Körper - Mathematik.

« Die Subtraktion ist durch die Regel 4 definiert, d.

h., a - b = a Å (-b). Die Division ist durch die Regel 5 definiert, d.

h., a ÷ b = a Ä b-1, für b ungleich Null. 4 BEISPIELE In der Einleitung wurde bereits der Körper Q der rationalen Zahlen genannt.

Da jede rationale Zahl auch als Dezimalzahl geschrieben werden kann, ist der Körper der rationalen Zahlen im Körper der reellen Zahlen enthalten.

Wenn ein Körper in einem anderen enthalten ist und die gleichen Operationen verwendet, so nennt man ihn in derAlgebra einen Unterkörper des größeren Körpers.

Die rationalen Zahlen sind ein Unterkörper der reellen Zahlen und die reellen Zahlen ( siehe Zahl) ein Unterkörper der komplexen Zahlen.

Wenn es in einem Körper nur eine endliche Anzahl von Elementen gibt, so nennt man den Körper endlich, anderenfalls bezeichnet man ihn als unendlich.Die rationalen, die reellen und die komplexen Zahlen sind Beispiele für unendliche Körper. Beispiele für Körper mit endlich vielen Elementen erhält man durch die Kongruenzrechnung ( siehe Zahlentheorie: Kongruenzen): Ist p eine Primzahl, so bilden die Restklassen modulo p einen Körper Fp mit p Elementen, d.

h., beim Rechnen mit den p Restklassen a mod p kann man unbeschränkt addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch Restklassen ≠ 0 mod p dividieren. Für p = 2 hat der Körper zwei Elemente, vertreten durch 0 und 1, und dieser Körper ist daher insbesondere für Computer wichtig.

Das Rechnen ist hier besonders einfach: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0, 0 × 0 = 0, 0 × 1 = 0, 1 × 1 = 1. 5 KÖRPERERWEITERUNGEN Jeder Körper K enthält einen kleinsten Unterkörper, den so genannten Primkörper .

Dieser ist entweder der Körper der rationalen Zahlen oder der Körper Fp mit p Elementen. Ist K ein Unterkörper eines Körpers L, so heißt L auch eine Körpererweiterung von K.

Es gibt zwei Typen von Körpererweiterungen: algebraische und transzendente. L heißt eine algebraische Körpererweiterung von K, wenn jedes Element von L einer algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus K genügt.

Beispielweise ist L = { a + bÁ; a, b e Q}eine algebraische Körpererweiterung von Q, denn jedes Element α = a + bÁ genügt der Gleichung x2 - 2ax + (a2 + b2) = 0.

Das Studium der algebraischen Körpererweiterungen und der damit verbundenen Galoistheorie ist wesentlicher Inhalt der klassischen Algebra. Enthält L Elemente, die keiner algebraischen Gleichung mit Koeffizienten aus K genügen, so heißt L eine transzendente Körpererweiterung von K.

So bilden z.

B.

die reellen Zahlen eine transzendente Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen, denn die Kreiszahl p genügt keiner algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten (Satz von Ferdinand von Lindemann über die Quadratur des Kreises). Auch die Menge der rationalen Funktionen K(x) = { f/g; f, g ≠ 0 Polynome mit Koeffizienten aus K}bildet eine Körpererweiterung, die transzendent über K ist mit der Variablen x als transzendentem Element. Bearbeitet von:Eckart MausMicrosoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation.

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