Cours maths dérivation

« Chapitre III Dérivation I- Nombre dérivé en a d'une fonction Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. • Pour tout nombre réel a € I non nul et tel que (a + h) € I, on appelle taux d'accroissement de la fonction f en a, le nombre f ( a+ h)− f ( a) h ta(h) = • • On dit que la fonction f est dérivable en a, lorsque le taux d'accroissement ta(h) tend vers un nombre L lorsque h tend vers 0. Ce nombre L, lorsqu'il existe, est appelé le nombre dérivé de f en a, et est noté f'(a) : f'(a) = lim ta(h) = lim h→0 h→0 • f (a+ h)− f ( a) =L h Le nombre dérivé f'(a) lorsqu'il existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Formule à apprendre : f'(a) = lim h→0 f (a+ h)− f ( a) h Dérivée de f au point a Méthode / exemple : Déterminer une dérivée graphiquement Déterminer f''(1) coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 1. f'(1) = 4 Déterminer une dérivée par le calcul Pour déterminer par le calcul, le nombre dérivé en 1 de la fonction f(x) = 2x² – 1 1- On donne la définition algébrique : On pose : f (1+ h) – f (1) h f'(1) = lim h→0 [ 2(1+ h)²−1]– [2(1) ²−1] h = lim h→0 2- On développe pour supprimer le h au dénominateur f'(1) = lim h→0 2(1+ 2h+ h² )−1−1 h = lim h→0 2+ 4h+ 2h²−2 h = lim h→0 4h+ 2h² h = lim h→0 h(4+ 2h) h = lim 4 + 2h h→0 3- On remplace h par 0 f'(1) = 4 Donc f'(1) = 4 Exercice 1 : Dans chaque cas, montrer que f est dérivable au point a indiqué, et donner f'(a) : • f(x) = • f(x) = 1 ;a=1 x 1 ;a=2 1−x f(x) = x² – 2x ; a = 2 f(x) = x² – 2x ; a € R f(x) = x3 – 3x ; a = 2 [(2+ h)3−3(2)]−[23−3∗2] f'(2) = lim h h→0 f'(2) = lim h→0 f'(2) = lim h→0 2 (2+ h) ( 2+ h)−3(2+ h)−2 h (4+ 4h+ h² )(2+ h)−6−3h−2 h 2 2 3 f'(2) = lim h→0 8+ 4h+ 8h+ 4h + 2h + h −8−3h h f'(2) = lim h→0 h3+ 6h 3+ 9h h f'(2) = lim h→0 h( h²+ 6h+ 9) h f'(2) = lim h² + 6h + 9 h→0 f'(2) = 9 Donc f est dérivable en 2 et f'(2) = 9 II- Fonctions dérivées Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle I. • • On dit que f est dérivable sur I si f admet un nombre dérivé en tout point de I, c'est-à-dire si pour tout a € I, f'(a) existe. Notée f' qui, à tout x de I associe le nombre f'(x). Dérivées de fonction usuelles : Proposition I : Toute fonction affine définie par f(x) = mx + p est dérivable sur R. Sa fonction dérivée est définie sur R par f'(x) = m. Démonstration : f'(x) = lim h→0 f ( x+ h)− f ( x) h f'(x) = lim h→0 [m( x+ h)+ p]−( mx+ p) h f'(x) = lim h→0 mx+ mh+ p−mx− p h f'(x) = lim h→0 mh h f'(x) = m Proposition 2 : La fonction carré, définie par f(x) = x², est dérivable sur R. Sa fonction dérivée est définie sur R par f'(x) = 2x. Démonstration : f'(x) = lim h→0 f ( x+ h)− f ( x) h 2 (x+ h) −(x) f'(x) = lim h h→0 2 2 2 2 f'(x) = lim h→0 (x + 2xh+ h )−( x ) h f'(x) = lim h→0 2xh+ h 2 h f'(x) = lim h→0 h(2x+ h) h f'(x) = lim 2x + h h→0 f'(x) = 2x Proposition 3 : Pour tout entier naturel non nul n, la fonction f définie sur R par f(x) = xn est dérivable sur R. Sa fonction dérivée est définie sur R par f'(x) = nxn-1. Proposition 4 : 1 est dérivable sur R*. x −1 Sa fonction dérivée est définie sur R* par f'(x) = . 