- Notes de cours: Logique et Mathématique
- logique mathématique - mathématiques.