cours limite de fonction

« Limites de fonctions Nous allons dans ce chapitre introduire le vocabulaire pour décrire le comportement d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition, aussi appelé comportement asymptotique.

Nous retrouverons ici la notion de limite déjà rencontré en première lors de la définition du nombre dérivé, et en terminale lors du chapitre sur les suites. Nous étudierons le comportement d’une fonction successivement au voisinage d’un réel a et de ±∞.

Nous examinerons ensuite les comportements asymptotiques des sommes, produits, inverse, quotients de fonctions dont on connaı̂t la limite.

Des théorèmes de comparaison et sur la limite d’une composée complèteront l’arsenal des outils pour étudier les limites de fonctions. 1 Limite infinie en un réel Dans ce paragraphe, le cadre d’étude est le suivant : a est un nombre réel et f est une fonction définie sur un intervalle ouvert (ou une réunion d’intervalles) de bornes a (du type ]a; .

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.[ ou ].

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; a[). 1.1 Étude d’un exemple : la fonction inverse au voisinage de 0 Soit f la fonction définie sur ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ par 1 f (x) = x On peut montrer que si x > 0, f (x) peut être aussi grand que l’on veut dès lors que x est assez proche de 0. Plus précisément, pour tout réel M (aussi grand qu’on le veut) on a, sachant que f est strictement décroissante sur ]0; +∞[ : f (x) > M dès que .

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. Notation.

On dit alors que f tend vers +∞ quand x tend vers 0 par valeur positive, ou bien que la limite de f en 0, à F IGURE 1 – droite de 0 est +∞.

On note : 1 1 lim = +∞ ou lim = +∞ + x→0 x x→0 x x>0 Sachant que f est une fonction impaire (autrement dit sa courbe représentative dans un repère orthonormal est ...............................................), on peut dire, concernant la limite de f en 0, à gauche de 0 est..............

On note : 1.2 Autres fonctions de référence lim x→0 x>0 1 lim √ = ... x 1 1 = .

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et lim 2 = .

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. x→0 x x2 xa xa 1 2 (x − a) = .

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et lim x→a x A Il reste à ≪ transposer ≫ la définition énoncée précédemment dans le cadre des suites au cas où la variable est un nombre réel et non plus un nombre entier. 2 F IGURE 2 – Chapitre 3 : Limites de fonctions Spécialité Mathématiques Définition 3.

. Soit ℓ un nombre réel. f tend vers ℓ quand x tend vers +∞ si pour tout intervalle ouvert I contenant ℓ, il existe un nombre réel A tel que : x > A ⇒ f (x) ∈ I Si x tend vers −∞ une définition analogue est possible. 2.1.2 Interprétation graphique Dans le cas où la définition précédente s’applique, lorsque x tend vers +∞, la courbe Cf a une allure ≪ horizontale ≫.... »