Etude et analyse des courbes en mathématique

« le point Mo(Xo.

f(Xo)) de la courbe correspondant.

On considère un second point quelconque M(t f(t)) et la droite qui passe par ces deux points.

Cette droite a pour coefficient directeur (f(t)-f(Xo))/(t-x.).

qui correspond à la pente de I~ droite.

Puis petit à petit, on rapproche M de Mo sur la courbe.

La droite (MoM) varie en même temps que M, ainsi que son coefficient directeur .

Si ce coefficient directeur admet une limite lorsque t tend vers Xo.

cette limite est appelée dérivée de f en Xo· On dit que f est dérivable en Xo· On peut donc déduire un espace de dérivabilité de f, comme l'ensemble des points de l'ensemble de définition de f en lesquels f est dérivable.

On peut ainsi créer à partir de f une fonction appelée fonction dérivée de f et notée f'.

définie sur l'ensemble de dérivabilité del par : c'est-à-dire la limite lorsque t tend vers f '(x)- lim/(t)- /(x) ,_,, t-x x du coefficient directeur de la droite passant par les points (x.f(x)) et (tf(t)) .

La droite obtenue comme limite des droites (MoM) lorsque t tend vers Xo (c'est-à-dire lorsque M se rapproche de M0), de coefficient directeur f'(Xo) .

est appelée tangente à la courbe en Xo· _, 0 Par exemple, la drrillée de l(x)=x'-2 en O correspond à la limite de (f(x)-f(O))/x = x'/x = x.

Or la limite de x en O est 0, donc la dérivée de f en o est 0, ce qui se traduit par le fait que la tangente à la courbe en O est horizontale (elle a un coefficient directeur nul) .

La dérivée d'une fonction est un outil très utile dans l'étude de courbes, car elle possède de très précieuses propriétés liées au sens de variation de la fonction.

Si une fonction a une dérivée qui prend des valeurs positives sur un intervalle de points, alors la fonction est croissante sur cet intervalle .

Réciproquement si une fonction a une dérivée négative sur un intervalle de points, alors la fonction est décroissante sur cet intervalle.

Si une fonction a une dérivée nulle sur un intervalle de points , alors la fonction est constante sur cet intervalle.

En effet toute fonction constante a une dérivée nulle, ce qui se traduit par un coefficient directeur nul et une tangente horizontale.

Une fonction est paire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Mathématiquement cela se traduit par le fait que pour tout élément x de l'ensemble de définition : f(x)=f(-x) .

-1 g(x)=x • (impaire) x Une fonction est impaire si sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère .

Cela se traduit par le fait que pour tout x de l'ensemble de définition : f(x)~f(x) Ces propriétés permettent de se limiter à l'étude d'une fonction sur ses valeurs positives uniquement (ou négatives uniquement ), car on déduit l'allure de la courbe sur l'autre partie de l'ensemble de définition par symétrie .

PtllODICITT Une fonction est périodique , de période T, s i sa courbe représentative est la même dès qu'on la déplace de T unités vers la gauche ou vers la droite sur l'axe des abscisses .

Donc, pour tout x de l'ensemble de définition, f(x)=f(x+ l).

Les fonctions cosinus et sinus vues précédemment sont périodiques de période 2rr.

Cette propriété permet de se limiter à l'étude d'une fonction pour des valeurs de l'ensemble de définition entre o et T uniquement , car on déduit l'allure de la courbe sur le reste de l'ensemble par trans lation suivant l'axe des abscisses .

(ONVEXlrt Une fonction est dite convexe si en tout point de l'ensemble de définition , la tangente en ce point est située sous la courbe .

Cela traduit le fait qu'en quelque sorte, la fonction est « de plus en plus croissante » ou « de moins en moins décroissante » .

Si une fonction est convexe, sa dérivée seconde , c'est-à -dire la dérivée de sa dérivée, est positive .

Soit la fonction f : x-x '.

pour tout nombre x.

On considère que f est continue sur son ensemble de définition .

La dérivée de f en tout point x est la limite de (x'-t')/x-t = ((x-t)(x+ t))/(x-t) = x+t lorsqu e t tend vers x.

Or la limite de x+t lorsque t tend vers x est 2x (car t se rapproche de x, donc t+x se rapproche de x+x=2x).

Ainsi, f est dérivable en tout point et f'(x)=2x.

Si x est négatif, f' est négative et si x est positif , f' est positive .

On déduit des propriétés de la dérivée que f est décroissante sur les valeurs négatives de l'ensemble de définition et croissante sur les valeurs positives .

Cela indique donc que f admet un minimum en o .

On voit par ailleurs que la limite de x en +oo est +oo, car plus x prend des valeurs élevées, plus x' prend des valeurs élevées également De plus, le carré de x et de -x est toujours le même, donc f(x)=f(-x) pour tout x de l'ensemble de définition, et la fonction est donc paire.

On déduit de cette parité de la fonction que la limite en -oo est la même que celle en +oo (et vaut +oo).

Enfin , on sait que la dérivée de f' est la dérivée de x -2x.

Comme f' est une fonction linéaire, sa dérivée est le coefficient directeur de sa courbe représentative, c'est-à-dire 2 .

