Histoire des Mathématiques et mathématiciens

« des mathématiciens grecs.

Ils inventèrent également les chiffres arabes, qui proviennent des chiffres indiens et que nous utilisons toujours aujourd'hui.

Le mathématicien Thabit ben Q'ra (836-901 ) fut le premier à traduire les travaux d'Archimède, l'étude d'Apollonius sur les sections coniques, ainsi que la géométrie d'Euclide.

Il élargit l'usage de la théorie des nombres aux rapports entre les grandeurs géométriques.

Ensuite, Al Bathani (858-929) introduisit la notion de sinus et de cosinus, remplaçant la corde des angles utilisée par les grecs.

Il fut ainsi l'inventeur de la trigonométrie.

Mais le mathématicien le plus important du IX' siècle est sans doute Muhammad Al-Khwarizmi (780- 850).

Celui-ci écrivit un traité de mathématiques pratiques pour montrer " ce qui est le plus facile et le plus utile en arithmétique » dans lequel il explique les fondements de l'algèbre.

Il y explique les procédés qu'il utilise pour résoudre des équations et qui se nomment a\-jabr et al-muqaba\a.

Au X' siècle, les travaux se portent sur l'élaboration de table de valeurs de sinus et sur une systématisation de l'algèbre.

Abu Kami\ (850-930) étudie par exemple les équations du 4' degré et les nombres irrationnels comme n.

Le Xl' siècle fut moins productif, et c'est au Xli' siècle qu'Omar AI-Khayyam (1050 -1123) étudia la géométrie d'Euclide et l'algèbre.

Il traita, et à sa suite AI-Tusi (1201-1274), de l'extraction de racines 4', 5', voire d'ordres supérieurs.

Enfin, Al-Kashi à la fin du XIV' siècle, calcula, entre autres travaux, une valeur approchée den à 16 décimales.

Il montra également une généralisation du théorème de Pythagore pour un triangle quelconque.

lf.i@(lf#@j C'est avec la parution des traductions des Éléments d'Euclide en Italie à la fin du xve siècle que les mathématiques reprennent de l'essor en Europe.

Les artistes comme Paolo Uccello (1397- 1475) ou Piero della Francesca (1416- 1492) exploitent ces connaissances pour inventer la �I'SIHctivr.

Les cartographes tirent également profit de cette renaissance mathématique avec en particulier Gerhard Mercator (1512- 1594) au xvie siècle.

C'est également au XV' siècle que renaît la trigono­ métrie grace à Rrgiomont11nus (1436- 1476) qui explique comment calculer _ .....

1&..0-• le sinus et les cordes des angles et qui publie des tables de sinus.

!:algèbre avait été abordée au début du xm• siècle par Leon11rdo Fibonocci de l'isr (1170- 1250), mais c'est réellement au XVI' siècle que cette science des équations prend de l'importance.

En particulier, le problème de la résolution des équations du 3' degré (avec x') occupa de nombreux mathématiciens.

Scipione del Ferro (1465-1526) résolut un cas particulier de ces équations, celles qui ne contiennent pas de second degré (pas de x').

mais ne publia pas ce résultat.

Nicco/o Tortoglio (1500-1557) trouva indépendamment le même résultat qu'il compléta par la résolution des équations qui ne contienne pas de premier degré (pas ;��� de x).

Il refusa également de rendre publiques ses découvertes mais les révéla à Jérôme Cardan (1501 -1576) qui les publia en 1545 dans son Ars Magna, le premier grand traité d'algèbre européen.

Cet ouvrage présente une véritable théorie des équations algébriques.

Pour ces travaux, Cardan est le premier à utiliser les " nombres imaginaires » en utilisant la racine carrée de -1.

Cette époque voit également l'apparition des signes mathématiques que nous utilisons aujourd'hui.

Auparavan� on écrivait les équations et les calculs en texte et il est probable que ceci ait ralenti l'avancée de la science mathématique.

Le symbole " + » était une abréviation du " et» latin et le symbole "= »fut introduit en 1537 par l'anglais Robert Recorde (1510-1558).

