Carte mémoire: TRIGONOMETRIE NOMBRES COMPLEXES CALCUL DE LIMITES ET CONTINUITE CALCUL DE LIMITES

TRIGONOMETRIE  Valeurs remarquables : 𝑥 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 𝜋 cos 𝑥 1 √3 2 √2 2 1 2 0 −1 sin 𝑥 0 1 2 √2 2 √3 2 1 0 tan 𝑥 0 √3 3 1 √3 0  Les élémentaires: ∀ 𝑥 ∈ ℝ −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1 −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1 ∀ 𝑥 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋; 𝑘 ∈ ℤ tan 𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥 1 + tan2 𝑥 = 1 cos2 𝑥 2  Angles associés à 𝑥 : Tour cos(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥 sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥 tan(𝑥 + 2𝜋) = tan 𝑥 Angle opposé Demi-tour Quart de tour direct cos(−𝑥) = cos 𝑥 sin(−𝑥) = − sin 𝑥 tan(−𝑥) = − tan 𝑥 cos(𝑥 + 𝜋) = − cos 𝑥 sin(𝑥 + 𝜋) = − sin 𝑥 tan(𝑥 + 𝜋) = − tan 𝑥 cos (𝑥 + 𝜋 2 ) = − sin 𝑥 sin (𝑥 + 𝜋 2 ) = cos 𝑥 tan (𝑥 + 𝜋 2 ) = − 1 tan 𝑥 Quart de tour indirect Angle supplémentaire Angle complémentaire cos (𝑥 − 𝜋 2 ) = sin 𝑥 sin (𝑥 − 𝜋 2 ) = − cos 𝑥 tan (𝑥 − 𝜋 2 ) = − 1 tan 𝑥 cos(𝜋 − 𝑥) = − cos 𝑥 sin(𝜋 − 𝑥) = sin 𝑥 tan(𝜋 − 𝑥) = − tan 𝑥 cos ( 𝜋 2 − 𝑥) = sin 𝑥 sin ( 𝜋 2 − 𝑥) = cos 𝑥 tan ( 𝜋 2 − 𝑥) = 1 tan 𝑥 3  Formules d’addition :  Formules de duplication : cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 − sin 𝑎 sin 𝑏 cos(𝑎 − 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑎 sin 𝑏 tan(𝑎 + 𝑏) = tan 𝑎 + tan 𝑏 1 − tan 𝑎 tan 𝑏 tan(𝑎 − 𝑏) = tan 𝑎 − tan 𝑏 1 + tan 𝑎 tan 𝑏 sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 + cos 𝑎 sin 𝑏 sin(𝑎 − 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 − cos 𝑎 sin 𝑏 cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1 = 1 − 2 sin2 𝑥 cos2 𝑥 = 1 + cos 2𝑥 2 sin2 𝑥 = 1 − cos 2𝑥 sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 2 tan 2𝑥 = 2 tan 𝑥 1 − tan2 𝑥 4  Transformation de Produits en Sommes : cos 𝑎 cos 𝑏 = 1 2 [cos(𝑎 − 𝑏) + cos(𝑎 + 𝑏)] sin 𝑎 cos 𝑏 = 1 2 [sin(𝑎 − 𝑏) + sin(𝑎 + 𝑏)] sin 𝑎 sin 𝑏 = 1 2 [cos(𝑎 − 𝑏) − cos(𝑎 + 𝑏)] cos 𝑎 sin 𝑏 = − 1 2 [sin(𝑎 − 𝑏) − sin(𝑎 + 𝑏)]  Transformation de Sommes en Produits : cos 𝑝 + cos 𝑞 = 2 cos ( 𝑝 + 𝑞 2 ) cos ( 𝑝 − 𝑞 2 ) sin 𝑝 + sin 𝑞 = 2 sin ( 𝑝 + 𝑞 2 ) cos ( 𝑝 − 𝑞 2 ) cos 𝑝 − cos 𝑞 = −2 sin ( 𝑝 + 𝑞 2 ) sin ( 𝑝 − 𝑞 2 ) sin 𝑝 − sin 𝑞 = 2 sin ( 𝑝−𝑞 2 ) cos ( 𝑝+𝑞 2 ) 5  Equations trigonométriques : ∀ 𝑢 ∈ ℝ , ∀ 𝑣 ∈ ℝ cos 𝑢 = cos 𝑣 ⟺ { 𝑢 = 𝑣 + 2𝑘𝜋 𝑢 = − 𝑣 + 2𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) sin 𝑢 = sin 𝑣 ⟺ { 𝑢 = 𝑣 + 2𝑘𝜋 𝑢 = 𝜋 − 𝑣 + 2𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ) ∀ 𝑢 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋, ∀ 𝑣 ≠ 𝜋 2 + 𝑘𝜋 tan 𝑢 = tan 𝑣 ⟺ 𝑢 = 𝑣 + 𝑘𝜋 (𝑘 ∈ ℤ)  Equations particulières : cos 