Grand oral du bac : LES PROBABILITÉS

« Les probabilités nombre de rangements possibles de trois objets est égal à 2x3 , soit 6.

Plus généralement, considé­ rons un ensemble finiE de cardinal n.

Le nombre de façons de ranger les n éléments, ou nombre de permutations den éléments, est égal à: nx(n-1) x(n- 2)x ...

x 1, nombre noté n'(« factorielle n»).

Arrangements et combinaisons Le nombre de façons de choisir p éléments parmi n éléments (pLn) en les ordonnant est égal à: ' Lancer quatre pièces identiques donne seize configurations que l'on peut ranger dans cinq catégories correspondant au résultat obtenu.

Obtenir deux côtés faces et deux côtés piles est le résultat le plus fréquent (6 chances sur 16).

n' nx (n-I) x ...

x (n-p+ 1) = c-· -\ (n -p )1 noté (�).

ll s'agit du nombre d'arrangements de p éléments dans un ensemble à n éléments.

Si l'on ne considère pas d'ordre entre les différents objets, on a affaire à une combinaison.

Le nombre de combinaisons (ou choix) possibles de p éléments parmi n éléments est donné par: C?,=-- n-' - = � p! (n-p)' p! Les probabilités On dit qu'un événement est aléatoire lorsqu'on ne peut le prévoir; il est dû au hasard.

Par défini­ tion, la probabilité d'un événement, probabilité pour que la situation coorrespondante se pro­ duise, est le rapport du nombre de cas favo­ rables (nombre de cas où l'événement se pro­ duit) au nombre de cas possibles, à condition que tous les cas soient équiprobables, c'est-à­ dire aient le même nombre de chances de se produire.

Par exemple, lorsqu'on lance une pièce en l'air, il y a une probabilité de 50% qu'elle tombe sur le côté «face», soit une chance sur deux.

Cela signifie qu'en moyenne, et après un assez grand nombre de lancers, environ la moitié des pièces sera tombée sur le côté pile, l'autre moitié sur le côté face.

Les deux événements "la pièce tombe sur le côté pile'' et "la pièce tombe sur le côté face» sont donc équiprobables: ils ont la même proba­ bilité de se produire.

Si la pièce n'est pas équili­ brée, elle aura davantage de chances de tomber sur un côté plutôt que sur l'autre; la probabilité de l'événement correspondant au premier côté sera alors supérieure à celle de l'autre événe­ ment.

Dans tous les cas, la probabilité d'un évé­ nement est toujours comprise entre 0 (l'événe­ ment ne se produit jamais) ou 1 (l'événement se produit toujours; on dit qu'il est certain).

Dans les courses hippiques, on parle de cote.

On dit qu'un cheval a une faible cote (il ne rap­ portera pas beaucoup d'argent) s'il a des chances importantes d'arriver en tête de la course.

La cote est la mesure de la probabilité que le che­ val soit perdant par rapport à la probabilité qu'il gagne la course.

Ainsi, dans le lancer d'une pièce, deux cas sont possibles : la pièce tombe soit côté face, soit côté pile.

Supposons que le côté face soit gagnant; un cas sur deux est gagnant, l'autre est perdant : la cote est de 1 contre !.

Lançons main­ tenant un dé et supposons que lorsque le 6 est obtenu, on gagne un lot.

Parmi les six cas pos­ sibles, un seul est gagnant (correspondant au 6), les cinq autres étant perdants : la cote du 6 est donc de 5 contre 1.

Revenons aux pièces, mais lançons cette fois deux pièces simultanément.

- événement A: "les deux pièces tombent sur le côté face»; - événement B: "les deux pièces tombent sur le côté pile»; - événement C: "les deux pièces tombent sur des faces différentes >>.

On pourrait penser que la probabilité d'obtenir chaque événement est égale à 1/3 (environ 33 %).

Mais l'expérience montre que pour 100 Le propriétaire des machines à sous gagne .....

tou jours, car une partie de l'argent n'est pas redistribuée et est retirée de la machine.

Quant aux joueurs, ils perdent sur le long terme, sauf pour l'heureux gagnant, à condition qu'il sache s'arrêter au bon moment.

lancers, l'événement A et l'événement B se pro­ duisent chacun 25 fois, et que l'événement C se produit 50 fois.

Considérons deux pièces différenciables: l'une blanche, l'autre jaune.

On peut observer quatre événements différents: - D: "les deux pièces tombent sur le côté face»; -E: "la pièce blanche tombe sur le côté face et la pièce jaune sur le côté pile'' ; - F: "la pièce blanche tombe sur le côté pile et la pièce jaune sur le côté face»; - G: «les deux pièces tombent sur le côté pile>> .

On constate que les événements E et F seraient confondus si les deux pièces étaient identiques (cas d'étude précédent), c'est ce qui explique que la probabilité de l'événement «les deux pièces tombent sur deux faces différentes'' (situa­ tion C dans le cas précédent) soit alors deux fois plus importante que celles des événements A et B rencontrés précédemment.

On se propose à présent de déterminer la pro­ babilité, en lançant deux dés, d'obtenir un total de 7.

Calculons d'abord le nombre de combinai­ sons possibles de deux chiffres choisis parmi six.

Considérons que l'on a obtenu 1 avec le premier dé.

Sur le second dé, on peut obtenir 6 chiffres différents (de 1 à 6), soit 6 combinaisons pos­ sibles avec le premier dé.

Comme le premier dé peut marquer 6 chiffres possibles, le nombre de cas possibles est donc 6x6, soit 36.

Les cas favo­ rables à l'événement considéré sont les combi­ naisons suivantes pour les deux chiffres apparais­ sant sur les deux dés: 1-6; 2-5; 3-4; 4- 3; 5- 2 et 6- 1.

Le nombre de cas favorables est donc égal à 6.

Ainsi, la probabilité d'obtenir un total de 7 avec les deux dés est de 6/36, ou 116.

De même, on pourrait montrer que la probabilité d'obtenir un double 6 avec les deux dés est de 1/36.

Comme 1136 est très petit devant 116, on a beau­ coup plus de chances d'obtenir un total de 7 qu'un double 6 (ou qu'un double chiffre plus généralement).

Événements indépendants • Calcul par dénombrement Au Monopoly , jeu qui se joue avec deux dés, la règle stipule qu'il est «interdit» d'obtenir les mêmes chiffres sur les deux dés pour trois lancers. »