Cônes et cylindres : cours de mathématique

« grandeur: l'apothème a.

Il s'agit simplement de la longueur d 'un segment reliant le sommet au cercle de base.

Le théorème de Pythagore permet d'exprimer a.

En effet, le triangle SOD est rectangle en O.

On a donc a = v(R1 + H1).

Grâce à l'utilisation de l'apothème on peut calculer l'aire et le volume du cône tout aussi facilement que pour le cylindre.

Si on appelle R le rayon du cercle de base et H la hauteur du cône, l'aire de la base est A,= rrR1 • Par ailleurs, l'aire de la surface latérale est Ac= rrRa.

L'aire totale du cône est donc la somme de l'aire latér ale et de l'aire de la base .

A=Ac+A , A= rrRa+rr R 1 A= rrR(R+a) D'autre part , on peut calculer le volume V du cône en utilisant l'expression suivante : V= H(rrR1)/ 3 Le volume d'un cylindre est donc égal à l'aire de sa base multipliée par rr et par la hauteur du cône, le tout étant divisé par trois.

La connaissance de ces deux grandeurs, aire et volume, permet de résoudre des problèmes plus complexes.

Imaginons une balle de tennis de rayon R.

Nous voulons savoir quel est le volume minimal du cône qui pourra accueillir cette balle .

L'hypothèse que nous faisons est que la balle de tenn is est une sphère parfaite et nous voulons que la balle touche les côtés latéraux ainsi que le cercle de base.

Notre but est d'obtenir le volume de cône le plus petit possible en ayant fixé R.

L'expression d e la hauteur du cône qui correspond à un volume intérieur minimum est H = 4R/3, le volume du cône étant alors deux fois plus gran d que celui de la sphère .

G ÉN É RALISATION On peut en fait définir un cône de manière plus large :tout d'abord , on peut prolonger « à l'infini >> le cône que nous avons étudié préc édemment, en ne définissant pas de base qui « limiterait » les côtés.

Cette opération peut être réalisée de part et d'autre du sommet : il suffit de prolon ger la surface latérale du cône en réali sant une symétrie centrale de centre S.

Soleil Mais on peut aller plus loin dans la générali sation d 'un cône : sa base peut ne pas être un cercle, ni même être régulière .

Ainsi, un cône possédant une base polygonale est une pyramide .

Pour différencier les différents types de pyramides réalisées selon leur polygone de base, on parle tour à tour de pyramide à base carrée, rectangulaire , hexagonale ...

et le sommet de la pyramide se nomme alors l'apex.

Lorsqu'au contraire la forme de la base est un cercle, on parle de cône de révolution.

Le seul impératif pour d éfinir un cône est donc que les droites, appelée s « génératrices » se coupent en un même point.

La définition la plus large que l'on puisse donner d 'un cône est donc la suiva nte : un cône est la réunion de toutes les droite s (les génératrices) passant par un m ême pointS (sommet du cône ) et rencontrant une même courbe C (sa directrice ).

Alors que la définition élargie du cylindre permettait de mettre en équa tion différents types de cylindres , un cône est facile à mettre en équation à condition qu'il soit de révolution , c'est-à-dire que sa base soit un cercle.

Dan s un repère orthonormé (0 ; x; y; z), l'équation du cône de révolution de rayon 1, centré en 0 est: x' + y' = z'tan(J /2) Pour obtenir un cône dont le centre du cercle de base a pour coordonnées (Xo; y0 ) et un rayon R , l'équation cartésienne du cône devient : (x' -Xo1 ) + (y' -Y0 1 ) = z'R ' tan(J /2) Outre le cône lui-même , nou s rencontron s également souvent des « tronc s de cône » : cette forme géométrique est un cône au sens usuel du terme qui a été« étêté».

Il s'ag it de deux cercles de rayons différent s R, et R2 .

La droite qui relie les centres 01 e t 02 des cercles est perpendiculair e aux rayons.

La distance séparant 01 d e 02 est H .

En conséquence, si l'on prolongeait la surface L qui joint ces deux cercles, on obtiendrait un cône de sommetS et de hauteur H+h.

C'est cette constatation qui va nous permettre de calculer le volume et l'aire du tronc du cône en imaginant deux cônes imbriqué s l'un dans l'autre .

Le volume du tronc de cône est don c égal au volume du grand cône Cl moin s celui du petit cône C2.

On a donc V= VI -V2 = rr(R ,'(H+h )-R,'h)/ 3 = rrR11H + rrR ,'h - rrR21h /3 = rr(R ,'H+h (R,'- R,'))/3 On peut par ailleurs calculer l'aire totale du tronc de cône en additionnant L 'éclipse de lune Te rre l'aire de la surface latérale et les aires des deux bases.

L'aire de la surface latérale s'obtie nt de la même façon que le volume du tron c de cône : on calcule les aires de la surface latérale du petit cône et du grand cône à l'aide d e la formule générale de l'aire de la surface latérale d 'un cône , puis on calcule leur différence .

On obtient alors : A , =A1-A2 = rr(R1v( R,' + (H+h ))-R2v(R,' + h1 ) Les aires des cercles de base sont respeL ...

ement A s1 = rrR,' et A s2 = rrR,' L'aire totale du cône A , qui repré senter ait la quantit é de papi er néces saire pour recouvrir le tronc de cône est donc : A= AL +As1+As2 = rr((R,v( R,' +(H+h) ')­ R21v (R,' + h1 ) + R ,' + R,' ) Cette expression lourde n'est presque jamai s employée en pratique , puisque l'on additionne les aires des cercles de base, que l'on a calculées au préalable avec l'aire de la surface latérale , calculée à l'aide de la formule que nous avons donnée .