𝑡 = 0 ⇔ 𝑡 = 𝜋 2 + 𝑘𝜋 sin t = 0 ⇔ 𝑡 = 𝑘𝜋 cos 𝑡 = −1 ⇔ 𝑡 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 sin t = −1 ⇔ 𝑡 = − 𝜋 2 + 2𝑘𝜋 cos 𝑡 = 1 ⇔ 𝑡 = 2𝑘𝜋 sin t = 1 ⇔ 𝑡 = 𝜋 2 + 2𝑘𝜋 6  Factorisation de 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 : Mettre √𝒂² + 𝒃² en facteur 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎² + 𝑏² ( 𝑎 √𝑎² + 𝑏² cos 𝜔𝑥 + 𝑏 √𝑎² + 𝑏² sin 𝜔𝑥) Factorisation en cosinus Chercher 𝛼 ∈ ]−𝜋 ; 𝜋] { cos 𝛼 = 𝑎 √𝑎²+𝑏² sin 𝛼 = 𝑏 √𝑎²+𝑏² ⁄ On a alors : 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎 2 + 𝑏 2(cos 𝛼 cos 𝜔𝑥 + sin 𝛼 sin 𝜔𝑥) 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎² + 𝑏² cos(𝜔𝑥 − 𝛼) Factorisation en sinus Chercher 𝛽 ∈ ]−𝜋 ; 𝜋] { sin 𝛽 = 𝑎 √𝑎²+𝑏² cos 𝛽 = 𝑏 √𝑎²+𝑏² ⁄ On a alors : 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎 2 + 𝑏 2(sin 𝛽 cos 𝜔𝑥 + cos 𝛽 sin 𝜔𝑥) 𝑎 cos 𝜔𝑥 + 𝑏 sin 𝜔𝑥 = √𝑎² + 𝑏² sin(𝜔𝑥 + 𝛽) 7  Quelques résultats utiles : ∀ 𝑘 ∈ ℤ, { cos(𝑘𝜋) = (−1) 𝑘 sin(𝑘𝜋) = 0 { sin ( 𝜋 2 + 𝑘𝜋) = (−1) 𝑘 cos ( 𝜋 2 + 𝑘𝜋) = 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ∀ 𝑘 ∈ ℤ, { cos(𝑥 + 𝑘𝜋) = (−1) 𝑘 cos 𝑥 sin(𝑥 + 𝑘𝜋) = (−1) 𝑘 sin 𝑥 { cos(𝑘𝜋 − 𝑥) = (−1) 𝑘 cos 𝑥 sin(𝑘𝜋 − 𝑥) = −(−1) 𝑘 sin 𝑥 8 NOMBRES COMPLEXES  Les différentes formes d’un nombre complexe :  Egalité de deux nombres complexes : Avec les formes algébriques 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 et 𝒛 ′ = 𝒂 ′ + 𝒊𝒃 ′ Avec les formes exponentielles 𝒛 = 𝒓𝒆 𝒊𝜽 et 𝒛 ′ = 𝒓′𝒆 𝒊𝜽 ′ 𝑧 = 𝑧 ′ ⟺ { 𝑎 = 𝑎′ 𝑏 = 𝑏′ En particulier :𝑧 = 0 ⟺ { 𝑎 = 0 𝑏 = 0 𝑧 = 𝑧 ′ ⟺ { 𝑟 = 𝑟 ′ 𝜃 = 𝜃 ′ + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ Soient (𝑎 , 𝑏 , 𝜃) ∈ ℝ3 et 𝑟 ∈ ℝ+ ∗ Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 𝑎 = ℜ𝑒(𝑧) et 𝑏 = ℑ𝑚(𝑧) 𝑟 = |𝑧| = √𝑎 2 + 𝑏 2 et 𝜃 = 𝑎𝑟𝑔(𝑧) ⟺ { cos 𝜃 = 𝑎 𝑟 sin 𝜃 = 𝑏 𝑟 10  Conjugué d’un nombre complexe :  𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 ⟺ 𝑧̅= 𝑎 − 𝑖𝑏  𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 ⟺ 𝑧̅= 𝑟𝑒 − 𝑖𝜃 Propriétés Soit 𝒛 ∈ ℂ Soient Soit 𝒛 et𝒛′ ∈ ℂ  𝑧 + 𝑧̅= 2ℜ𝑒(𝑧)  𝑧 − 𝑧̅= 2ℑ𝑚(𝑧)  𝑧𝑧̅= |𝑧| 2  1 𝑧 ̅ = 1 𝑧̅ si 𝑧 ≠ 0  𝑧̅̅𝑛̅ = 𝑧̅ 𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℤ  𝑧 + 𝑧 ̅̅̅̅̅̅̅̅′ = 𝑧̅+ 𝑧̅′  𝑧𝑧̅̅̅̅′ = 𝑧̅𝑧̅′  𝑧 𝑧 ′ ̅ = 𝑧̅ 𝑧 ̅̅̅′ si 𝑧′ ≠ 0  Module d’un nombre complexe : Propriétés  |𝑧| = 0 ⟺ 𝑧 = 0  |𝑧 + 𝑧 ′ | ≤ |𝑧| + |𝑧′|  |−𝑧| = |𝑧| et |𝑧̅| = |𝑧|  |𝑧𝑧′| = |𝑧||𝑧′|  | 𝑧 𝑧 ′ | = |𝑧| |𝑧′| 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑧′ ≠ 0  |𝑧 𝑛| = |𝑧| 𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℤ 11  Arguments : Si 𝒛 et𝒛 ′ sont deux nombres complexes non nuls, alors :  𝑎𝑟𝑔(𝑧𝑧′) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧) + 𝑎𝑟𝑔(𝑧′)  𝑎𝑟𝑔 ( 1 𝑧 ) = −𝑎𝑟𝑔(𝑧)  𝑎𝑟𝑔 ( 𝑧 𝑧 ′ ) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧) − 