annales maths

Année 2012–2013 Promotion de 1re année I.U.T. Saint-Omer Dunkerque Département G.T.E. Annales de mathématiques Denis Bitouzé Avant-propos Ces annales sont un recueil des énoncés et des corrigés de certains des contrôles des années précédentes. Au chapitre I page 4, on trouvera les énoncés, éventuellement quelque peu modi?és, des épreuves. Pour la plupart d’entre elles, les documents et calculatrices personnels étaient interdits mais, lors de certaines, les calculatrices du département avaient été mises à la disposition des étudiants. Jusqu’à l’année universitaire 2004–2005, le temps imparti pour chaque épreuve était de 2 h. À partir de 2005–2006, le temps imparti pour • les 1re et 3e épreuves de l’année universitaire était de 1 h ; • les 2e et 4e épreuves de l’année universitaire était de 2 h. Regroupés dans le chapitre II page 75, les corrigés indiquent de manière très précise la ou une des méthodes à employer et un exemple de rédaction dont il est fortement conseillé de s’inspirer. Ces annales constituent un excellent moyen de jauger ce qui peut vous être demandé en contrôle et de vous exercer à composer en temps limité. Vous êtes donc invités à les travailler, avant la veille de la première épreuve ! 1 Table des matières I Énoncés des épreuves Année 1995–1996 . . . 2 avril 1996 . . . 9 mai 1996 . . . . 19 juin 1996 . . . Année 1996–1997 . . . 9 janvier 1997 . . 12 mars 1997. . . 4 juin 1997 . . . . Année 1997–1998 . . . 24 novembre 1997 16 février 1998 . . 11 juin 1998 . . . Année 1998–1999 . . . 16 novembre 1998 26 février 1999 . . 11 juin 1999 . . . Année 1999–2000 . . . 2 décembre 1999 . 1er mars 2000. . . 13 juin 2000 . . . Année 2000–2001 . . . 19 décembre 2000 4 mai 2001 . . . . 15 juin 2001 . . . Année 2001–2002 . . . 10 décembre 2001 18 mars 2002. . . 17 juin 2002 . . . Année 2002–2003 . . . 18 décembre 2002 9 avril 2003 . . . 13 juin 2003 . . . Année 2003–2004 . . . 16 décembre 2003 7 avril 2004 . . . 8 juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Année 2004–2005 . . . 5 janvier 2005 . . 28 avril 2005 . . . 12 mai 2005 . . . 15 juin 2005 . . . Année 2005–2006 . . . 23 novembre 2005 26 janvier 2006. . 2 février 2006 . . 17 mai 2006 . . . 21 juin 2006 . . . Année 2006–2007 . . . 1er décembre 2006 15 janvier 2007. . 22 janvier 2007. . 11 avril 2007 . . . 13 juin 2007 . . . 20 juin 2007 . . . Année 2007–2008 . . . 10 décembre 2007 15 janvier 2008. . 18 janvier 2008. . 25 avril 2008 . . . 12 juin 2008 . . . Année 2008–2009 . . . 24 novembre 2008 9 janvier 2009 . . 22 janvier 2009. . 22 mai 2009 . . . 15 juin 2009 . . . 17 juin 2009 . . . Année 2009–2010 . . . 26 novembre 2009 8 janvier 2010 . . 25 mars 2010. . . 4 juin 2010 . . . . 4 4 4 5 6 8 8 8 10 11 11 12 14 15 15 16 17 19 19 20 21 23 23 24 25 26 26 27 29 30 30 31 32 34 34 35 37 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 38 39 40 41 42 42 43 44 45 46 47 47 48 49 50 50 52 52 52 53 54 55 55 57 57 57 59 59 60 61 62 62 63 65 65 Table des matières Table des matières Année 2010–2011 . . . 10 décembre 2010 19 janvier 2011. . 6 mai 2011 . . . . 17 juin 2011 . . . Année 2011–2012 . . . 25 novembre 2011 12 janvier 2012. . 20 avril 2012 . . . 