La définition élargie d 'un cône possède également de nombreuse s applications dans des domaines scientifique s très différents tel que l'astronomie ou la physique quantique.

L'ANG LE SOLIDE En astronomie , on peut prédire les éclipses en observant le mou vement des plan ètes par rapport au soleil.

Prenons l 'exemple d 'une éclipse de Lune .

Ce phénomène spectacu laire se produit lorsque le Soleil , la Terr e et la Lune sont a li g n és dans cet ordre .

La Terr e projette alors son ombre sur la Lune , en formant une tâche sombre .

La Lune est ainsi occultée plus ou moins comp lètement.

On peut représenter la forme d e l'ombr e de la terre dans l 'espace par un cône dont les génératrices seraient tangentes à la terre.

Plus généra lement, en astronomie, on utilise beaucoup le cône.

On peut par exem ple r eprésen ter des angles dans l'espace, on parle alors d 'angle solide.

Le but d e l'angle solide est de déterminer facilem ent quelle partie de l'espace peut percevoir un phénomène , comme une éclipse de Soleil.

Ainsi , lorsqu 'on est dans le cône ........

L u ne d'ombre de la Terre , plus on s'éloigne de cette dernière , plus il va falloir être proche de l'axe Soleil-Lune pour que la Terre cache le Soleil.

L'angle au sommet J du cône qui a pour sommet la Lune et qui est tangent à la Terre est alors appelé angle solide .

On le calcule la plupart du temp s en radian s.

Si la Terre se situe exactement dans ce cône e t est alignée avec le Soleil, alors la Lune ne voit plus le Soleil.

Une formul e mathématique simple permet de relier les radians aux degrés, puisque rr radian s repré sentent 90°, c'est-à-dire un angle droit.

Dans l'espace, un phénom è n e visible depui s tout l'espace sera représenté par un angle solide de 4rr radia ns {360°).

Si seule la moitié de l'espace peut percevoir ce phénomène , l'angle solide correspondant sera d e 2rr radians .

LE C ÔNE DE LUMI ÈR E En physique quantique, on distingue les éléments qui peuv ent communiquer , c ' est-à-dire avoir une influence l'un sur l'autre à un m ême instant, de ceux qui ne peuvent pas communiquer.

Ce phénomène est lié au fait qu'il faut un certain temps pour que les informations émises par un élément parviennent à un autre .

Ainsi, s i une étoile très lointain e meurt , nous ne le saurons que dans des millier s d'année s car c'est le temps qu'il faudra pour que la lumière qu'elle a émise avant de mourir ne nous parvienne .

Ainsi , lorsqu 'on reçoit de la lumière émise par une étoile, on peut savoir quel était son état au momen t où elle l'a émise, mais nous ne pouvon s rien dire sur l'état actuel de l'étoile , ni mêm e si elle existe encore.

Cette différence d 'interaction entre des événements peut se repré senter dans l'espace-temps par un cône de révolution , droit , mais prolong é à l'infini.

Le sommet du cône est l'instant présent , tous les éléments situés à l'intéri eur du cône mais en dessou s du somm et repr ésen tent le passé et ceux situés à l'intérieur du cône et au-dessus du sommet représentent l'avenir.

C'est ce que l'on appelle le genre temps .

Les génératric es du cône représentent le genre lumière , alors que l'extérieur du cône r eprésente le genre espace, qui ne peut pas communiquer avec l'instan t présent.

DÉFINITIO N paraboles et des hyperboles , qui ont pour caractéristique que tous les points d'une conique se situent à égale distance d'un point , appelé foyer et d'une droite , appelée directrice .

ELLIPSES, PARABOLES, HYPERBOL ES Con sidé rons en premier lieu le cas le plus simp le : le plan ne coupe le cône qu'une seule fois.

La figure obtenue est une ellipse .

La particul arité d 'une ellipse est que tous les point s sont tels que la somme de leur distance à deux points fixes appelés foyer s est constante.

Il est donc assez facile de tracer une ellipse sur le sol : il suffit de planter deux piquets -les foyers -et d'y attac her une corde .

On trace alors une ellipse en tendant la corde avec un troisième piquet , que l'on déplace autour des foyer s, en prenant garde que la corde soit toujours tendue.

La ligure obtenue est un cercle aplati qui, a u lieu d'être caractérisé pa r un unique rayon fait appel à un grand axe et un petit axe.

L'aire de l'ellipse varie en fonction de la position et l'inclinaison du plan qui coupe le cône.

L'aire de l'ellipse s'obtient grâce à la r e lation :A= rrab.

Pour s'en souvenir , on peut faire une analogie avec le cercle , dont l'aire est rrR1 .

Nou s avons vu que l'ellipse est caractérisée par son grand axe a et son petit axe b, brisant la sym étrie du cercle , caractérisé par son rayon R.

Mais un cercle est un cas particu lier de l'ellipse , car si le grand axe et le petit axe ont la même longueur, alors l'ellipse devient un cercle.

L'aire de l'ellipse s'obtient donc en remplaçant le rayon R multiplié par lui-m ême par le produit du grand axe et du petit axe.

Lorsque le plan qui coupe le c ône est parallèl e à un plan tangent au cône, on obtient une parabole .

Enfin , s i on coupe un cône infini par un plan, on peut obtenir une autre figure que l'ellipse et la parabole .

Ainsi , si le cône est infini dans la direction vertica le et que le plan considéré est incliné ou parallèle à l'axe et coupe les d eu x nappes du cône , alors on obtient une hyperbole .

CONCLUSION Les cônes et les cylindr es présentent de nombreuses ressemblan ces d e par leur natur e mathématique.

Néanmoin s, leur s différences et propriétés ont été étudiées en détail dès l'Antiquit é par Apollonius de Perga qui a élabor é la théorie des coniques.. »