𝑎𝑟𝑔(𝑧′)  𝑎𝑟𝑔(𝑧 𝑛) = 𝑛𝑎𝑟𝑔(𝑧)  Formules d’Euler et Formule de Moivre : Formules d’Euler ∀ 𝜃 ∈ ℝ ∶ cos 𝜃 = 𝑒 𝑖𝜃+ 𝑒 − 𝑖𝜃 2 et sin 𝜃 = 𝑒 𝑖𝜃− 𝑒 − 𝑖𝜃 2𝑖 Formule de Moivre ∀ 𝜃 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℤ ∶ (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) 𝑛 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 ou (𝑒 𝑖𝜃) 𝑛 = 𝑒 𝑖𝑛𝜃 12  Equation du second degré 𝒂𝒛 𝟐 + 𝒃𝒛 + 𝒄 = 𝟎 : Discriminant ∆= 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ∆ est un réel Si ∆≥ 0 alors 𝑧1 = −𝑏 − √∆ 2𝑎 et 𝑧2 = −𝑏 + √∆ 2𝑎 Si ∆< 0 alors 𝑧1 = −𝑏 − 𝑖√−∆ 2𝑎 et 𝑧2 = −𝑏 +𝑖 √−∆ 2𝑎 ∆ n’est pas un réel Pour 𝛿 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝛿 2 = ∆ ⟺ { 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑦 2 = √𝑎 2 + 𝑏 2 2𝑥𝑦 = 𝑏 Et alors 𝑧1 = −𝑏 − 𝛿 2𝑎 et 𝑧2 = −𝑏 +𝛿 2𝑎 13  Interprétation géométrique : Soient 𝑴 et 𝑴′ deux points du plan complexe d’affixes respectives 𝒛 et 𝒛 ′  L’affixe du vecteur 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est 𝑧 ; la distance 𝑂𝑀 = |𝑧| et (𝑢⃗ ,𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑎𝑟𝑔(𝑧)  𝑀 appartient au cercle de centre 𝑂 et de rayon 1 ⟺ |𝑧| = 1  𝑀 appartient à l’axe des réels (𝑂, 𝑢⃗ ) ⟺ 𝑎𝑟𝑔(𝑧) = 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ou 𝑧 = 0  𝑀 appartient à l’axe des imaginaires (𝑂, 𝑣 ) ⟺ 𝑎𝑟𝑔(𝑧) = ± 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ  L’affixe du vecteur 𝑀⃗⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗⃗⃗ ′ est 𝑧 ′ − 𝑧 et la distance 𝑀𝑀′ = |𝑧 ′ − 𝑧|  L’affixe du milieu de [𝑀𝑀′] est 𝑧 + 𝑧′ 2 Soient 𝑨 , 𝑩 , 𝑪 et𝑫 des points du plan complexe  L’affixe du centre de gravité du triangle 𝐴𝐵𝐶 est 𝑧𝐴+𝑧𝐵+ 𝑧𝐶 3  L’affixe du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ est 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴  |𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 | = 𝐴𝐵 et 𝑎𝑟𝑔(𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 ) = (𝑢⃗ , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )  | 𝑧𝐷−𝑧𝐶 𝑧𝐵−𝑧𝐴 | = 𝐶𝐷 𝐴𝐵 et 𝑎𝑟𝑔 ( 𝑧𝐷−𝑧𝐶 𝑧𝐵−𝑧𝐴 ) = (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) 14  Caractérisation de configurations et de figures :  𝑧𝐷−𝑧𝐶 𝑧𝐵−𝑧𝐴 est un réel⟺ (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 0 𝑜𝑢 𝜋 ⟺ (𝐴𝐵) ∥ (𝐶𝐷)  𝑧𝐷−𝑧𝐶 𝑧𝐵−𝑧𝐴 est un imaginaire pur ⟺ (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ± 𝜋 2 + 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ ⟺ (𝐴𝐵) ⊥ (𝐶𝐷)  𝑧𝐶−𝑧𝐴 𝑧𝐵−𝑧𝐴 est un imaginaire pur ⟺ (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ± 𝜋 2 ⟺ 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐴  | 𝑧𝐶−𝑧𝐴 𝑧𝐵−𝑧𝐴 | = 1 ⟺ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 ⟺ 𝐴𝐵𝐶 est isocèle de sommet 𝐴  