DAEU-B – Maths UGA 2020-2021 Limites – Corrections des Exercices

« DAEU-B – Maths UGA 2020-2021 Limites – Corrections des Exercices Limites – Corrections des Exercices Exercice no 1 Premiers calculs de limites. a.

Limites en +∞ (quand x devient arbitrairement grand). (a) lim 2020 − x x→+∞ 1 x→+∞ 2020 − x 1 (c) lim 2020 − x→+∞ x (b) lim (d) lim 3x2 + 2x3 x→+∞ (e) lim 3x2 + x→+∞ (f) lim 1 x 1 +1 x→+∞ 3x2 (g) lim x→+∞ √ 3x2 + 1 3 5 −2 − x→+∞ x2 x 2 (i) lim √ x→+∞ 3x − 5 (h) lim Correction : (a) lim 2020 − x = −∞, car x devient arbitrairement grand, avec un coefficient negatif. x→+∞ 1 = 0, car on divise 1 par 2020 − x, une quantité arbitrairement grande (néx→+∞ 2020 − x gative). 1 1 (c) lim 2020 − = 2020, car devient arbitrairement petit. x→+∞ x x (d) lim 3x2 + 2x3 = +∞, car on ajoute deux quantités, 3x2 et 2x3 , qui deviennent arbitraire(b) lim x→+∞ ment grandes. 1 (e) lim 3x2 + = +∞, car on ajoute, 3x2 , une quantité qui deviennent arbitrairement grandes x→+∞ x 1 et , qui devient arbitrairement petit. x 1 = 0, car on divise 1 par 3x2 + 1, une quantité arbitrairement grande. (f) lim 2 x→+∞ 3x + 1 √ (g) lim 3x2 + 1 = +∞, car on met dans la racine carrée une quantité arbitrairement grande, x→+∞ donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande. 5 3 5 3 deviennent arbitrairement petites, (h) lim 2 − − 2 = −2 car les deux quantités 2 et x→+∞ x x x x donc tendent vers 0, et seul reste −2. √ 2 (i) lim √ = 0, car la quantité 3x − 5 devient arbitrairement grande, donc 3x − 5 x→+∞ 3x − 5 aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit. — b.

Limites en −∞ (quand x devient arbitrairement grand dans les négatifs). √ (a) lim 3x2 (d) lim 3x2 − 2x3 (g) lim 3x2 + 1 x→−∞ x→−∞ (b) lim 2020 − x x→−∞ (c) lim 2020 − x→−∞ x→−∞ (e) lim 3x2 + x→−∞ 1 x (f) lim x→−∞ 1 x 1 +1 3x2 3 5 − −2 2 x→−∞ x x 2 (i) lim √ x→−∞ 5 − 3x (h) lim Correction : (a) lim 3x2 = +∞, car x2 , et donc 3x2 , est positif et devient arbitrairement grand. x→−∞ -1- DAEU-B – Maths (b) Limites – Corrections des Exercices UGA 2020-2021 lim 2020 − x = +∞, car x devient arbitrairement grand dans les négatif, et est multipliíe x→−∞ par un coefficient negatif. 1 1 (c) lim 2020 − = 2020, car devient arbitrairement petit. x→−∞ x x (d) lim 3x2 − 2x3 = +∞, car on ajoute deux quantités, 3x2 et −2x3 , qui deviennent arbitraix→−∞ rement grandes. 1 (e) lim 3x2 + = +∞, car on ajoute, 3x2 , une quantité qui deviennent arbitrairement grandes x→−∞ x 1 et , qui devient arbitrairement petit. x 1 = 0, car on divise 1 par 3x2 +1, une quantité arbitrairement grande (positive). (f) lim 2 x→−∞ 3x + 1 √ (g) lim 3x2 + 1 = +∞, car on met dans la racine carrée 3x2 + 1, une quantité arbitrairement x→−∞ grande, donc cette racine devient elle aussi arbitrairement grande. 5 5 3 3 (h) lim 2 − − 2 = −2, car les deux quantités 2 et deviennent arbitrairement petites, x→−∞ x x x x donc tendent vers 0, et seul reste −2. √ 2 = 0, car la quantité 5 − 3x devient arbitrairement grande, donc 5 − 3x (i) lim √ x→−∞ 5 − 3x aussi, et donc son inverse devient arbitrairement petit. — c.

