Differential- und Integralrechnung - Mathematik.

« Steigung einer KurveDie Steigung der Kurve in dem Punkt A wird durch die Steigung der dort anliegenden Tangente T beschrieben.

Rein rechnerisch ergibtsich die Steigung durch die Konstruktion des Steigungsdreiecks ABC.

Sie entspricht dem Quotienten aus der Strecke k und derStrecke h.© Microsoft Corporation.

Alle Rechte vorbehalten. Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit dem Anstieg einer Funktion y = f(x).

So könnte z.

B.

x für die Zeit stehen und y für die Entfernung, die von einem sich bewegenden Gegenstand in der Zeit x zurückgelegt wird.

Eine kleine Veränderung h von x vom Wert x0 zum Wert x1 = x0 + h verursacht eine Änderung k von y vom Wert y0 = f(x0) zu y0 + k = f(x0+h); also ist k = f(x0+h) - f(x0), und der Bruch k/h stellt die durchschnittliche Steigung von y dar, wenn x von x0 auf x0 + h ansteigt. Für den Graphen der Funktion y = f(x) ist k/h die Steigung der Geraden AB durch die Punkte A = (x0, y0) und B = (x0+h, y0+k) dieser Kurve.

Dieser Sachverhalt ist in der Abbildung Steigung der Kurve dargestellt, wo h = AC und k = CB ist, so dass k/h der Tangens des Winkels BAC ist.

Man bezeichnet die Differenz h = x1 - x0 mit Δ x und die Differenz k = f(x1) - f(x0) mit Δ f(x) und nennt k/h = Δ f(x)/Δx den Differenzenquotienten . Nähert sich nun x1 immer mehr x0, d.

h., wird h immer kleiner, so nähert sich k/h der aktuellen Steigung von y im Punkt x0.

Geometrisch ausgedrückt, nähert sich B dem Punkt A auf dem Graphen von y = f(x), und die Gerade durch AB nähert sich der Tangente AT des Graphen im Punkt A.

Also nähert sich k/h der Steigung der Tangente im Punkt A und kann als Steigung der Kurve im Punkt A betrachtet werden.

Deshalb definieren wir die Ableitung f′(x0) der Funktion y = f(x) im Punkt x0 als den Wert (oder Grenzwert), an den sich k/h mit h gegen 0 annähert.

Wir schreiben: Damit werden sowohl die Änderung von y als auch die Steigung des Graphen der Funktion im Punkt A dargestellt.

Ist beispielsweise x die Zeit und y die Entfernung, so stellt die Ableitung die augenblickliche Geschwindigkeit dar.

Je nachdem, ob die Werte von f′(x0) positiv, negativ oder gleich 0 sind, kann man erkennen, ob sich f(x) bei x0 vergrößert, verringert oder konstant bleibt. Ordnet man jedem Punkt x die Ableitung von f an der Stelle x zu, so entsteht eine neue Funktion f′(x), genannt die Ableitung f′ von f.

Die Ableitung f′ von y = f(x) wird oft auch als d y/dx oder df/dx geschrieben und Differentialquotient genannt.

Diese Bezeichnung soll daran erinnern, dass die Ableitung aus dem Differenzenquotienten Δ f(x)/Δx durch Grenzübergang entstanden ist.

Daher stammt auch der Name Differentialrechnung.

Statt „ableiten” sagt man auch, man differenziere eine Funktion. Ist beispielsweise y = f(x) = x², so ist der Graph der Funktion eine Parabel.

Dann gilt k = f(x0 + h) - f(x0) = ( x0 + h)2 - x02 = (x02 + 2 x0h + h2) - x02 = 2 x0h + h2,so dass k/h = 2x0 + h.

Dies geht gegen 2 x0, wenn h → 0.

Also ist die Steigung für x = x0 gleich 2 x0, und die Ableitung von f(x) = x² ist gleich f′(x) = 2 x.

Analog hat xm die Ableitung mxm-1 für jedes feste m.

Man kennt die Ableitungen sämtlicher gewöhnlich vorkommender Funktionen.

In der Tabelle sind einige Beispiele angeführt. An dieser Stelle seien einige Hinweise gegeben: Zunächst einmal lassen wir h, um die Ableitung zu berechnen, beliebig klein (positiv oder negativ), aber niemals 0 werden; denn dann erhielten wir k/h = 0/0, was keine Bedeutung hätte.