𝑧𝐶−𝑧𝐴 𝑧𝐵−𝑧𝐴 = ±𝑖 ⟺ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 et (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ± 𝜋 2 ⟺ 𝐴𝐵𝐶 est rectangle isocèle en 𝐴  𝑧𝐶−𝑧𝐴 𝑧𝐵−𝑧𝐴 = 𝑒 ±𝑖 𝜋 3 ⟺ 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 et (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ± 𝜋 3 ⟺ 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral 15  Caractérisation d’ensemble de points : L’ensemble des points 𝑴 d’affixe 𝒛 tel que  |𝑧 − 𝑧𝐴 | = |𝑧 − 𝑧𝐵| est la médiatrice du segment[𝐴𝐵]  |𝑧 − 𝑧𝐴 | = 𝑟 est le cercle de centre 𝐴 et de rayon 𝑟  𝑎𝑟𝑔(𝑧 − 𝑧𝐴 ) = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ est la demi-droite d’origine 𝐴 dirigée par le vecteur 𝜔⃗ tel que (𝑢⃗ , 𝜔⃗ ) = 𝜃 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ  𝑧 −𝑧𝐵 𝑧 −𝑧𝐴 soit réel est la droite(𝐴𝐵) privée de 𝐴  𝑧 −𝑧𝐵 𝑧 −𝑧𝐴 soitun réel strictement négatif est le segment[𝐴𝐵] privée de 𝐴 et 𝐵  𝑧 −𝑧𝐵 𝑧 −𝑧𝐴 soitun réel strictement positif est la droite (𝐴𝐵) privée du segment [𝐴𝐵]  𝑧 −𝑧𝐵 𝑧 −𝑧𝐴 soit imaginaire pur est le cercle de diamètre [𝐴𝐵] privé de 𝐴 et 𝐵 16  Transformations du plan : 𝑴 est le point d’affixe 𝒛 et 𝑴′ est le point d’affixe 𝒛′  Translation : 𝑀′ est l’image de 𝑀 par la translation de vecteur 𝜔⃗ si et seulement si 𝑧 ′ = 𝑧 + 𝑧𝜔⃗  Rotation de centre 𝑨 :𝑀′ est l’image de 𝑀 par la rotation de centre 𝐴 et d’angle 𝜃 si et seulement 𝑧 ′ − 𝑧𝐴 = 𝑒 𝑖𝜃(𝑧 − 𝑧𝐴 )  Rotation de centre 𝑶 :𝑀′ est l’image de 𝑀 par la rotation de centre 𝑂 et d’angle 𝜃 si et seulement 𝑧 ′ = 𝑒 𝑖𝜃𝑧  Homothétie :𝑀′ est l’image de 𝑀 par l’homothétie de centre 𝐴 et de rapport 𝑘 ∈ ℝ∗ si et seulement 𝑧 ′ − 𝑧𝐴 = 𝑘(𝑧 − 𝑧𝐴 )  Similitude :𝑀′ est l’image de 𝑀 par la similitude de centre 𝐴 et de rapport 𝑘 ∈ ℝ∗ si et seulement 𝑧 ′ − 𝑧𝐴 = 𝑘𝑒 𝑖𝜃(𝑧 − 𝑧𝐴 ) 17 CALCUL DE LIMITES ET CONTINUITE CALCUL DE LIMITES  Formes indéterminées : ∞ − ∞ 𝟎 × ∞ 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) lim 𝑥⟶𝑥0 𝑢(𝑥) = +∞ lim 𝑥⟶𝑥0 𝑣(𝑥) = −∞ } lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝐹𝐼 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) lim 𝑥⟶𝑥0 𝑢(𝑥) = ±∞ lim 𝑥⟶𝑥0 𝑣(𝑥) = 0 } lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝐹𝐼 ∞ ∞ 𝟎 𝟎 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) lim 𝑥⟶𝑥0 𝑢(𝑥) = ±∞ lim 𝑥⟶𝑥0 𝑣(𝑥) = ±∞} lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝐹𝐼 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) lim 𝑥⟶𝑥0 𝑢(𝑥) = 0 lim 𝑥⟶𝑥0 𝑣(𝑥) = 0 } lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝐹𝐼 19 Limite d’une fonction polynôme ou d’une fonction rationnelle :  Règle 1 : en ±∞, la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son monôme de plus haut degré  Règle 2 : en ±∞, la limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient