irrationalité de 2
Publié le 04/12/2013
Extrait du document
«
a² est donc un nombre pair (c’est un multiple de 2),
Prouvons que si a² est pair, alors a est pair.
Raisonnons encore par l’absurde et
supposons que a² est pair mais que a est impair.
Alors, a = 2x +1.
On a alors a² = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1 = 2(2x² + 2x) + 1
Ce nombre est impair (multiple de 2 plus 1).
Donc, a² est impair, ce qui contredit
l’hypothèse de départ.
On peut conclure que, si a² est pair, alors a est pair lui aussi.
Nous venons de prouver qu'il existe un entier naturel a’ tel que a = 2a’.
L’égalité précédente devient alors :
2b² = (2a’)²
c’est à dire :
2b² = 4a’²
et en divisant par 2 :
b² = 2a’²
On déduit donc que b² est pair, et par conséquence b est pair (3)
.
Conclusion:
On sait donc que a est pair mais que b est pair aussi, ce qui contredit l’hypothèse de
départ, à savoir que a et b² sont premiers entre eux, puisqu’ils sont tous les deux
multiples de 2.
On en conclut que ne peut pas s’écrire sous forme de fraction.
Donc 2 est irrationnel ..
»
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