!:introduction de lettres pour désigner les inconnues (aujourd'hui x, y, z, etc) est faite par l'allemand Michael Stifel (1486-1567).

Le français François Viète (1540-1603) contribua également à cette entreprise en introduisant non seulement des symboles pour les grandeurs algébriques (les inconnues), mais également pour les opérations (multiplication, division, etc).

Il appliqua également ces méthodes à la trigonométrie.

Ces travaux et leur usage par les mathématiciens des XVI' et XVII' siècles simplifièrent l'algèbre et la trigonométrie et permirent des avancées plus rapides.

LES XVII' ET XVIII• SIÈCLES : L'INVENTION DE L'ANALYSE Au XVI� siècle apparaît le calcul infinitésimal découvert indépen­ damment par ISIIIIC Nrwton (1642- 1727) et Gottfried Leibniz (1646- 1716).

Ce calcul consiste à considérer des quantités infiniment petites.

Il deviendra plus tard le calcul différentiel et intégral ou le calcul des variations.

Cette découverte est engendrée par l'invention de la géométrie analytique en particulier par René Drscortes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601 -1665).

Le premier, dans sa Géométrie publié en appendice de son Discours de la méthode en \637, associe par cette méthode les droites ou les courbes à des équations algébriques.

Le second découvrit comment résoudre les problèmes d'extremum en y associant la résolution d'équations algébriques.

Les logarithmes apparurent à la même époque, découverts par John Napier (1550-1617) et Henry Briggs (1561- 1630).

Le calcul des probabilités fut également théorisé au XVII' siècle en grande partie par B/oise l'oscol (1623- 1662).

On lui doit également de nombreux travaux dans tous les domaines et en particulier sur le triangle binomial qui, bien que découvert dès l'antiquité, porte son nom.

La résolution des problèmes posés par Leibniz et Newton de quadrature de surfaces courbes ou d'intégration des équations différentielles fait du XVIII' siècle le siècle de l'analyse.

Les principaux mathématiciens qui y contribuent sont Bernouilli, Joseph Lagrange (1736-1813), Adrien Legendre (1752- 1833), Jean D'Alembert (1717- 1783) ...

Leonhord Euler (1707- 1783) dégagea le calcul infinitésimal de la géométrie qui le rendait très difficile à appréhender.

Il rattacha égalemen� avec Pierre Laplace (1749- 1827), la trigonométrie à l'algèbre.

C'est à cette époque que les conjonctures de Christian GoldBach (1690-1764) sont posées :tout entier pair supérieur ou égal à 4 est somme de deux nombres premiers et tout entier impair supérieur ou égal à 9 est somme de trois nombres premiers.

Malgré des progrès dus à Vinogradov (1937), Chen (1973) et Vaughan (1975), ces conjectures demeurent aujourd'hui encore des problèmes non résolus.

LE XIX' SIECLE :NOUVEAU FORMALISME ET NOUVELLES DISCIPLINES On voit apparaître peu à peu un nouveau formalisme et une nouvelle rigueur, par exemple dans la construction des nombres réels ou l'axiomatisation des nouvelles structures algébriques tels les groupes, ou les espaces vectoriels.

Au début du xiX' siècle, Augustin-Louis Couchy(1789-1857) met en évidence à travers ses nombreux travaux en analyse l'insuffisance de l'intuition géométrique et la nécessité de la rigueur mathématique.

!:analyse est alors principalement composée de la théorie des fonctions à variable complexe abordée également par Georg Riemann (1826-1866).

!:algèbre simplifiée par le nouveau formalisme progresse considérablement grâce à Niels H.

Abel (1802- 1829), Evorlstr Go/ois (1811 - 1832), Carl Jacobi ._---'""-'..._..-;:.._.

(1804-1851), Ernst Kummer (1810-1893), George Boole (1815-1864), Marius Lie (1842-1899).

Ces deux derniers donnent d'ailleurs leur nom à des structures algébriques nouvelles.