du monôme de plus haut degré du numérateur par le monôme de plus haut degré du dénominateur  Limite de la composée de deux fonctions : ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑣 ∘ 𝑢(𝑥) ∘ lim 𝑥⟶𝑥0 𝑢(𝑥) = 𝑏 ∘ lim 𝑥⟶𝑏 𝑣(𝑥) = ℓ } ⟹ lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥) = ℓ 20  Limite des fonctions trigonométriques : NB : En ±∞, les fonctions cosinus et sinus n’admettent pas de limite lim 𝑡⟶0 sin 𝑡 𝑡 = 1 lim 𝑡⟶0 1 − cos 𝑡 𝑡 = 0 lim 𝑡⟶0 tan 𝑡 𝑡 = 1 lim 𝑡⟶0 1 − cos 𝑡 𝑡 2 = 1 2  Théorèmes de comparaison :  Théorème 1 : au voisinage de +∞ Si 𝑓(𝑥) ≥ 𝑢(𝑥) et lim 𝑥⟶+∞ 𝑢(𝑥) = +∞, alors, lim 𝑥⟶+∞ 𝑓(𝑥) = +∞ Si 𝑓(𝑥) ≤ 𝑣(𝑥) et lim 𝑥⟶+∞ 𝑣(𝑥) = −∞, alors, lim 𝑥⟶+∞ 𝑓(𝑥) = −∞  Théorème 2 : au voisinage de +∞, Si |𝑓(𝑥) − ℓ| ≤ 𝑢(𝑥) et lim 𝑥⟶+∞ 𝑢(𝑥) = 0, alors, lim 𝑥⟶+∞ 𝑓(𝑥) = ℓ  Théorème 3 : Théorème des gendarmes : au voisinage de +∞ , Si 𝑢(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑣(𝑥) et lim 𝑥⟶+∞ 𝑢(𝑥) = lim 𝑥⟶+∞ 𝑣(𝑥) = ℓ, alors, lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥) = ℓ 21  Asymptotes et Branches infinies :  Si lim 𝑥⟶𝑎 𝑓(𝑥) = ±∞, alors, (𝒞𝑓) admet une asymptote verticale d’équation 𝑥 = 𝑎  Si lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) = 𝑏,alors,(𝒞𝑓) admet une asymptote horizontale d’équation 𝑦 = 𝑏  Si lim 𝑥⟶±∞ [𝑓(𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] = 0, alors, (𝒞𝑓) admet une asymptote oblique d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏  Si lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) = ±∞ et lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = ±∞, alors, (𝒞𝑓) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées  Si lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) = ±∞ et lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = 0, alors, (𝒞𝑓) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses  Si lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) = ±∞ ; lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝑎 ∈ ℝ∗ et lim 𝑥⟶±∞ [𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥] = ±∞, alors, (𝒞𝑓) admet une branche parabolique de direction la droite (∆): 𝑦 = 𝑎𝑥  Si lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) = ±∞ ; lim 𝑥⟶±∞ 𝑓(𝑥) 𝑥 = 𝑎 ∈ ℝ∗ et lim 𝑥⟶±∞ [𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥] = 𝑏 ∈ ℝ, alors, (𝒞𝑓) admet une asymptote oblique d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 22  Les éléments de symétrie d’une fonction :  𝑓 est paire si et seulement si ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 et 𝑓(−𝑥) = 𝑓 (𝑥)  𝑓 est impaire si et seulement si ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 et 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)  (∆): 𝑥 = 𝑎 est un axe de symétrie de(𝒞𝑓) si et seulement si ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 2𝑎 − 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 et 𝑓(2𝑎 − 𝑥) = 𝑓(𝑥)  𝐼(𝑎 , 𝑏) est un centre de symétrie de (𝒞𝑓) si et seulement si ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 2𝑎 − 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 et 𝑓(2𝑎 − 𝑥) + 𝑓(𝑥) = 2𝑏 23 CONTINUITE Etude de la continuité en un point : Théorème de continuité :  Toute fonction dérivable en 𝑥0 est continue en 𝑥0  Toute fonction dérivable sur 𝐼 est continue sur 𝐼 NB : La réciproque est fausse, une fonction continue n’est pas toujours dérivable Exemples de fonctions continues : 𝑓 est continue en 𝑥0, Si lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) ou si lim 𝑥⟶𝑥0 − 𝑓(𝑥) = lim 𝑥⟶𝑥0 + 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 )  Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ  Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition  Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur ℝ  La fonction racine carrées est continue sur [0 ; +∞[  La somme ou le produit de fonctions continues est continue 24 Bijection continue : Solution de l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑘 Théorème des valeurs intermédiaires : Résolution de l’équation 𝑓(𝑥) = 0 : ∘ 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ∘ 𝑓 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ∘ 𝑘 ∈ 𝐽 = 𝑓(𝐼) } ⟹ 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝛼 ∈ 𝐼 ∘ 𝑓 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ∘ 𝑓 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 } ⟹ 𝑓 𝑟é𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐼 𝑠𝑢𝑟 𝐽 = 𝑓(𝐼) ∘ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 [𝑎 , 𝑏] ∘ 𝑓 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑟 [𝑎 , 𝑏] ∘ 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑏) < 0 } ⟹ 𝑓(𝑥) = 0 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝛼 ∈ ]𝑎, 𝑏[ 25 DERIVATION ET NOTION DE PRIMITIVES DERIVATION  Etude de la dérivabilité en un point : 𝒇 est dérivable en un point 𝒙𝟎, s’il existe un réel 𝓵 tel que : lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑥 − 𝑥0 = ℓ ou lim 𝑥⟶𝑥0 − 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑥 − 𝑥0 = lim 𝑥⟶𝑥0 + 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) 𝑥 − 𝑥0 = ℓ ou encore lim ℎ⟶0 𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0 ) ℎ = ℓ 𝓵 = 𝒇 ′ (𝒙𝟎 ) est alors appelé nombre dérivé de 𝒇 en 𝒙𝟎 ∘ lim 𝑥⟶𝑥0 − 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑥−𝑥0 = ℓ1 ∘ lim 𝑥⟶𝑥0 + 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑥−𝑥0 = ℓ2 ∘ ℓ1 ≠ ℓ2 } ou lim 