Donc la dérivée seconde de f est 2 pour tout x de l'ensemble de définition .

f" est positive, donc f est convexe .

Toutes ces propriétés sont visibles sur les courbes représentatives ci-dessous.

-1 0 POUR ALLER PLUS LOIN COMPOSITION, SOMME DE FONCTIONS Certaines fonctions peuvent être définies comme la composée de deux fonctions.

Par exemple, si on considère f : x-3x1 , définie pour tout nombre réel.

f(x) s'écrit g(h(x)), où : g: x-3x h : x- x' f(x) = g(x')=3x ' pour tout x de l'ensemble de définition.

À noter que g(h(x)) et h(g(x)) ne repr ésentent pas la même chose : g(h(x))=3x ' et h(g(x))=9x '.

On connaît la dérivée de f à partir des dérivées de g et h , on admettra ici que pour tout x: f'(x)=h' (x)g'( h(x)).

On en déduit que si g et h sont croissantes pour tout x, et donc si g ' et h' sont positives , f' est positive et f est alors croissante .

De même, si g et h sont décroissantes sur tout l'ensemble de définition , f est croissante.

Par contre si l'une est croissante et l'autre décroissante, alors f est décroissante .

Ici, g et h sont toutes deux croissantes , donc f est également croissante.

5oMME DE FONCTIONS Certaines fonctions peuvent être définies comme la somme de deux fonctions .

Par exemple f : x-x '+3x, définie pour tout nombre réel, est la somme des deux fonctions g et h, où : g:x-x 2 h: x-3x définies pour tout nombre réel.

La dérivée de f s'écrit simplement : f'(x)=g'(x)+h'(x).

Donc si g eth sont croissantes, f l'est aussi.

Sig eth sont décroissantes , f l'est également.

Par contre, si g est croissante et h décroissante ou inversement , on ne peut rien dire sur les variations de f sans l'étudier plus précisément.

-1 0 Une fonction f est dite injective si elle ne prend jamais deux fois la même valeur .

Par exemple, la fonction x-x ' puisqu'elle est paire, n'est pas injective, car tout nombre et son opposé ont la même image .

Une fonction injective , dans le cas des fonctions continues, est soit croissante sur tout l'ensemble de définition soit décroissante sur tout l'ensemble.

Si on appelle G l'ensemble des valeurs prises par une fonction f injective , et définie sur un ensemble F, on dit que f est bijective de F sur G (c'est-à-dire de son ensemble de définition sur l'ensemble de ses valeurs) .

Dans ce cas on peut définir une fonction g définie sur G telle que pour tout x de F, g(f(x))=x, et pour tout x de G, f(g(x))=x.

g est appelée fonction réciproque de f, et est bijective , de G dans F.

La composition de deux fonctions réciproques est la fonction x-x (appelée fonction identité) .

Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques Fonction exponentielle et logarithme par rapport à la droite représentative de la fonction identité x-x.

Par exemple, les fonctions f : x-x' (définie sur l'ensemble des nombres positifs seulement , et injective sur cet ensemble) et g: x-lx (définie sur l'ensemble des nombres positifs) sont réciproques, toutes deux bijectives de l'ensemble des nombres positifs sur l'ensemble des nombres positifs.

Pour tout x positif, f(g(x)) = g(f(x))=x .

FONCTIONS EXPONENTIELLE ET LOGAlllTHME Les fonctions exponentielle et logarithme sont extrêmement utilisées dans de nombreux domaines scientifiques.

À partir de e qui est un nombre réel fixé (environ 2 ,7 ...

), on appelle fonction exponentielle la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par x-e'.

!'.exponentielle est croissante et convexe , prend toujours des valeurs positives et a pour limite o en -oo et +oo en +oo.

On appelle logarithme (noté ln ou log) sa fonction réciproque , définie donc sur l'ensemble des valeurs prises par l'exponentielle (l'ensemble des nombres positifs) , et qui prend donc ses valeurs dans l'ensemble de définition de l 'exponentielle (donc dans l'ensemble des nombres réels) .

!'.exponentielle et le logarithme vérifient certaines propriétés .

Pour tous nombres x et y des ensembles de définition : • e'''=e'e • • ln(xy)=ln(x)+ln ( y ) • e"=l • ln(l)=ln(e '):() À noter que l'exponentielle possède la propriété intéressante d'être égale à sa dérivée .

FONCTION DE PLUSIEURS VAllABLES Une fonction f à deux variables est un procédé qui fait correspondre à chaque coup le de nombres (x,y) un unique nombre z, où x est un élément d'un ensemble E et y est élément d'un ensemble F.

E et F constituent l'ensemble de définition de f, que l'on note Ex F.

De façon générale, on note x ,y-f(x,y) la fonction qui à un couple (x,y) associe le nombre dont l'expression est f(x,y).

x et y sont les deux variables dans l'expression de f.

On représente graphiquement une fonction à deux variables, à partir de trois axes , et donc en trois dimensions : l ' axe des abscisses et l'axe des ordonnées représentent les valeurs prises par les deux variables , et l'axe des cotes , orthogonal aux deux autres , représente les valeurs prises par la fonction .

On parle alors de surface représentative et non plus de courbe représentative .. »