Fiche 37 : Fonctions affines : tableaux de signes.

« Fiche 37 : Fonctions affines : tableaux de signes. Activité : On cherche à déterminer le signe du produit (x + 2)(3 – 1 2 x) en fonction de la valeur attribuée à x. On a représenté ci-contre les fonctions affines f et g définies sur ℝ par f(x) = x + 2 (droite d) 1 et g(x) = 3 – x (droite d’).

La droite (d) coupe l’axe des abscisses au point A(– 2 ; 0) et la 2 droite d’ le coupe au point B(6 ; 0).

(On pourra compléter le tableau de signes au fur et à mesure des questions.) 1 1) a) Par lecture graphique, déterminer le signe de x + 2, puis celui de 3 – x pour tout x stric2 tement inférieur à – 2. 1 Pour tout x strictement inférieur à – 2, on a x + 2 < 0 et 3 – x > 0.

(En effet, pour 2 tout x strictement inférieur à – 2, la droite (d) est en-dessous de l’axe des abscisses et la droite (d’) est au-dessus de l’axe des abscisses.) 1 b) Quel est alors le signe du produit de (x + 2)(3 – x) pour tout x strictement inférieur à – 2 ? 2 Pour tout x strictement inférieur à – 2, on a (x + 2)(3 – 1 x) < 0 (Le produit 2 d’un nombre négatif par un nombre positif est un nombre négatif.) 2) a) Reprendre la question 1-a, pour tout x tel que – 2 < x < 6. 1 Pour tout x tel que – 2 < x < 6, on a x + 2 > 0 et 3 – x > 0.

(En effet, pour 2 tout x tel que – 2 < x < 6, (d) et (d’) sont au-dessus de l’axe des abscisses.) b) En déduire le signe du produit de (x + 2)(3 – 1 2 Valeurs de x –∞ – Signe de x + 2 Signe de 3 – 1 x 2 Signe de (x + 2)(3 – –2 1 x) 2 0 + – 0 6 +∞ + + + 0 – + 0 – x) pour tout x ∈ ]– 2 ; 6[. 1 x) > 0. 2 (Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.) 3) a) Reprendre la question 1-a, pour tout x strictement supérieur à 6. 1 Pour tout x strictement supérieur à 6, on a x + 2 > 0 et 3 – x < 0.

(En effet, pour 2 tout x strictement supérieur à 6, la droite (d) est au-dessus de l’axe des abscisses et la droite (d’) est en-dessous de l’axe des abscisses.) 1 b) En déduire le signe du produit de (x + 2)(3 – x) pour tout x strictement supérieur à 6. 2 1 Pour tout x strictement supérieur à 6, on a (x + 2)(3 – x) < 0 (Le produit 2 d’un nombre positif par un nombre négatif est un nombre négatif.) Pour tout x tel que – 2 < x < 6, on a (x + 2)(3 – 4) On a tracé ci-contre la courbe représentative de la fonction h définie sur ℝ par 1 h(x) = (x + 2)(3 – x).

Expliquer comment on peut retrouver graphiquement le signe 2 1 du produit (x + 2)(3 – x) selon la valeur attribuée à x. 2 Pour tout x strictement inférieur à – 2, la courbe de h est en-dessous de l’axe des abscisses.

On retrouve (x + 2)(3 – Pour tout x ∈ ]– 2 ; 6[, la courbe de h est au-dessus de l’axe des abscisses.

On retrouve (x + 2)(3 – 1 2 1 2 x) < 0. x) > 0. Pour tout x strictement supérieur à 6, la courbe de h est en-dessous de l’axe des abscisses.

On retrouve (x + 2)(3 – 1 2 x) < 0. Cours : Propriété : Soient a et b deux réels avec a ≠ 0.

La fonction affine f définie sur ℝ par f(x) = ax + b s’annule et change de signe une b fois dans son ensemble de définition, en x = – . a Démonstration : f(x) = 0 ax + b = 0 ax = – b b x=– a f(x) > 0 ax + b > 0 ax > – b x>– Propriété : b a si a > 0 f(x) < 0 ax + b < 0 ax < – b x– b a si a < 0 Si a < 0 : +∞ a si a > 0 –∞ x + – + f(x) f est négative, puis positive. b +∞ a 0 – f est positive, puis négative. Exemple 1 : Dresser le tableau de signes de f(x) = 3x + 5. • f(x) = 0 soit 3x + 5 = 0 3x = – 5 5 donc x = – 3 5 5 Donc, S = { – } et f(– ) = 0 3 3 • f est affine et 3 > 0, donc f est strictement croissante sur ℝ. Valeurs de x – -∞ Signe de f(x) – 5 +∞ 3 0 + Exemple 2 : Dresser le tableau de signes de g(x) = – 4x + 8. • g(x) = 0 soit – 4x + 8 = 0 – 4x = – 8 –8 donc x = =2 –4 Donc, S = {2} et g(2) = 0 • g est affine et – 4 < 0, donc g est strictement décroissante sur ℝ. Valeurs de x -∞ Signe de g(x) 2 + 0 +∞ – Exercices : 1 Dans chaque cas, compléter les tableaux de signes et/ou les.... »