Grundlagen der Mathematik - Mathematik.

« Satz des PythagorasIn den abgebildeten rechtwinkligen Dreiecken sind nach dem Pythagorassatz die Flächenquadrate über den beiden Katheten A und Bzusammen genauso groß wie das Flächenquadrat über der Hypotenuse C.

Es gilt: A 2 + B 2 = C 2.© Microsoft Corporation.

Alle Rechte vorbehalten. Die Griechen übernahmen Elemente der Mathematik sowohl von den Babyloniern als auch von den Ägyptern.

Neu bei den Griechen war jedoch die Einführung einerabstrakten Mathematik, die sich auf logische Strukturen von Definitionen, Axiomen und Beweisen gründete.

Späteren griechischen Berichten zufolge begann dieseEntwicklung im 6.

Jahrhundert v.

Chr.

mit Thales von Milet und Pythagoras von Samos.

Pythagoras lehrte, wie wichtig es für das Verständnis der Welt sei, Zahlen zuuntersuchen.

Einige seiner Schüler machten wichtige Entdeckungen in der Theorie der Zahlen und der Geometrie, die alle Pythagoras zugeschrieben wurden. Im 5.

Jahrhundert v.

Chr.

befanden sich unter den bekannten Geometern der Atomist Demokrit von Abdera, der die richtige Formel für das Volumen einer Pyramideentdeckte, und Hippokrates von Kos.

Hippokrates fand heraus, dass die Flächeninhalte von sichelförmigen Gebilden, deren Ränder Kreisbögen sind, gleich denFlächeninhalten bestimmter Dreiecke sind (Halbmonde des Hippokrates).

Diese Entdeckung hängt mit dem berühmten Problem der Quadratur des Kreises zusammen.

Im Prinzip versuchte man dabei mit Hilfe von Lineal und Zirkel ein Quadrat zu konstruieren, das den gleichen Flächeninhalt haben soll, wie ein vorgegebener Kreis ( siehe geometrische Konstruktionen).

Zwei weitere berühmte Aufgaben der klassischen griechischen Geometrie sind die Dreiteilung eines Winkels und die Verdoppelung einesWürfels – d.

h.

einen Würfel zu konstruieren, dessen Volumen doppelt so groß ist, wie das eines vorgegebenen Würfels.

Für diese Probleme fanden die Griechen eineVielzahl von Lösungsansätzen, wobei die Hilfsmittel üblicherweise nur Zirkel und Lineal waren.

So versuchte man beispielsweise bei der Quadratur des Kreises, das Problemmit Hilfe von eingeschriebenen bzw.

umschriebenen Vielecken zu meistern.

Dieser Lösungsansatz veranlasste u.

a.

Archimedes (siehe unten), den Wert für die Kreiszahl Pi näherungsweise zu bestimmen. Die Lösung dieser vier Aufgaben gelang den Griechen jedoch nicht.

Erst über zweitausend Jahre später, im 19.

Jahrhundert, wurde gezeigt, dass die beiden zuletztgenannten Probleme niemals mit Lineal und Zirkel allein hätten gelöst werden können.

Wie man seit 1882 weiß ist die Quadratur des Kreises in der so genannteneuklidischen Geometrie nicht möglich.

Siehe auch Quadraturformeln In der zweiten Hälfte des 5.

Jahrhunderts v.

Chr.

fand ein unbekannter Mathematiker heraus, dass es keine Einheitslänge gibt, die sowohl die Seite als auch die Diagonaleeines Quadrats angibt; d.

h., die beiden Längen sind inkommensurabel.

Folglich gibt es keine natürlichen Zahlen n und m, deren Quotient das Verhältnis einer Seite zur Diagonalen ausdrückt.

Da die Griechen nur die natürlichen Zahlen (1, 2, 3 usw.) als Zahlen betrachteten, hatten sie keine Möglichkeit, dieses Verhältnis von Diagonale zuSeite numerisch auszudrücken.

(Dieses Verhältnis, Ã, würde man heute irrational nennen.) Infolgedessen musste die Theorie des Pythagoras, eines auf Zahlen basierenden Verhältnisses, fallengelassen und eine neue, nichtnumerische Theorie entwickelt werden.

Dies gelang dem Mathematiker Eudoxos von Knidos (4.

Jahrhundert v.

Chr.),dessen Lösung in dem Werk Die Elemente von Euklid (siehe unten) gefunden werden kann.

Eudoxos fand auch eine Methode, mit der sich Aussagen über Flächeninhalte und Volumina durch sukzessive (nacheinander) Annäherungen streng beweisen lassen. 4.1 Mathematik im alexandrinischen Zeitalter 332 v.

Chr.

wurde die Stadt Alexandria als griechische Hauptstadt von Ägypten unter Alexander dem Großen erbaut.

Besonders unter ptolemäischer Herrschaft blühte dieStadt zu einem der wichtigsten kulturellen und wissenschaftlichen Zentren der Antike auf ( siehe alexandrinische Bibliothek).

Hier begründete etwa um 300 v Chr.

der Mathematiker und Gelehrte Euklid die berühmte mathematische Schule von Alexandria.

Euklid verfasste u.

a.

Arbeiten über die Optik, die Astronomie und die Musik.

