Cours Terminale : Vecteurs, droites et plans de l’espace

« Terminale Spécialité Chapitre 6 : Vecteurs, droites et plans de l’espace 2023/2024 Vecteurs, droites et plans de l’espace I/ Vecteurs de l’espace La notion de vecteur vue en géométrie plane se généralise dans l’espace. 1) Egalité de vecteurs Définition −−→ Les points A et B étant distincts, les vecteur AB est caractérisé par sa direction, celle de la droite (AB), −−→ par son sens, de A vers B, et par sa norme, notée kABk, qui est la longueur AB. Remarque −−→ → − Si A et B sont confondus, alors AB est le vecteur nul, noté 0 . Propriétés A, B, C et D sont quatre points de l’espace. −−→ −−→ → AB = CD si, et seulement si ABDC est un parallélogramme. −−→ −−→ −−→ → D est l’image de C par la translation de vecteur AB si, et seulement si CD = AB. −−→ − − → Pour tout vecteur → u et tout point O, il existe un unique point M tel que OM = → u. 2) Sommes de deux vecteurs − − − − La somme des vecteurs → u et → v est un vecteur noté → u +→ v qui peut s’obtenir par : - La relation de Chasles : −−→ −−→ −→ AB + BC = AC 3) - La règle du parallélogramme : −−→ −→ −−→ AB + AC = AD si, et seulement si ABDC est un parallélogramme. Vecteurs colinéaires Définition Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont même direction. − − − − Autrement dit, les vecteurs → u et → v sont colinéaires si, et seulement s’il existe un réel k tel que → u = k→ v. Remarque Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Propriétés : alignement, parallélisme A, B, C et D sont quatre points de l’espace. −−→ −→ → Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si AB et AC sont colinéaires. −−→ −−→ → Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si AB et CD sont colinéaires. 1 Terminale Spécialité 4) Chapitre 6 : Vecteurs, droites et plans de l’espace 2023/2024 Combinaisons linéaires de vecteurs Définition − − − On considère trois vecteurs → u, → v et → w. → − − − − On dit que le vecteur u est une combinaison linéaire des vecteurs → v et → w si, et seulement → u peut s’écrire → − → − → − sous la forme u = a v + b w où a et b sont des réels. Définition − − − Trois vecteurs → u, → v et → w sont dits linéairement indépendants s’il n’est pas possible d’exprimer l’un comme combinaison linéaire des deux autres. Propriété → − − − − − − − Les vecteurs → u, → v et → w sont linéairement indépendants si, et seulement si l’égalité a→ u + b→ v + c→ w = 0 implique a = b = c = 0. II/ 1) Droites et plans de l’espace Règles de base Propriétés 1.

Par deux points distincts de l’espace, il passe une unique droite. 2.

Par trois points non alignés A, B et C, il passe un unique plan noté (ABC). 3.

Si deux points distincts A et B appartiennent à un plan P, alors la droite (AB) est incluse dans le plan P. 4.

Dans chaque plan de l’espace, toutes les règles de la géométrie plane s’appliquent. 2) Caractérisation vectorielle d’une droite Définition Un vecteur directeur d’une droite d est un vecteur non nul dont la direction est la même que celle de d. Propriété Soit A et B deux points distincts de l’espace. −−→ −−→ La droite (AB) est l’ensemble des points M de l’espace tels que les vecteurs AM et AB sont colinéaires. −−→ −−→ Autrement dit, la droite (AB) est l’ensemble des points M tels que AM = k AB où k est un réel quelconque. 3) Caractérisation vectorielle d’un plan Propriété Soit A, B et C trois points non alignés de l’espace. −−→ −−→ −→ Le plan (ABC) est l’ensemble des points M de l’espace tels que AM = aAB + bAC où a et b sont des réels. Définition −−→ −→ On dit que AB et AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC). −−→ −→ On dit que le couple (AB ; AC) est une base du plan (ABC) ; il définit sa direction. 4) Vecteurs coplanaires Définition − − − Trois vecteurs non nuls → u, → v et → w sont coplanaires si, et seulement si leurs représentants de même origine A ont des extrémités B, C et D telles que A, B, C et D appartiennent à un même plan. 2 Terminale Spécialité Chapitre 6 : Vecteurs, droites et plans de l’espace 2023/2024 −−→ − −→ −−→ − − C’est à dire : si → u = AB, → v = AC et → w = AD : −−→ −→ −−→ → − − − u, → v et → w sont coplanaires ⇔ AB, AC et AD sont coplanaires ⇔ A, B, C et D sont coplanaires. Remarques - Deux vecteurs sont toujours coplanaires. − − − − − − - Si deux vecteurs parmi → u, → v et → w sont colinéaires alors nécessairement → u, → v et → w sont coplanaires. Propriété − − − − − Soit trois vecteurs non nuls → u, → v et → w tels que → u et → v ne sont pas colinéaires. → − → − → − → − − − u , v et w sont coplanaires si, et seulement si w peut s’écrire comme combinaison linéaire de → u et → v ; → − → − → − c’est à dire s’il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v . Exemple : démontrer que 4 points sont coplanaires −→ 2 −→ −→ 2 −−→ Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB] ; E et F les points définis par AE = AC et AF = AD et 3 3 G le point tel que BCGD est un parallélogramme. −→ −→ −→ −−→ −→ −−→ 1.

Exprimer les vecteurs IE, IF et IG en fonction de AB, AC et AD. −→ −→ −→ 2..... »