𝑥⟶𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑥−𝑥0 = ±∞ ⟹ 𝑓 𝑛 ′𝑒𝑠𝑡𝑝𝑎𝑠 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥0 27  Fonctions dérivées usuelles : 𝒇 ′ désigne la fonction dérivée de 𝒇 sur 𝑰 Fonction Dérivée 𝑰 𝑓(𝑥) = 𝑘 (𝑘 𝑟é𝑒𝑙) 𝑓 ′ (𝑥) = 0 ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 1 ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛(𝑛 ∈ ℕ ∗ ) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 ℝ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = − 1 𝑥 2 ]−∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 𝑛 (𝑛 ≥ 2) 𝑓 ′ (𝑥) = − 𝑛 𝑥 𝑛+1 ]−∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[ 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 1 2√𝑥 ]0 ; +∞[ 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = − sin 𝑥 ℝ 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = cos 𝑥 ℝ 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 1 + tan2 𝑥 = 1 cos2 𝑥 ]− 𝜋 2 + 𝑘𝜋 ; 𝜋 2 + 𝑘𝜋[, 𝑘 ∈ ℤ 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 1 𝑥 ]0 ; +∞[ 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 ℝ 28  Opérations et dérivées : Opérations et dérivées Dérivées successives  (𝑢 + 𝑣) ′ = 𝑢 ′ + 𝑣 ′  (𝑘𝑢) ′ = 𝑘𝑢′ (𝑘 𝑟é𝑒𝑙)  (𝑢𝑣) ′ = 𝑢 ′𝑣 + 𝑣 ′𝑢  ( 1 𝑢 ) ′ = − 𝑢 ′ 𝑢2 (𝑢 ≠ 0)  ( 𝑢 𝑣 ) ′ = 𝑢 ′𝑣−𝑣 ′𝑢 𝑣 2 (𝑣 ≠ 0)  (𝑣 ∘ 𝑢) ′ = 𝑢 ′ × 𝑣 ′ ∘ 𝑢  (𝑢 𝑛) ′ = 𝑛𝑢 ′𝑢 𝑛−1 (𝑛 ≥ 2)  ( 1 𝑢𝑛 ) ′ = −𝑛𝑢 ′ 𝑢𝑛+1 (𝑛 ≥ 1)  (√𝑢) ′ = 𝑢 ′ 2√𝑢 (𝑢 > 0)  (ln 𝑢) ′ = 𝑢 ′ 𝑢 (𝑢 > 0)  (ln|𝑢|) ′ = 𝑢 ′ 𝑢 (𝑢 ≠ 0)  (𝑒 𝑢) ′ = 𝑢 ′𝑒 𝑢 { ∘ 𝑓 (0) = 𝑓 ∘ 𝑓 (1) = 𝑓 ′ ∘ 𝑓 (2) = 𝑓 ′′ ∘ 𝑓 (𝑛) = [𝑓 (𝑛−1) ] ′ ∀ 𝑛 ≥ 1 29  Dérivée et sens de variation : Soit 𝒇 ′ la fonction dérivée de 𝒇 sur 𝑰 :  Si ∀ 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) > 0, alors, 𝑓 est strictement croissante sur 𝐼  Si ∀ 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) < 0, alors, 𝑓 est strictement décroissante sur 𝐼  Si ∀ 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) = 0, alors, 𝑓 est constante sur 𝐼 Dérivée d’une bijection réciproque ∘ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑒 𝐼 𝑠𝑢𝑟 𝐽 ∘ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼 ∘ ∀ 𝑥 ∈ 𝐼, 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0 } ⟹ { ∘ 𝑓 −1 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐽 ∘ ∀ 𝑦 ∈ 𝐽, (𝑓 −1 ) ′ (𝑦) = 1 𝑓 ′(𝑓 −1(𝑦)) 30  Dérivée et extrémum relatif : Si 𝒇 ′ s’annule 𝒙𝟎 et change de signe alors 𝒇 admet un extrémum relatif en 𝒙𝟎 Plus précisément ∘ ∀ 𝑥 ∈ ]𝑎 ; 𝑥0 [, 𝑓 ′ (𝑥) < 0 ∘ ∀ 𝑥 ∈ ]𝑥0 ; 𝑏[, 𝑓 ′ (𝑥) > 0 } ⟹ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ) (𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚) ∘ ∀ 𝑥 ∈ ]𝑎 ; 𝑥0 [, 𝑓 ′ (𝑥) > 0 ∘ ∀ 𝑥 ∈ ]𝑥0 ; 𝑏[, 𝑓 ′ (𝑥) < 0 } ⟹ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) (𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚) 