Inseinem 13 Bücher umfassenden Werk Die Elemente beschrieb er seine Vorstellung über die Elemente der Mathematik.

Sein Werk enthält viel vom grundlegenden mathematischen Wissen, das bis zum Ende des 4.

Jahrhunderts v.

Chr.

die Mathematik entscheidend mitbestimmte.

Dies galt besonders für Bereiche wie Geometrie vonVielecken und des Kreises, Theorie der Zahlen, Asymmetrie, für die Stereometrie und für die elementaren Theorien von Flächen und Volumina. Das Euklid folgende Jahrhundert war durch mathematische Glanzleistungen gekennzeichnet.

Bekannt sind die Arbeiten von Archimedes von Syrakus und einem jüngerenZeitgenossen, Apollonios von Perge.

Um die Flächeninhalte und Volumina aus Kegelschnitten zu bestimmen, entwickelte Archimedes eine auf theoretischem Wiegenunendlich dünner Teile dieser Figuren beruhende Methode.

Archimedes untersuchte u.

a.

auch die Schwerkraft ( siehe Gravitation) und die Stabilität verschiedener Körper, wenn sie im Wasser schwammen.

Aus seinen Beobachtungen und Ergebnissen konnte er auf das nach ihm benannte archimedische Prinzip schließen ( siehe hierzu auch Auftrieb).

Vieles aus seinem Werk führte viel später im 17.

Jahrhundert zur Entdeckung der Infinitesimalrechnung.

Archimedes starb während der Eroberung von Syrakus(212 v.

Chr.) durch die Römer im 2.

Punischen Krieg.

Sein jüngerer Zeitgenosse, Apollonios, verfasste eine achtbändige Abhandlung über die Kegelschnitte.

Die drei Kurven,die Apollonios aus dem Schnitt eines geraden Kreiskegels erhielt, nennt man heute Ellipse, Parabel und Hyperbel.

Sein Werk enthielt auch die grundlegende Behandlung derGeometrie dieser Kurven bis zur Zeit des französischen Philosophen und Naturwissenschaftlers René Descartes (siehe unten) im 17.

Jahrhundert. Die Schriften des Heron von Alexandria im 1.

Jahrhundert v.

Chr.

zeigen, wie Elemente sowohl der babylonischen als auch der ägyptischen Mess- und Rechentraditionen,neben den logischen Gebäuden der großen Geometer erhalten blieben.

Ziemlich in derselben Tradition stehend, aber mit schwierigeren Problemen befasst, arbeiteteDiophantos von Alexandria im 3.

Jahrhundert v.

Chr.

an mathematischen Problemen.

Diophantos beschäftigte sich ausführlich mit Gleichungssystemen, bei denen dieAnzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten – derartige Gleichungen bezeichnet man auch als unbestimmt.

Zwar ließ Diophantos auch Bruchzahlenals Lösungen für diese Systeme zu, aber die Zahlen mussten stets positiv sein, denn die Mathematiker jener Zeit kannten den Begriff der negativen Zahl noch nicht.Heutzutage bezeichnet man diese Gleichungen als diophantische Gleichungen, wenn nur ganzzahlige Lösungen gesucht sind. Parallel zu den rein mathematischen Sachverhalten befassten sich die Gelehrten auch mit Optik, Mechanik und Astronomie.

Im 1.

Jahrhundert v.

Chr.

übernahmen dieAstronomen das babylonische System für Brüche und erstellten etwa zur selben Zeit weitere Tafeln für Kreissehnen.

Diese Tafeln geben für einen Kreis mit einemfestgelegten Radius die Länge der Sehnen an, die einer Bogenfolge gegenüberliegen.

Dabei nahmen diese Bögen um einen festen Betrag zu.

Die Tafeln sind den modernenSinustafeln ebenbürtig, und ihre Erfindung kennzeichnet die Anfänge der Trigonometrie.

In den ersten Exemplaren dieser Tafeln – denjenigen von Hipparch um 150 v.

Chr.– wuchsen die Bögen in 7 1/2°-Schritten von 0° bis 180° an.

Bis zur Zeit des Gelehrten Ptolemäus (2.

Jahrhundert n.

Chr.) war die Genauigkeit der Griechen innumerischen Verfahren weit fortgeschritten.

Sein Hauptwerk Almagest enthält u.

a.

eine Tafel von Kreisen in 1/2°-Schritten.

Die Berechnungen dieser Zahlen beruhte auf den Verfahren der Griechen.

Obwohl Ptolemäus diese Werte im sexagesimalen Zahlensystem ausdrückte, waren sie beachtlicherweise auf etwa fünf Dezimalstellen genau. In der Zwischenzeit wurden Methoden zur Lösung von Problemen entwickelt, bei denen ebene Dreiecke eine Rolle spielten.

Um die Längen bestimmter Bögen auf einerKugel zu ermitteln, wurde ein – nach dem Menelaos von Alexandria genannter – Satz entwickelt.

Diese Fortschritte ermöglichten den griechischen Astronomen, dieProbleme sphärischer Astronomie zu lösen und ein astronomisches System zu entwickeln.

Es behielt bis zur Zeit des deutschen Astronomen Johannes Kepler seine Geltung.. »