Dérivation

« Dérivation I.

Nombre dérivé Définition La droite d'équation � = �� + � admet pour coefficient directeur le nombre �. Soit �� ≠ �� ; la droite passant par les points A(�� ;�� ) et B(�� ;�� ) admet pour coefficient directeur le nombre �� − �� �� − �� . Définition et propriété Soit � une fonction définie sur un intervalle I.

Soit �� et �� deux réels distincts appartenant à I. Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de � entre �� et �� est le nombre ���� � − ���� � . �� − �� Il est égal au coefficient directeur de la "corde" passant par �(�� ; �(�� )) et �(�� ; �(�� )). Exemple Soit � la fonction définie par �(�) = � �. Calculer le taux d'accroissement de � entre 2 et 3, puis entre 2 et 2, 5 puis entre 2 et 2, 1. Interpréter graphiquement. Solution... Définition Soit �(ℎ) une fonction. S'il existe un nombre réel � tel que �(ℎ) devienne aussi proche de � que l'on veut pourvu que ℎ soit suffisamment proche de 0, alors on dit que: la limite de �(ℎ) quand ℎ tend vers 0 vaut �. On note: lim �(ℎ) = � �→� Exemple On considère �(ℎ) = ��� + �� � + � � � On note �(ℎ) n'est pas défini en 0, ce qui rend la détermination de sa limite difficile. On simplifie: �(ℎ) = ���� + �� + � �� � = 12 + 6ℎ + ℎ � On note 12 + 6ℎ + ℎ � est défini en 0, ce qui rend la détermination de sa limite évidente. On a alors: lim �(ℎ) = 12 + 6 × 0 + 0 � = 12 �→� Finalement: lim �(ℎ) = 12 �→� Définition Soit � une.... »