31 PRIMITIVES  Primitives des fonctions usuelles : 𝑭 est une primitive de 𝒇 sur 𝑰 si 𝑭 ′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) Fonction Primitives 𝑰 𝑓(𝑥) = 0 𝐹(𝑥) = 𝑘 (𝑘 𝑟é𝑒𝑙) ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝐹(𝑥) = 1 2 𝑥 2 + 𝑘 ℝ 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝐹(𝑥) = 1 𝑛 + 1 𝑥 𝑛+1 + 𝑘 (𝑛 ∈ ℕ ∗ ) ℝ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 2 𝐹(𝑥) = − 1 𝑥 + 𝑘 ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 𝑛 (𝑛 ≥ 2) 𝐹(𝑥) = − 1 (𝑛 − 1)𝑥 𝑛−1 + 𝑘 (𝑛 ≥ 2) ]−∞ ; 0[ ou]0 ; +∞[ 𝑓(𝑥) = 1 √𝑥 𝐹(𝑥) = 2√𝑥 + 𝑘 ]0 ; +∞[ 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝐹(𝑥) = −cos 𝑥 + 𝑘 ℝ 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 𝐹(𝑥) = sin 𝑥 + 𝑘 ℝ 32 Fonction Primitives 𝑰 𝑓(𝑥) = 1 cos2 𝑥 𝐹(𝑥) = tan 𝑥 + 𝑘 ]− 𝜋 2 + 𝑘𝜋 ; 𝜋 2 + 𝑘𝜋[, 𝑘 ∈ ℤ 𝑓(𝑥) = 1 𝑥 𝐹(𝑥) = ln|𝑥| + 𝑘 ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑘 ℝ  Primitives et opérations : On suppose que 𝒖 est une fonction dérivable sur 𝑰 𝑓 = 𝑢 ′𝑢 𝑛 𝐹 = 1 𝑛 + 1 𝑢 𝑛+1 (𝑛 ∈ ℕ ∗ ) 𝑓 = 𝑢 ′ cos 𝑢 𝐹 = sin 𝑢 𝑓 = 𝑢 ′ 𝑢 2 𝐹 = − 1 𝑢 (𝑢 ≠ 0 𝑠𝑢𝑟 𝐼) 𝑓 = 𝑢 ′ sin 𝑢 𝐹 = − cos 𝑢 𝑓 = 𝑢 ′ 𝑢 𝑛 𝐹 = − 1 (𝑛 − 1)𝑢 𝑛−1 (𝑢 ≠ 0 𝑠𝑢𝑟 𝐼 𝑒𝑡 𝑛 ≥ 2) 𝑓 = 𝑢 ′ 𝑢 𝐹 = ln|𝑢| (𝑢 ≠ 0 𝑠𝑢𝑟 𝐼) 𝑓 = 𝑢 ′ √𝑢 𝐹 = 2√𝑢(𝑢 > 0 𝑠𝑢𝑟 𝐼) 𝑓 = 𝑢 ′𝑒 𝑢 𝐹 = 𝑒 𝑢 33 FONCTIONS LOGARITHME NEPERIEN ET EXPONENTIELLE  Définition et première propriétés : Logarithme népérien Exponentielle  ln est la primitive de la fonction 𝑥 ⟼ 1 𝑥 sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en1  𝐷ln = ]0 ; +∞[  ln 1 = 0 et ln 𝑒 = 1  ∀ 𝑥 ∈ ]0 ; 1[, ln 𝑥 < 0 et ∀ 𝑥 ∈ ]1 ; +∞[, ln 𝑥 > 0  ∀ 𝑥 ∈ ℝ, ln 𝑒 𝑥 = 𝑥  𝑒𝑥𝑝 ou 𝑥 ⟼ 𝑒 𝑥 est la bijection réciproque de 𝑙𝑛  𝐷𝑒𝑥𝑝 = ℝ  𝑒 0 = 1 et 𝑒 1 = 𝑒  ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝑒 𝑥 > 0  ∀ 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[, 𝑒 ln 𝑥 = 𝑥  Propriétés algébriques : Logarithme népérien Exponentielle ∀ 𝑎 ∈ ]0 ; +∞[ 𝑒𝑡 ∀ 𝑏 ∈ ]0 ; +∞[ on a :  ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏  ln 1 𝑎 = − ln 𝑎  ln 𝑎 𝑏 = ln 𝑎 − ln 𝑏  ∀ 𝑟 ∈ ℝ, ln 𝑎 𝑟 = 𝑟 ln 𝑎  ln 𝑎 = ln 𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏  ln 𝑎 < ln 𝑏 ⟺ 𝑎 < 𝑏 ∀ 𝑎 ∈ ℝ 𝑒𝑡 ∀ 𝑏 ∈ ℝ on a :  𝑒 𝑎+𝑏 = 𝑒 𝑎𝑒 𝑏  𝑒 −𝑎 = 1 𝑒 𝑎  𝑒 𝑎−𝑏 = 𝑒 𝑎 𝑒 𝑏  ∀ 𝑟 ∈ ℝ, (𝑒 𝑎) 𝑟 = 𝑒 𝑎𝑟  𝑒 𝑎 = 𝑒 𝑏 ⟺ 𝑎 = 𝑏  𝑒 𝑎 < 𝑒 𝑏 ⟺ 𝑎 < 𝑏 35  Limites utiles : Logarithme népérien Exponentielle  lim 𝑥⟶0+ ln 𝑥 = −∞  lim 𝑥⟶+∞ ln 𝑥 = +∞  lim 𝑥⟶+∞ ln 𝑥 𝑥 = 0  ∀ 𝑟 ∈ ℝ+ ∗ , lim 𝑥⟶+∞ ln 𝑥 𝑥 𝑟 = 0  lim 𝑥⟶0+ 𝑥 ln 𝑥 = 0  ∀ 𝑟 ∈ ℝ+ ∗ , lim 𝑥⟶0+ 𝑥 𝑟 ln 𝑥 = 0  lim 𝑥⟶0 ln(𝑥+1) 𝑥 = 1  lim 𝑥⟶−∞ 𝑒 𝑥 = 0  lim 𝑥⟶+∞ 𝑒 𝑥 = +∞  lim 𝑥⟶+∞ 𝑒 𝑥 𝑥 = +∞  ∀ 𝑟 ∈ ℝ+ ∗ , lim 𝑥⟶+∞ 𝑒 𝑥 𝑥 𝑟 = +∞  lim 𝑥⟶−∞ 𝑥𝑒 𝑥 = 0  ∀ 𝑟 ∈ ℝ+ ∗ , lim 𝑥⟶−∞ |𝑥| 𝑟𝑒 𝑥 = 0  lim 𝑥⟶0 𝑒 𝑥−1 𝑥 = 1