ESSENTIEL 2 : Nombres complexes (forme algébrique)

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Connaître les formules i2 = – 1 Si z  x  iy avec x et y réels, alors z  x  iy Pour tous nombres complexes a et b : ( a  ib)( a  ib)  a 2  b2 z réel z imaginaire pur     Im(z) = 0 Re(z) = 0 zz z  z Si z  x  iy avec x et y réels, alors z  x 2  y 2 iz + 4 Enoncé 1 : f est la fonction définie de \{1} dans  par f( z ) = z 1 ; calculer f(2 – 3i) 2.

Savoir résoudre une équation a) Du premier degré : az + b = 0 (a et b complexes) On isole l’inconnue d’un côté de l’égalité. b) Avec z et z On ne sait pas résoudre directement une équation où interviennent en même temps z et z . On va donc : transformer z en x + iy, se ramener à une égalité de deux complexes, utiliser la propriété : « deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire » puis, résoudre un système de deux équations à deux inconnues (x et y) dans . c) Du second degré : az2 + bz + c = 0 (avec a, b et c réels, a non nul) On calcule le discriminant :  = b2 – 4ac. b   Si  > 0, deux solutions réelles b   et 2a Si  = 0, une solution qui est  2a b 2a b  i  Si  < 0, deux solutions complexes et conjuguées et b  i  2a 2a Enoncé 2 : Exercices corrigés : Livre de Mathématique de la classe (Math TS repère) voir page 152 : le paragraphe 4A : résoudre des équations Enoncé 3 : Résoudre dans  les équations suivantes : iz + 4 a) z2 + 2z + 3 = 0 b) =2 z 1 A savoir : il n’y a pas d’inéquation dans  3.

Savoir utiliser les nombres complexes pour résoudre un exercice de géométrie Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u, v ). z  x  iy avec x et y réels, est l’affixe d’un point M signifie que M a pour coordonnées (x ; y) et on a OM = z (le module représente donc une distance : c’est un réel positif). Soit A et B deux points du plan d’affixes respectives z Rappels de géométrie :  ABC est un triangle isocèle en A   A et z B alors AB = z  z B AB = AC z z B A  z z C A A  ABC est un triangle équilatéral  AB = BC = CA  z z B A  z z C B  z z A C  ABC est un triangle rectangle en A   ABC est un triangle rectangle en A  AB2 + AC2 = BC2 AB  AC  ABCD est un parallélogramme   AB  DC z z z z  ABCD est un parallélogramme  [AC] et [BD] ont le même milieu z z z z A C  B D 2 2 B  A C (ou AD  BC ) (ou z  z  z .... »