INSA DE LYON - COURS DE MATHÉMATIQUES - LIMITES - CONTINUITÉ
Publié le 12/05/2018
Extrait du document
INSA DE LYON C OURS DE MATHÉMATIQUES § ¤ LIMITES ¦ - CONTINUITÉ ¥ Table des matières 1 Borne supérieure, borne inférieure 1.1 Majorants, minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Propriété fondamentale de R : borne supérieure et borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 Limite d’une fonction 2.1 Limite ?nie en un point . . . 2.2 Limite in?nie en un point . 2.3 Limites à droite et à gauche 2.4 Limites en +∞ et en −∞ . . . . . . 2 2 2 3 3 3 Propriétés des limites 3.1 Limites et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Opération sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 4 Continuité 4.1 Continuité en un point . . . . . . . . 4.2 Propriétés des fonctions continues . 4.3 Fonctions continues sur un intervalle 4.4 Continuité et bijection . . . . . . . . 5 5 5 5 6 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Propriété vraie « au voisinage de » On dit que la propriété P est vraie \"au voisinage\" de ω lorsque : • Pour ω ∈ R : il existe α > 0 tel que P est vraie sur ]ω − α, ω[ ∪ ]ω, ω + α[
«
1.2 Propriété fondamentale de
R: borne supérieure et borne inférieure Théorème et dénitions 1.
Pour toute partie non vide et majorée Ade R, il existe un unique réel qui est le plus petit des majorants de
A ; ce réel s'appelle la borne supérieurede A et on notesup (A).
Il est donc caractérisé par la conjonction des
deux propriétés :
8x 2 A; x (1)
8 " > 0;9 y 2 A; " < y (2)
La propriété (1)traduit le fait que est un majorant de Aet la propriété (2)indique que si un réel est strictement
plus petit que , il n'est pas majorant de A.
Pour toute partie non vide et minorée Ade R, il existe un unique réel qui est le plus grand des minorants de
A ; ce réel s'appelle la borne inférieurede A et on noteinf (A).
Il est donc caractérisé par la conjonction des
deux propriétés :
8x 2 A; x (1)
8 " > 0;9 y 2 A; y < +" (2)
La propriété (1)traduit le fait que est un minorant de A et la propriété (2)indique que si un réel est strictement
plus grand que , il n'est pas minorant de A.
Remarques :
(1)Si une partie non vide Ade Radmet un plus grand élément, alors max (A) = sup ( A), et si elle admet un
plus petit élément, alors min (A) = inf ( A).
(2)Les propriétés précédentes « distinguent » Rde Qdans le sens suivant : il existe des parties majorées de
Q dont la borne supérieure n'est pas un élément de Q.
Par exemple l'ensemble des rationnels xtels que
x 2
< 2admet p 2
, qui n'est pas rationnel, comme borne supérieure.
2 Limite d'une fonction
2.1 Limite nie en un point
Dénition 1.
On dit quefadmet le réel `pour limite en alorsque :
8 " > 09 > 08x 2 D
f j
x aj < ) jf(x ) `j < "
On note alors : lim
x ! af
(x ) = `ou lim
a f
= `
Proposition 1.
(1)Si fadmet pour limite `en aalors cette limite est unique.
(2)Si a2 D
fet si
fadmet pour limite `en aalors `= f(a ).
Remarque.
Lorsquea2 D
fon dénit parfois
lim
x ! a
x 6
= a f
(x ) = `par :
8 " > 09 > 08x 2 D
f 0
< jx aj < ) jf(x ) `j < "
2.2 Limite innie en un point
Dénition 2.
On dit quefadmet pour limite +1 en alorsque :
8 A > 09 > 08x 2 D
f j
x aj < )f(x ) > A
On note alors : lim
x ! af
(x ) = + 1ou lim
a f
= + 1
On dénit de même lim
x ! af
(x ) = 1 , notée aussi lim
a f
= 1 , par :
8 B < 09 > 08x 2 D
f j
x aj < )f(x ) < B
Dénition 3.
La droite d'équation x= aest une asymptote à la représentation graphique de florsque
lim
x ! af
(x ) = + 1ou lim
x ! af
(x ) = 1 .
2.
»
↓↓↓ APERÇU DU DOCUMENT ↓↓↓
Liens utiles
- Première générale Cours Mathématiques Fonction exponentielle
- Cours de mathématiques Classe de première S Olivier Péault 26 juin 2008 Table des matières 1 Généralités sur les fonctions 1/ Opérations sur les fonctions .
- Les mathématiques (cours de philosophie)
- Logique et mathématiques - Résumé de cours
- Correction de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2007 du sujet de Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg Denis Vekemans * Exercice 1 1.