Cônes et cylindres en géométrie

« grandeur : l'apothème a.

Il s'agit simplement de la longueur d'un segment reliant le sommet au cercle de base.

Le théorème de Pythagore permet d'exprimer a.

En effet, le triangle SOD est rectangle en O.

On a donc a = V(12 2 + H 2 ).

Grâce à l'utilisation de l'apothème on peut calculer l'aire et le volume du cône tout aussi facilement que pour le cylindre.

Si on appelle R le rayon du cercle de base et H la hauteur du cône, l'aire de la base est A.= nR 2 .

Par ailleurs, l'aire de la surface latérale est A, = nRa.

L'aire totale du cône est donc la somme de l'aire latérale et de l'aire de la base.

A=A,+A„ A = nRa + 2tR 2 A = nR(R+a) D'autre part, on peut calculer le volume V du cône en utilisant l'expression suivante : V = H(25R 2 )/3 Le volume d'un cylindre est donc égal à l'aire de sa base multipliée par 1"( et par la hauteur du cône, le tout étant divisé par trois.

La connaissance de ces deux grandeurs, aire et volume, permet de résoudre des problèmes plus complexes.

Imaginons une balle de tennis de rayon R.

Nous voulons savoir quel est le volume minimal du cône qui pourra accueillir cette balle.

L'hypothèse que nous faisons est que la balle de tenais est une sphère parfaite et nous voulons que la balle touche les côtés latéraux ainsi que le cercle de base.

Notre but est d'obtenir le volume de cône le plus petit possible en ayant fixé R.

L'expression de la hauteur du cône qui correspond à un volume intérieur minimum est H = 4R/3, le volume du cône étant alors deux fois plus grand que celui de la sphère.

GÉNÉRAUSATION On peut en fait définir un cône de manière plus large : tout d'abord, on peut prolonger « à l'infini » le cône que nous avons étudié précédemment, en ne définissant pas de base qui « limiterait » les côtés.

Cette opération peut être réalisée de part et d'autre du sommet : il suffit de prolonger la surface latérale du cône en réalisant une symétrie centrale de centre S.

Mais on peut aller plus loin dans la généralisation d'un cône : sa base peut ne pas être un cercle, ni même être régulière.

Ainsi, un cône possédant une base polygonale est une pyramide.

Pour différencier les différents types de pyramides réalisées selon leur polygone de base, on parle tour à tour de pyramide à base carrée, rectangulaire, hexagonale...

et le sommet de la pyramide se nomme alors l'apex.

Lorsqu'au contraire la forme de la base est un cercle, on parle de cône de révolution.

Le seul impératif pour définir un cône est donc que les droites, appelées « génératrices » se coupent en un même point La définition la plus large que l'on puisse donner d'un cône est donc la suivante : un cône est la réunion de toutes les droites (les génératrices) passant par un même point S (sommet du cône) et rencontrant une même courbe C (sa directrice).

Alors que la définition élargie du cylindre permettait de mettre en équation différents types de cylindres, un cône est facile à mettre en équation à condition qu'il soit de révolution, c'est-à-dire que sa base soit un cercle.

Dans un repère orthonormé (0 ; X; y ; z), l'équation du cône de révolution de rayon 1, centré en 0 est : x 2 + y 2 = nan(1/2) Pour obtenir un cône dont le centre du cercle de base a pour coordonnées (x o ; Vu) et un rayon R, l'équation cartésienne du cône devient : ( 2( 1.

4 2) .,.

(y2 = y eft 2 tan(1/2) Outre le cône lui-même, nous rencontrons également souvent des « troncs de cône » : cette forme géométrique est un cône au sens usuel du terme qui a été « étêté ».

Il s'agit de deux cercles de rayons différents R, et R2.

La droite qui relie les centres 0, et 0 2 des cercles est perpendiculaire aux rayons.

La distance séparant 0 1 de 0 2 est H.

En conséquence, si l'on prolongeait la surface L qui joint ces deux cerdes, on obtiendrait un cône de sommet 5 et de hauteur Hi-h.

