L2, Fonctions Plusieurs Variables, année 2007-2008 Notions Générales et Résumé des TDs

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Kallel Université des Sciences et Technologies de Lille L2, Fonctions Plusieurs Variables, année 2007-2008 Notions Générales et Résumé des TDs Voici en revue le plus gros des notions vues et étudiées en TD.

1 On écrira P = (x1 , .

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, xn ) un point de Rn .

De même pour P0 = (a1 , .

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, an ).

On dénotera par ~ei le i-ème vecteur de base (0 · · · 0, 1, 0, · · · , 0). Les réponses aux exercices sont données à la fin de cette note. 1.

Continuité, Différentiabilité Une fonction à n-variables f : U−−→R, définie sur un sous-ensemble U de Rn , est continue au point P0 = (a1 , .

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, an ) si la limite de f (P ) = f (x1 , .

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, xn ), lorsque le point P tend vers P0 suivant n’importe quel chemin dans Rn , est f (P0 ). On peut parler de la dérivée d’une fonction en un point suivant une certaine direction (la derivée directionnelle).

La dérivée suivant un vecteur ~u ∈ Rn au point P0 est dénotée Du~ f (P0 ) et est définie par f (P0 + t~u) − f (P0 ) Du~ f (P0 ) = lim t→0 t La notation P0 + t~u veut dire (a1 + tu1 , .

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, an + tun ) ou u1 , .

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, un sont les coordonnées du vecteur ~u.

Si ~ei est le i-eme vecteur de la base standard, alors on vérifie que ∂f f (a1 , .

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, xi , .

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, an ) − f (a1 , .

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, an ) (P0 ) = lim xi →ai ∂xi xi − ai ( 2 x y (x, y) 6= (0, 0) 2 2, .

Calculer D~v f (0, 0) ou ~v = (1, 1). Exercice 1.1.

Soit f (x, y) = x +y 0, (x, y) = (0, 0) D~ei f (P0 ) = On verra dans la section 3 qu’il est possible de calculer les dérivées directionnelles rapidement à l’aide de l’opérateur gradient. Exercice 1.2.

Soit f l’application définie sur R2 par y ( 2 x cos , x 6= 0 x f (x, y) = 0 ,x = 0 Etudier l’existence et la continuité des derivées partielles premières de f sur R2 1.1.

Schwartz.

On peut évidemment itérer l’opération de différentiation et obtenir des dérivées partielles secondes, etc.

Il est donc utile de savoir si on arrive à la même chose en dérivant tout ∂2f ∂2f ) ou en dérivant tout d’abord en y puis x ( ∂x∂y ).

Ceci n’est d’abord par rapport à x puis à y ( ∂y∂x certainement pas toujours vrai.

Par contre un théorème de Schwartz stipule que si les dérivées ∂2f ∂2f partielles secondes de f existent et si elles sont continues au point P0 , alors ∂y∂x (P0 ) = ∂y∂x (P0 ). 1 Ce résumé n’est pas exhaustif.

Il est inévitable que des erreurs de frappe se soient glissées dans ce fichier et donc faire attention.

Si par contre certaines affirmations ne correspondent pas avec votre cours, prière de m’en aviser.

Le cours reste votre référence première. 1 2 2.

Différentiabilité, Plan tangent Une fonction est différentiable en P0 si la limite d’un certain ratio est nulle (1) lim P →P0 f (x1 , .

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, xn ) − f (a1 , .

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, an ) − ∂f (P0 )(x1 ∂x1 −−→ | P P0 | − a1 ) − · · · − ∂f (P0 )(xn ∂xn − an ) =0 Quand on parle de différentiabilité en un point on supposera toujours que la fonction est définie dans une petite boule centrée en ce point (c’est notre petit voisinage). Si l’une des dérivées partielles de f n’existe pas (en P0 ), ou si toute autre dérivée directionnelle n’existe pas, alors f n’est pas différentiable en ce point.

Si par contre toutes les dérivées partielles existent et sont continues, alors f est différentiable (ceci est un théorème).

On dira aussi dans ce cas que f est C 1 . Des théorèmes généraux nous permettent d’affirmer que la somme, produit et quotient de fonctions C 1 est C 1 . ( 2 2 x y (x, y) 6= (0, 0) 2 2, Exercice 2.1.

(a) La fonction f (x, y) = x +y est-elle différentiable sur R2 ? 0, (x, y) = (0, 0) (b) Même question pour la fonction de l’exercice 1. Exercice 2.2.

