Chaine de Markov mathématiques expertes terminales

« Maths expertes graphes probabilistes -chaines de Markov I.) Graphes étiquetés Définition : un graphe est étiqueté si ses arêtes ( ou ses arcs ) sont affectés d’étiquettes ( mots ; lettres ; nombres …)  Dans le cas où ces étiquettes sont des nombres positifs, le graphe est dit pondéré.

Les étiquettes sont alors appelées les poids entre les sommets.  Le poids d’une chaîne ( resp.

d’un chemin) est la somme des poids des arêtes ( resp.

des arcs) constituant la chaîne ( resp.

le chemin ). Remarque : Il existe un algorithme permettant de déterminer dans les graphes connexes orientés ou pas, le plus court chemin ( resp.

chaîne ) pour aller d’un sommet à un autre.

C’est l’algorithme de Dijkstra. II.

Graphes Probabilistes Activité : Exemple 1 Dans un zoo l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0,3.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0, 8. Lors du premier passage, les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis. Soit Xn la variable aléatoire modélisant la situation après n passages Donner la loi de X1 ( les valeurs prises par X1 seront notées dans l’ordre alphabétique ) xi pi P 0,5 T 0,5 Déterminer à l’aide d’un arbre de probabilité la loi de X2 puis celle de X3. Le graphe 1 est un graphe non orienté pondéré Le graphe 2 est une graphe orienté pondéré Le graphe 3 est un graphe non orienté dont les étiquettes sont des lettres. Dans le graphe 1 le poids de la chaîne A – B – C –E - D est : 19 Dans le graphe 2 le poids du chemin A – B – F –C est : 17 Provence 2021-2022 Mme Janey Maths expertes graphes probabilistes - chaines de markov..docx Page 1/4 X2 prenne le plongeoir au deuxième passage P1 et T1 forme une partition de l’univers d’après la loi des probabilités totales on a : p ( P2 ) = p ( P1  P2 ) + p ( T1  P2) = 0,5  0,8 + 0,5  0,7 = 0, 4 + 0, 35 = 0,75 de même pour T2 Pour calculer la probabilité que le manchot xi P pi 0.75 le deuxième arbre peut se condenser en T 0.25 pn+1 = 0,8 pn + 0,7 tn et tn+1 = 0,2 pn + 0,3 tn Pour X3 p ( P3 ) = p ( P3  P2 ) + p ( T3  P2) = La matrice ligne n = ( pn ; tn ) représente l’état probabiliste après le nième passage.

Écrire une égalité matricielle permettant d’exprimer l’état probabiliste 0,75  0,8 + 0,25  0,7 = 0,7 75 xi pi P T 0.775 0.225 ( pn+1 tn+1 ) = ( pn t n ) Si on note pn ( resp tn) la probabilité de l’événement « le manchot utilise le plongeoir ( resp le toboggan ) lors de son nième passage  0,8 0,2 ) 0,7 0,3 ( n+1 en fonction de n c’est-à-dire déterminer une matrice M telle que :  n+1 = n  M Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire Xn xi pi P pn T tn 0n a ainsi une suite ( Xn) de variables aléatoires En utilisant un arbre exprimer pn+1 et tn+1 en fonction de.... »