2 x La fonction f, définie sur R* par f(x) = Démonstration : 1 1 − ( x+ h) x f'(x) = lim h h→0 ( x+ h) x − x ( x+ h) x ( x+ h) f'(x) = lim h h→0 x−( x + h) x (x+ h) f'(x) = lim h h→0 x−( x + h) 1 ∗ x (x+ h) h f'(x) = lim h h→0 −h 1 ∗ f'(x) = lim 2 h h → 0 x + xh f'(x) = −1 x2 Proposition 5 : La fonction racine carrée, définie sur R+ = [0 ; +∞[ par f(x) = √x, est dérivable sur R*+ = ]0 ; +∞[. 1 Sa fonction dérivée est définie sur R*+ par f'(x) = . 2√ x Démonstration : f'(x) = lim h→0 f'(x) = lim h→0 √ (x+ h)−√ (x ) h ( √ ( x+ h)−√ x )( √ x+ h+ √ x ) h( √ x+ h+ √ x ) x+ h−x f'(x) = lim h → 0 h( √ ( x+ h)+ √ x) h f'(x) = lim h → 0 h( √ ( x+ h)+ √ x) f'(x) = lim h→0 f'(x) = f'(x) = 1 √ (x+ h)+ √ x 1 √ x+ √ x 1 2√ x Proposition 6 : Soit u une fonction dérivable sur I et k € R, alors la fonction f = ku est dérivable sur I, avec, f' = ku' Proposition 7 : Soit u et v deux fonctions dérivables sur I, alors la somme u + v est dérivable sur I avec (u + v)' = u' + v'. f'(x) = lim h→0 f ( x+ h)− f (x) h f'(x) = lim h→0 u( x+ h)+ v (x+ h)−u ( x )+ v( x) h f'(x) = lim h→0 u( x+ h)−u( x) v (x+ h)−v ( x) + h h f'(x) = lim h→0 u( x+ h)−u( x) + lim h h→0 v (x+ h)−v ( x) h f'(x) = u'(x) + v'(x) Proposition 8 : Soit u et v deux fonctions dérivables sur I, alors la fonction produit uv est dérivable sur I, avec (uv)' = u'v + uv'. (u * v)' = u'v + uv' f'(x) = lim h→0 f ( x+ h)− f ( x) h f'(x) = lim h→0 u( x+ h)v (x + h)−u( x) v ( x ) h f'(x) = lim h→0 u( x+ h)v (x + h)−u( x) v ( x )+ u ( x )v (x+ h)−u ( x ) v ( x+ h) h f'(x) = lim h→0 v ( x+ h)[u( x+ h)−u( x)]+ u (x)[v ( x+ h)−v ( x )] h f'(x) = lim h → 0 v( x+ h)∗ u( x+ h)−u (x) ( x)∗v (x+ h)−v( x) + lim h → 0 u h h f'(x) = v(x) * u'(x) + v'(x) * u(x) Proposition 9 : Soit une fonction u dérivable sur I telle que u(x) /= 0 pour tout x € I. 1 1 −u ' Alors la fonction est dérivable sur I avec ( )' = 2 u u u 1 ( )' = lim u h→0 1 1 − u ( x+ h) u(x ) h u (x ) u ( x+ h) − u (x ) u( x+ h) u( x)u ( x+ h) 1 ( )' = lim u h→0 h u( x)−u( x+ h) 1 ∗ u (x) u ( x+ h) h ( 1 )' = lim u h→0 ( u( x+ h)−u( x) 1 1 ∗ )' = lim −1∗ u h→0 u ( x )u (x+ h) h ( u( x+ h)−u( x) 1 1 ∗ )' = lim −1∗ u h u ( x) u (x+ h) h→0 ( 1 1 )' = −1∗u ' ( x)∗ 2 u u( x) ( −u ' ( x) 1 )' = u u (x )2 Proposition 10 : Soit u et v deux fonctions dérivables sur I, telles que pour tout x € I, v(x) /= 0. u u u ' v−uv ' Alors la fonction est dérivable sur I, avec ( )' = 2 v v v ( u 1 ) )' = (u (x )∗ v v(x) 1 v (x ) −v ' ( x ) f' = u'(x) g' = v ( x)2 (f * g)' = f' * g + f * g' f = u(x) u v u ( v u ( v u ( v ( g= −v ' ( x ) 1 + u(x) * () 2 v (x ) v ( x) u ' (x ) u ( x ).... »