Pour n un entier positif ou nul, on considère !   (x + y)n sin p 1 , (x, y) 6= (0, 0) f (x, y) = x2 + y 2   0 , (0, 0) (a) f est continue et différentiable sur R2 − {(0, 0)}.

Pourquoi? (b) Etudier suivant la valeur de n la continuité en (0, 0). (c) En utilisant la définition de la diffentiabilité comme limite d’un quotient, déterminer pour quelles valeurs de n, f est différentiable en (0, 0). Remark 2.3.

Dans le cas ou f est différentiable, l’équation du plan tangent au graphe de f au point P0 = (a0 , .

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, an ) a pour équation X ∂f (P0 )(xi − ai ) (2) z = f (P0 ) + ∂x i i Par définition on voit donc que la fonction est différentiable en P0 si la valeur de f (P ) est très proche de la valeur du plan tangent dans un voisinage proche de P0 .

Ceci nous permet en particulier d’obtenir une bonne approximation de f (P ) pour P proche de P0 , par la valeur z(P ) du plan tangent en P0 (approximation linéaire).

Voir plus bas. 2.1.

Jacobienne, Dérivées Fonctions Composées.

On peut étendre ces notions à des fonctions f : Rn −−→Rm , f (P ) = f (x1 , .

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, xn ) = (f1 (P ), · · · , fm (P )) ∂fi Les dérivées partielles ∂x sont collectées dans une matrice Jac(f ) la Jacobienne, et cette matrice j permet de trouver la dérivée directionnelle de f dans n’importe quelle direction ~u. f g Il faut retenir que pour une composée de fonctions C 1 Rn −−→ Rm −−→ Rk est le produit matriciel Jac(g ◦ f )(P ) = Jac(g)(f (P )) · Jac(f )(P ) avec P = (x1 , .

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, xn ), f (P ) = (f1 (P ), .

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, fm (P )). 3 df Example 2.4.

La dérivée d’une fonction f : R−−→R est ∂f = dx . ∂x n Pour une fonction f : R −−→R, la matrice Jacobienne au point P ∈ Rn est   ∂f ∂f (P ) · · · (P ) Jac(f )(P ) = ∂x1 xn Remarque (et Notation): On remarquera que si f : Rn −−→R comme ci-dessus, P = (x1 , .

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, xn ) et P0 = (a1 , .

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, an ) alors n X ∂f −−→ (P0 )(xi − ai ) = Jac(f )(P0 )P P0 ∂xi i=1 On peut donc “s’amuser” à réécrire l’équation de la différentiabilité (1) de la façon compacte suiv−−→ ante: si on pose ~h = P P0 , alors X ∂f (P0 )(xi − ai ) + |~h|ǫ(~h) ∂xi = f (P0) + Jac(f )(P0 )~h + |~h|ǫ(~h) f (P ) = f (P0) + La fonction f est donc différentiable en P0 si et seulement si lim~h→~0 ǫ(~h) = 0.

Ceci est l’approximation de Taylor de f en degré 1. L’écriture ci-haut est valable plus généralement pour une fonction f : Rn −−→Rm . Exercice 2.5.

Etant donné que g(s, t) = f (s2 − t2 , t2 − s2 ) et que f est différentiable, montrez que g vérifie l’équation ∂g ∂g t +s =0 ∂s ∂t Exercice 2.6.

. (a) Soit f : R2 −−→R2 définie par f (x, y) = (x + y 2 , xy 2 z).

Ecrire la matrice jacobienne de f . (b) Soit g : R2 −−→R3 définie par g(u, v) = (u2 + v, uv, ev ).

Ecrire la matrice jacobienne de g. (c) Determiner la jacobienne de g ◦ f au point (x, y, z). Exercice 2.7.

la longueur l, la largeur L et la hauteru h d’une boite varient dans le temps.

A un moment donné les dimensions sont l = 1m et L = 2m, croissant tous les deux à raison de 2m/s, et h = 2m diminuant de 3m/s.

Déterminez le taux de variation des grandeurs suivantes, à cet instant (a) le Volume, (b) la Surface, (c) La longueur d’une diagonale. 2.2.

Approximation Linéaire.

Nous avons remarqué que pour f différentiable dans un petit voisinage U de P0 , P ∈ U, alors f (P ) ≈ f (P0 ) + X.... »