C'est cette constatation qui va nous permettre de calculer le volume et l'aire du tronc du cône en imaginant deux cônes imbriqués l'un dans l'autre.

Le volume du tronc de cône est donc égal au volume du grand cône Cl moins celui du petit cône C2.

On a donc V = VI - V2 = 71(R 1 2 (H+h) - R2 211 )/3 = ER 1 2 E1 +zr12 1 2 h - nR241/3 = it(R 1 2 H+h(R 1 2 -R 2 2 ))/3 On peut par ailleurs calculer l'aire totale du tronc de cône en additionnant l'aire de la surface latérale et les aires des deux bases.

L'aire de la surface latérale s'obtient de la même façon que le volume du tronc de cône : on calcule les aires de la surface latérale du petit cône et du grand cône à l'aide de la formule générale de l'aire de la surface latérale d'un cône, puis on calcule leur différence.

On obtient alors : A, = A, - A2 = x(R I J(12 1 1 + (H+h)) - R 2 V(R 2 2 + h') Les aires des cerdes de base sont respectivement AB1 = n11 1 2 et A82 = nR2 2 L'aire totale du cône A, qui représenterait la quantité de papier nécessaire pour recouvrir le tronc de cône est donc : A = AL+AB1+42 = 2 telV(R1 4 ( 1.1 +W) - R2 2 1/(12 2 h 2 ) + R 2 2 ) Cette expression lourde n'est presque jamais employée en pratique, puisque l'on additionne les aires des cercles de base, que l'on a calculées au préalable avec l'aire de la surface latérale, calculée à l'aide de la formule que nous avons donnée.

La définition élargie d'un cône possède également de nombreuses applications dans des domaines scientifiques très différents tel que l'astronomie ou la physique quantique.

I:ANGLE SOUDE En astronomie, on peut prédire les édipses en observant le mouvement des planètes par rapport au soleil.

Prenons l'exemple d'une éclipse de Laie.

Ce phénomène spectaculaire se produit lorsque le Soleil, la Terre et la Lune sont alignés dans cet ordre.

La Terre projette alors son ombre sur la Lune, en formant une tâche sombre.

La Lune est ainsi occultée plus ou moins complètement On peut représenter la forme de l'ombre de la terre dans l'espace par un cône dont les génératrices seraient tangentes à la terre.

Plus généralement en astronomie, on utilise beaucoup le cône.

On peut par exemple représenter des angles dans l'espace, on parle alors d'angle solide.

Le but de l'angle solide est de déterminer facilement quelle partie de l'espace peut percevoir un phénomène, comme une éclipse de Soleil.

Ainsi, lorsqu'on est dans le cône Terre Lune L'éclipse de lune Soleil d'ombre de la Terre, plus on s'éloigne de cette dernière, plus il va falloir être proche de l'axe Soleil-Lune pour que la Terre cache le Soleil.

L'angle au sommet .1 du cône qui a pour sommet la Lune et qui est tangent à la Terre est alors appelé angle solide.

On le calcule la plupart du temps en radians.

Si la Terre se situe exactement dans ce cône et est alignée avec le Soleil, alors la Lune ne voit plus le Soleil.

Une formule mathématique simple permet de relier les radians aux degrés, puisque Ir radians représentent 90 0 , c'est-à-dire un angle droit Dans l'espace, un phénomène visible depuis tout l'espace sera représenté par un angle solide de 4n radians (360 0 ).

Si seule la moitié de l'espace peut percevoir ce phénomène, l'angle solide correspondant sera de 225 radians.

Li CÔNE DE LUMIÈRE En physique quantique, on distingue les éléments qui peuvent communiquer, c'est-à-dire avoir une influence l'un sur l'autre à un même instant, de ceux qui ne peuvent pas communiquer.

Ce phénomène est lié au fait qu'il faut un certain temps pour que les informations émises par un élément parviennent à un autre.

Ainsi, si une étoile très lointaine meurt, nous ne le saurons que dans des milliers d'années car c'est le temps qu'il faudra pour que la lumière qu'elle a émise avant de mourir ne nous parvienne.