Zweitens hat nicht jede Funktion f an jeder Stelle x0 eine Ableitung, da sich k/h nicht notwendig einem Grenzwert für h → 0 nähert.

Beispielsweise hat f(x) = | x| keine Ableitung in x0 = 0, da k/h gleich 1 oder -1 ist, je nachdem, ob h > 0 oder h < 0 ist.

Geometrisch gesprochen, hat der Graph der Funktion bei A = (0,0) eine Ecke (und daher keine Tangente).

Drittens sei erwähnt, dass die Schreibweise d y/dx zwar suggeriert, dass es sich um den Quotienten zweier Zahlen d y und d x (die die infinitesimalen Veränderungen von y und x bezeichnen) handle; doch hat man es tatsächlich nur mit einer einzigen Zahl zu tun, nämlich dem Grenzwert des Quotienten Δ f(x)/Δx = k/h, wenn h (und damit auch k) gegen 0 geht. 3.3 Differentiation Die Differentiation ist die Berechnung von Ableitungen.

Wird eine Funktion f durch Kombination zweier Funktionen u und v gebildet, so kann ihre Ableitung f′ mittels einfacher Regeln aus u und v und ihren Ableitungen berechnet werden.

So ist z.

B.

die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen; ist also f = u + v (d.

h.

f(x) = u(x) + v(x) für alle x),dann ist f′ = u′ + v′.

Für die Differenz zweier Funktionen gilt dies analog (u - v) ′ = u′ - v′.Wird eine Funktion mit einer Konstanten multipliziert, so gilt das auch für ihre Ableitung, d.

h.

( cu) ′ = cu′ für eine beliebige Konstante c. Für Produkte und Quotienten von Funktionen sind die Regeln nicht so offensichtlich: Für f = uv gilt f′ = uv′ + u′v,und für f = u/v gilt f′ = ( u′v - uv′)/v2,falls v(x) ≠ 0.

Mit Hilfe dieser Regeln können recht komplizierte Funktionen differenziert werden.

Die weit entwickelten Computer-Algebra-Programme nehmen uns diese oft mühsame Arbeitheute weitgehend ab. Einfache Beispiele: x2 und x5 haben die Ableitungen 2 x und 5 x4, also hat die Funktion 3 x2 - 4x5 die Ableitung (3x2 - 4x5)′ = (3 x2) ′ - (4 x5) ′ = 3·( x2) ′ - 4·( x5) ′ = 3·(2 x) - 4·(5 x4) = 6 x - 20 x4.Allgemeiner hat ein beliebiges Polynom f(x) = a0 + a1x + … + anxndie Ableitung f′(x) = a1 + 2 a2x + … + nanxn-1.Konstante Funktionen haben die Ableitung 0.

Ist y = u(z) und z = v(x), so dass y eine Funktion von z und z eine Funktion von x ist, so ist y = u(v(x)).

y ist also eine Funktion von x und wird als y = f(x) geschrieben, wo f die Verknüpfung von u und v ist.

Nach der Kettenregel gilt dy/dx = (d y/dz)·(dz/dx)oder äquivalent dazu f′(x) = u′(v(x))·v ′( x).Ist z.

B.

y = ez, die Exponentialfunktion mit e = 2,718...

(die Euler’sche Zahl) und z = ax mit einer beliebigen Konstante a, so ist y = eax.

Nun ist d y/dz = ez (vergleiche Tabelle) und d z/dx = a, also ist d y/dx = aeax.

Siehe auch e (Mathematik) Mit Hilfe von Ableitungen können viele Probleme formuliert und gelöst werden.

So sei z.

B.

y die Menge einer Probe radioaktiven Materials zu einer bestimmten Zeit x.

Die Probe zerfällt gesetzmäßig in einem Verhältnis proportional zu der verbleibenden Menge, also d y/dx = ay mit einer negativen Konstanten a.

Um y mit Hilfe von x zu berechnen, brauchen wir also eine Funktion y = f(x) mit d y/dx = ay für alle x.

Die allgemeinste solche Funktion ist y = ceax mit einer Konstanten c.

Da e0 = 1, erhalten wir y = c für x = 0, also ist c die anfangs (zur Zeit x = 0) vorhandene Menge.

Da a < 0, erhalten wir eax → 0 für wachsendes x, so dass y → 0.

Dies bestätigt, dass die Menge der Probe allmählich gegen 0 geht.

Dies ist ein Beispiel für eine exponentielle Abnahme (hier für den radioaktiven Zerfall):. »