Une révolution importante en géométrie est l'invention des géométries non-euclidiennes où l'on remplace le postulat d'Euclide par un autre.

Ce sont les géométries hyperboliques et elliptiques dues respectivement à Nikolaï Lobatchevski (1793-1856) et à Riemann (1826- 1866).

Les géométries projectives sont ensuite étudiées par Michel Chasles (1793 -1880), Jean Poncelet (1788- 1867), Felix Klein (1849-1925).

Cor/ Friedrich Gouss (1777-1855) apporta des résultats dans tous ces domaines et contribua de plus à l'élaboration de la théorie statistique.

On lui doit par exemple la distribution normale (également appelée courbe de Gauss).

Il poursuivait les travaux de Denis Poisson (1781 -1840) et Lambert Quételet (1796-1874).

On voit également apparaître la théorie des ensembles introduite par Georg Cantor (1845- 1918) et Richard Dedekind (1831-1916) qui permet en particulier de différencier l'infini des entiers, dénombrable, et l'infini des réels, continu, qui est " plus grand », réfutant enfin de façon convaincante les paradoxes de Zénon d'Élée, 2 300 ans après leur formulation ! LES MATHÉMATIQUES MODERNES La fin du XIX' siècle voit la naissance des mathématiques modernes.

À Paris, en 1900, David Hilbert (1862 -1943) énonce une liste de 23 problèmes sur des domaines très variés qui engendreront de nombreuses recherches, encore aujourd'hui.

Hilbert et Henri Poincon (1854- 1912) sont considérés comme les plus grands mathé­ maticiens de cette époque, et sans doute les derniers à connaître toute la mathématique de leur temps.

Les mathématiciens du XX' siècle poursuivent l'œuvre de formalisation entamée au siècle précédent, l'élargissant à tous les domaines des mathématiques.

!:axiomatisation est poussée à son paroxysme avec le groupe de mathématiciens Bourbaki (1939) qui publie depuis sa création les Eléments de Mathématique dont on dénombre à ce jour une quarantaine de volumes.

On assiste également à une généralisation de certains résultats.

Ainsi, Henri Lebesgue (1875-1941), s'appuyant sur les travaux d'Emile Borel (1871-1956), généralise la théorie de l'intégration.

En algèbre, Stefan Banach (1892- 1945) définit de nouvelles structures.

Les ensembles découverts par Gaston Julia (1893 -1978) permirent à Benoif Monde/brot d'Inventer les fractales dans les années 1970.

Elles ont des applications dans de nombreux domaines où la théorie du chaos s'applique, c'est-à­ dire où d'Infimes variations des conditions de départ entraînent des variations immenses à l'arrivée (biologie, économie, climatologie, mécanique des fluides).

Dans les années 1930, Kurt Gode\ (1906-1978) montre que les mathématiques sont " incomplètes » : il existe au moins une proposition indécidable, c'est-à-dire dont on ne peut prouver qu'elle est vraie ou fausse ! On peut cependant montrer que cette science n'est pas contradictoire ...

La deuxième moitié du XX' siècle voit l'apparition des ordinoteurs et de l'informatique dont Johannes Von Neumann (1903-1957) et Alan Turing (1912- 1954) sont considérés comme les inventeurs.

Depuis, ces outils et leur puissance de calcul ont considérablement facilité certaines tâches des mathématiciens, mais il n'existe pas encore de machine capable de réaliser une démonstration mathématique complexe sur un sujet donné .• Ce n'est qu'en 1995 qu'Andrrw Wilrs résout le célèbre théorème de Fermat, énoncé en 1641, en utilisant un rapprochement des formes modulaires et des courbes elliptiques.

!:énoncé du théorème de Fermat-Wiles (1995) est le suivant : il n'existe pas de solution autre que x=O, y=O, z=O à l'équation "1!'+'{'=7!' dès que n est supérieur à 2.

Certains problèmes sont d'ailleurs toujours ouverts comme par exemple les " 7 problèmes du millénaire » posés en 2000 par le Clay Mathemaûcs lnsûtute, dotés chacun d'un prix d'un million de Dollars.. »