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LA LOGIQUE MATHÉMATIQUE

Publié le 27/01/2019

Extrait du document

Le raisonnement

 

En mathématiques, un raisonnement est généralement introduit par une ou plusieurs affirmations: les prémisses. On utilise ensuite les principes de la logique pour démontrer que, si les prémisses sont vraies, on arrive à une conclusion particulière. Le raisonnement est donc une opération de l'esprit, qui consiste à inférer une conclusion à partir de prémisses. C'est donc un moyen de preuve et de justification. La théorie des systèmes déductifs, ou théorie de la démonstration, s'attache à définir lés règles nécessaires à un raisonnement correct. Les axiomes sont des affirmations que l'on admet au début d'une théorie.

 

La démonstration

 

ia démonstration ést une argumentation perrnet-t: ît de montrer qu'une proposition est vraie. Il ei iste différentes méthodes élémentaires de dénonstration. Par exemple, la démonstration par quatre couleurs sont suffisantes pour colorier une carte géographique (deux régions voisines ayant donc des couleurs différentes). Cette méthode de démonstration a soulevé d'importantes controverses; on s'est notamment demandé si la démonstration pouvait être validée, sachant que l'homme n'en a pas vérifié toutes les étapes.

 

Les Éléments d'Euclide

 

Au IVe siècle av. J.C., le mathématicien grec Euclide introduisit, dans ses Éléments, la notion de démonstration; il jeta les bases de la méthode axiomatique. Le terme «élément» correspond aux résultats fondamentaux acquis en mathématiques, principalement en géométrie. L’ouvrage présente une articulation déductive des propositions exposées. C'est en cela qu'il constitue un éminent exposé scientifique, dont s'inspirèrent de

« La logique mathématique , , LES TABLES DE VERITE p q v v v F F v F F pe t q v F F F Conjonction de p et q Si p et q sont deux propositions, « p et q » est vraie si et seulement si les deux propositions p et q le sont aussi.

p q v v v F F v F F p ) v F v v q p q pouq Disjonction de p et q p q p < > q v v v v v v v F F v v v Si p et q sont deux propositions, « p ou q » est vraie si et seulement si au moins l'une des deux propositions l'est aussi.

v F F F v F F F F F F v pou bienq Disjonction exclusive de p et q p q p nonp v v F v F v F F v v v Si pet q sont deux propositions, «pou bien q •• est vraie quand une seule des deux propositions est vraie.

F v F F F En logique mathématique chaque proposition ! ne �ut être que vraie (V) ou fausse (F).

a A chaque type de connexion reliant deux propositions (conjonction, disjonction, implication, équivalence, etc.), co"espond une table de vérité.

Gottfried Leibniz met au point en 1684 une nouvelle méthode pour déterminer .....

tes maximums et tes minimums, jetant ainsi les bases du calcul Infinitésimal.

Euclide d'Alexandrie (450-380 av.

J.-C.) ' expose son • postulat •: d'un point extérieur à une droite, on ne peut mener qu'une et une seule parallèle à cette droite.

nombreux mathématiciens.

Euclide différencie deux types de propositions: celles posées comme hypothèses allant de soi, les axiomes, et celles qui sont démontrées à partir de ces principes.

Ainsi, on doit laisser la place aussi peu que possible à J'intuition.

Parmi les propositions non démon­ trées, on range les postulats géométriques.

Euclide énonça cinq postulats, dont Je plus connu dit ceci: par un point du plan, il ne passe qu'une droite parallèle à une autre droite donnée.

L'algèbre de Boole Depuis de longues années, des mathématiciens ont tenté de réaliser des machines qui raisonne­ raient comme les hommes.

Ainsi, Je mathémati­ cien et philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716) envisagea sans succès de construi­ re un calcul, la Caracteristica Universalis, pour juger de manière automatique de la validité d'un raisonnement.

L'algèbre de Boole fut intro- Implication de p et q Si pet q sont deux propositions, «p ) q » (p implique q) est fausse uniquement quand p est vraie et q est fausse.

Équivalence de p et q Si pet q sont deux propositions, «p < ) q • (p équivalente à q) est vraie dans deux cas: - quand p et q sont vraies; - quand p et q sont fausses.

Négation de p Si p est une proposition, «non p » est vraie quand p est fausse, et fausse quand p est vraie.

duite en 1854 par le mathématicien George Boole, dans son ouvrage Recherches sur les lois de la pensée.

Il s'agit d'une algèbre qui simule les raison nemen ts logiques par des opérations mathématiques.

Elle s'attache plus à la vérité des raisonnements qu'aux variables et aux valeurs numériques elles-mêmes, qui pourraient fausser certaines déductions.

Le système mathématique de Boole est un ensemble noté B, muni de deux opérations, notées EB et 0 (à ne pas confondre avec l'addition et la multiplication), définies à partir des axiomes suivants: 1) Les opérations EB et 0 sont commutatives: pour deux éléments quelconques a et b de B, on a: a EB b=b EB a et a 0 b=b 0 a.

2) Chacune des deux opérations est distribu­ tive par rapport à J'autre: pour des éléments quelconques a, b, c de B, on a: a EB (b 0 c)=(a EB b) 0 (a EB c ) et a0 (bE8 c)=( a0b )EB(a0c ).

3) Dans B, il existe un élément neutre pour chacune des opérations EB et 0.

que l'on note respectivement 0 et 1.

4) Pour tout élément a de B, il existe un élé­ ment de B, appelé complément de a, noté a', et vérifiant a EBa'=O et a 0 a'= 1.

D'autre part, les symboles EB et 0 peuvent être remplacés respectivement par /\, et par V.

Les éléments de B sont abstraits (propositions) ou bien concrets (nombres ou réseaux élec­ triques, par exemple), mais pas les deux à la fois.

Dans l'algèbre de Boole, une proposition est soit vraie, soit fausse, mais jamais les deux simultané­ ment.

Les algèbres de Boole, qui sont finalement des algèbres d'ensembles, sont notamment employées en informatique et en électronique, par exemple dans la théorie des circuits intégrés (circuits logiques).

De nos jours, la logique mathématique a un rôle capital en informatique théorique.

Par exemple, la modélisation de la notion d'algorir 1- me, à partir des années 1930, fut largement u' .li­ sée dans la conception des logiciels.. »

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