Ainsi, lorsqu'on reçoit de la lumière émise par une étoile, on peut savoir quel était son état au moment où elle l'a émise, mais nous ne pouvons rien dire sur l'état actuel de l'étoile, ni même si elle existe encore.

Cette différence d'interaction entre des événements peut se représenter dans l'espace-temps par un cône de révolution, droit, mais prolongé à l'infini.

Le sommet du cône est l'instant présent tous les éléments situés à l'intérieur du cône mais en dessous du sommet représentent le passé et ceux situés à l'intérieur du cône et au-dessus du sommet représentent l'avenir.

C'est ce que l'on appelle le genre temps.

Les génératrices du cône représentent le genre lumière, alors que l'extérieur du cône représente le genre espace, qui ne peut pas communiquer avec l'instant présent DÉFINMON Imaginons maintenant que nous débitons un tronc d'arbre en rondins.

Si la machine est bien réglée, les rondins seront des cylindres droits de révolution parfaits.

Mais si la machine est imprécise, la section du rondin de bois ne sera plus un cercle mais une ellipse.

On peut déterminer toutes les caractéristiques de cette ellipse en fonction du tronc d'arbre initial (son rayon) et de l'angle que fait la lame avec l'arbre quand elle le débite.

Un problème un peu plus complexe est celui de l'intersection d'un cône et d'un plan.

Cette question se posa tôt dans l'histoire de l'homme puisque dès l'Antiquité, Apollonius de Perga a étudié en détail la théorie des coniques.

Une conique est l'intersection d'un cône de révolution (infini) et d'un plan.

Selon l'angle qu'ils forment, on obtient différentes figures : des ellipses, des paraboles et des hyperboles, qui ont pour caractéristique que tous les points d'une conique se situent à égale distance d'un point, appelé foyer et d'une droite, appelée directrice.

EWPSES, PAIUULOLES, HYPERBOLES Considérons en premier lieu le cas le plus simple : le plan ne coupe le cône qu'une seule fois.

La figure obtenue est une ellipse.

La particularité d'une ellipse est que tous les points sont tels que la somme de leur distance à deux points fixes appelés foyers est constante.

Il est donc assez facile de tracer une ellipse sur le sol : il suffit de planter deux piquets - les foyers - et d'y attacher une corde.

On trace alors une ellipse en tendant la corde avec un troisième piquet que l'on déplace autour des foyers, en prenant garde que la corde soit toujours tendue.

La figure obtenue est un cercle aplati qui, au lieu d'être caractérisé par un unique rayon fait appel à un grand axe et un petit axe.

L'aire de l'ellipse varie en fonction de la position et l'inclinaison du plan qui coupe le cône.

L'aire de l'ellipse s'obtient grâce à la relation : A = nab.

Pour s'en souvenir, on peut faire une analogie avec le cercle, dont l'aire est 2t12 2 .

Nous avons vu que l'ellipse est caractérisée par son grand axe a et son petit axe b, brisant la symétrie du cercle, caractérisé par son rayon R.

Mais un cercle est un cas particulier de l'ellipse, car si le grand axe et le petit axe ont la même longueur, alors l'ellipse devient un cercle.

L'aire de l'ellipse s'obtient donc en remplaçant le rayon R multiplié par lui-même par le produit du grand axe et du petit axe.

Lorsque le plan qui coupe le cône est parallèle à un plan tangent au cône, on obtient une parabole.

Enfin, si on coupe un cône infini par un plan, on peut obtenir une autre figure que l'ellipse et la parabole.

Ainsi, si le cône est infini dans la direction verticale et que le plan considéré est indiné ou parallèle à l'axe et coupe les deux nappes du cône, alors on obtient une hyperbole.

CONCLUSION Les cônes et les cylindres présentent de nombreuses ressemblances de par leur nature mathématique.

Néanmoins, leurs différences et propriétés ont été étudiées en détail dès l'Antiquité par Apollonius de Perga qui a élaboré la théorie des coniques.. »