Limites en un point (quand x tend vers une valeur finie). √ 1 1 (c) lim 3x2 + 1 (a) lim (e) lim 2 − 2 x→1 x→2021 2020 − x x→0 x 2 1 (d) lim √ (b) lim 3x2 + (f) lim 3x2 + 2x3 x→2 3x − 5 x→1 x→2 x Correction : (a) lim 3x2 + 2x3 = 28, car 3.22 + 2.23 = 3.4 + 2.8 = 28. x→2 1 (b) lim 3x2 + = 4, car 3.12 + 1/1 = 4. x→1 x √ √ (c) lim 3x2 + 1 = 2, car 3x2 + 1 tend vers 3.12 + 1 = 4 et 4 = 2. x→1 2 2 = 2, car 3x − 5 tend vers 3.2 − 5 = 1 et √ = 2/1 = 1. x→2 3x − 5 1 1 = −1, car 2020 − X tend vers 2020 − 2021 = −1. (e) lim x→2021 2020 − x 1 (f) lim 2 − 2 = +∞, car on divise 1 par x2 , une quantité arbitrairement grande positive. x→0 x (d) lim √ — d.

Limites à gauche et à droite d’un point. 1 x→2 2x − 4 1 (b) lim− x→2 2x − 4 (a) lim+ 1 x→2 (2x − 4)4 1 (d) lim− x→2 (2x − 4)4 (c) lim+ 1 (e) lim+ 3x2 + √ x→0 x 1 (f) lim− 3x2 + √ x→1 1−x Correction : -2- DAEU-B – Maths Limites – Corrections des Exercices UGA 2020-2021 1 1 = +∞, car 2x−4 tend vers 0 en étant positif, donc devient arbitrairement 2x − 4 2x − 4 grand dans les positifs. 1 1 = −∞, car 2x − 4 tend vers 0 en étant négatif, donc devient arbitrairelim − 2x − 4 x→2 2x − 4 ment grand dans les négatifs. 1 1 lim = +∞, car (2x − 4)2 tend vers 0 en étant positif, donc devient 4 + (2x − 4)2 x→2 (2x − 4) arbitrairement grand dans les positifs. 1 1 = +∞, car (2x − 4)2 tend vers 0 en étant positif, donc devient lim 4 − (2x − 4) (2x − 4)2 x→2 arbitrairement grand dans les positifs. √ 1 lim 3x2 + √ = +∞, car 3x2 tend vers 0, tandis que x tend vers 0 en étant positif, donc + x x→0 1 √ devient arbitrairement grand dans les positifs. x √ 1 lim 3x2 + √ = +∞, car 3x2 tend vers 3, tandis que 1 − x tend vers 0 en étant positif, x→1− 1−x 1 donc √ devient arbitrairement grand dans les positifs. 1−x (a) lim x→2+ (b) (c) (d) (e) (f) — Exercice no 2 Déterminer les limites suivantes aux valeurs demandées. (1).

a.

x→α lim −2x3 , pour α = 2, +∞ et −∞. √ b.

lim 3 x, pour α = +∞ et 4. x→α Correction : a.

lim −2x3 , pour α = 2, +∞ et −∞. x→α Limite quand x tend vers 2 : lim x3 = 23 = 8, donc lim −2x3 = −2.8 = −16. x→2 x→2 Limite quand x tend vers +∞ : lim x3 = +∞, donc, puisque −2 < 0, on a lim −2x3 = −∞. x→+∞ x→2 Limite quand x tend vers −∞ : lim x3 = −∞, donc, puisque −2 < 0, on a lim −2x3 = +∞. x→−∞ x→2 √ b.

lim 3 x, pour α = +∞ et 4. x→α Limite quand x tend vers +∞ : √ √ lim x, donc lim 3 x = +∞. x→+∞ x→+∞ Limite quand √ x tend vers 4 : √ √ lim x = 4 = 2, donc lim 3 x = 3.2 = 6. x→4 x→4 — 1 (2).

a.

x→α lim x3 + , pour α = 2, +∞ et −∞. x -3- DAEU-B – Maths Limites – Corrections des Exercices UGA 2020-2021 b.

x→α lim x3 + x2 , pour α = 2, +∞ et −∞. c.

x→α lim 2x2 − 3x + √ x, pour α = 2 et +∞. Correction : 1 a.

lim x3 + , pour α = 2, +∞ et −∞. x→α x Limite quand x tend vers 2 1 lim x3 = 23 = 8 et lim = x→2 x→2 x : 1 1 , donc lim x3 + = 8 × (− 12 ) = −4. x→2 2 x Limite quand x tend vers +∞ : 1 1 lim x3 = +∞ et lim = 0, donc on a lim x3 + = +∞. x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x Limite quand x tend vers −∞ : 1 1 lim x3 = −∞ et lim = 0, donc on a lim x3 + = −∞. x→−∞ x→−∞ x x→−∞ x b.

lim x3 + x2 , pour α = 2, +∞ et −∞. x→α Limite quand x tend vers 2 : lim x3 = 23 = 8 et lim x2 = 4, donc lim x3 + x2 = 8 + 4 = 12. x→2 x→2 x→2 Limite quand x tend vers +∞ : lim x3 = +∞ et lim x2 = +∞, donc on a lim x3 + x2 = +∞. x→+∞ x→+∞ x→+∞.... »