Connaissances de base Mathématiques Terminale S

« * Pour étudier la convergence d'une suite ( u n ) en + ∞ seulement , penser au calcul direct de la limite finie, penser au théorème : « ( u n ) est croissante et majorée ou décroissante et minorée », penser aux théorèmes de comparaison. Pour la limite d'une suite ( u n ) en + ∞ seulement , utiliser le calcul direct et si nécessaire, utiliser la limite d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle en + ∞ , factoriser, utiliser la quantité conjuguée, utiliser le taux de variation ou les comparaisons exponentielle-polynômes et logarithme-polynômes pour lever l'indétermination, utiliser le théorème de comparaison et le théorème « ( u n ) converge vers L, u n + 1 = f ( u n ), f est continue en L ⇒ f ( L ) = L ATTENTION aux ERREURS CLASSIQUES sur LES FONCTIONS : * Pour le sens de variation d'une fonction, étudier la dérivabilité de la fonction proposée, dériver proprement la fonction, étudier le signe de la fonction dérivée ( résoudre l'inéquation f ' ( x ) > 0 et par contraposée, on obtient les intervalles sur lesquels f ' ( x ) < 0 ) Pour les fonctions comportant des exponentielles, penser à les factoriser dans l'expression de la dérivée. * Pour l'étude des limites d'une fonction en + ∞ , – ∞ ou a réel fini, calcul direct et s'il y a indétermination : polynôme et fonction rationnelle au voisinage de l'infini, factorisation, quantité conjuguée, taux de variation, comparaisons exponentielle-polynômes et logarithme-polynômes. * Faire une synthèse de l'étude de la fonction à l'aide d'un tableau de variations * Pour répondre à une question du type « Déterminer le nombre de solution d'une équation f ( x ) = 0 » ou « Prouver que l'équation f ( x ) = k admet une unique solution  sur l'intervalle I », utiliser le théorème de la bijection : continuité de f sur I, stricte monotonie de f sur I, k ∈ f ( I ) ⇒ l'équation f ( x ) = k admet une unique solution sur l'intervalle I. Il est souvent demandé des informations sur g (  ).

Penser alors à la façon dont on a défini  : f (  ) = k * Les questions classiques sur la courbe d'une fonction : Tangente à C f au point d'abscisse a , asymptote à C f en un réel a , en + ∞ ou – ∞ et sur la position relative d'une courbe et d'une droite ou de deux courbes. * POLYNOME de DEGRE 2 : P ( x ) = a x 2 + b x + c avec a ≠ 0 : * Racine évidente x 1 à chercher parmi les valeurs – 2; – 1; 0; 1 et 2. La deuxième racine x 2 est telle que : x 1 × x 2 = c a ou x 1 + x 2 = − b a * Discriminant  = b 2 – 4 a c * Si < 0 alors : Pas de racine / Le signe de P (  x ) est celui de a / Pas de factorisation de P ( x ) dans ℝ . * Si  = 0 alors : Une racine double x 1 = − b 2 a / Le signe de P ( x ) est celui de a et P ( x ) s'annule en x 1 / Factorisation : P ( x ) = a ( x – x 1 ) 2 * Si  > 0 alors : Deux racines x 1 = − b− 2a et x 2 = − b 2a / Le signe de P ( x ) est le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de – a entre les racines / Factorisation : P ( x ) = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) Attention : Il faut reconnaître un polynôme de degré 2 même sous la forme : 3 u n 2 – u n + 5 ; 3 cos 2 x – cos x + 5 ; 3 ln 2 x – ln x + 5 … * Forme Canonique : P ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x + b 2 a ) 2 – Δ 4 a * POLYNOME de DEGRE SUPERIEUR ou EGAL à 3 : * On cherche une racine évidente  puis on factorise le polynôme par ( x –  ) * Deux polynômes de même degré sont égaux lorsque les coefficients des termes de même degré le sont * Penser au théorème de la bijection pour déterminer et localiser le nombre de solution d'une équation de degré supérieur ou égal à 3. »