21 juin 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Corrigés des épreuves Année 1995–1996 . . . 2 avril 1996 . . . 9 mai 1996 . . . . 19 juin 1996 . . . Année 1996–1997 . . . 9 janvier 1997 . . 12 mars 1997. . . 4 juin 1997 . . . . Année 1997–1998 . . . 24 novembre 1997 16 février 1998 . . 11 juin 1998 . . . Année 1998–1999 . . . 16 novembre 1998 26 février 1999 . . 11 juin 1999 . . . Année 1999–2000 . . . 2 décembre 1999 . 1er mars 2000. . . 13 juin 2000 . . . Année 2000–2001 . . . 19 décembre 2000 4 mai 2001 . . . . 15 juin 2001 . . . Année 2001–2002 . . . 10 décembre 2001 18 mars 2002. . . 17 juin 2002 . . . Année 2002–2003 . . . 18 décembre 2002 9 avril 2003 . . . 13 juin 2003 . . . Année 2003–2004 . . . 16 décembre 2003 7 avril 2004 . . . 8 juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 67 67 68 69 71 71 72 72 73 Année 2004–2005 . . . 5 janvier 2005 . . 28 avril 2005 . . . 12 mai 2005 . . . 15 juin 2005 . . . Année 2005–2006 . . . 23 novembre 2005 26 janvier 2006. . 2 février 2006 . . 17 mai 2006 . . . 21 juin 2006 . . . Année 2006–2007 . . . 1er décembre 2006 15 janvier 2007. . 22 janvier 2007. . 11 avril 2007 . . . 13 juin 2007 . . . 20 juin 2007 . . . Année 2007–2008 . . . 10 décembre 2007 15 janvier 2008. . 18 janvier 2008. . 25 avril 2008 . . . 12 juin 2008 . . . Année 2008–2009 . . . 24 novembre 2008 9 janvier 2009 . . 22 janvier 2009. . 22 mai 2009 . . . 15 juin 2009 . . . 17 juin 2009 . . . Année 2009–2010 . . . 26 novembre 2009 8 janvier 2010 . . 25 mars 2010. . . 4 juin 2010 . . . . Année 2010–2011 . . . 10 décembre 2010 19 janvier 2011. . 6 mai 2011 . . . . 17 juin 2011 . . . Année 2011–2012 . . . 25 novembre 2011 12 janvier 2012. . 20 avril 2012 . . . 21 juin 2012 . . . 75 75 75 80 80 80 80 83 86 91 91 94 99 99 99 104 106 106 106 111 115 115 115 121 127 127 127 132 138 138 138 142 148 148 148 152 156 Index 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 156 161 166 170 170 170 173 177 177 180 180 180 183 187 191 193 193 196 196 197 202 204 207 208 208 210 215 217 221 222 224 224 228 233 236 239 239 242 246 250 253 253 256 260 263 269 Chapitre I Énoncés des épreuves (b) Calculer le développement limité de lnp1   tan hq ¡ lnp1 ¡ tan hq à l’ordre 3 en 0. Année 1995–1996 2 avril 1996 3. On rappelle que Exercice 1 (sur 4) tanpa   bq  1. c Calculer le développement limité de 1   x cos x à l’ordre 3 en 0. tan a   tan b . 1 ¡ tan a tan b Déduire des questions précédentes le développement limité de lnptan xq à l’ordre 3 en π . 4 2. Étudier localement au point d’abscisse x0  0 la courbe C d’équation Exercice 4 (sur 4) y c 1   x cos x ¡ 1 . x 1. Exercice 2 (sur 3) (b) Prouver que si c ¡ 0 alors 0  1. Rappeler la dé?nition de Arccos x. 2. Rappeler l’expression de cos 2a en fonction de cos a. x¡ Exercice 3 (sur 5) 2. p1   cq3   1. 1 (c) En appliquant cette formule, établir que pour tout x ¡ 0 7 3. Prouver que cosp2 Arccos 5 q  18 et en 6 7 déduire que 2 Arccos 5  Arccos 18 . 6 1. Démontrer que, en 0, tan h oph3 q. (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 2. x2 2 2 3   lnp1   xq   x ¡ x2   x3 . 2. Pour quelles valeurs de x cette inéga2 lité permet-elle d’a?rmer que x ¡ x est 2 une valeur approchée de lnp1   xq à 10¡3 près ?  h   h3   3 3. Donner une valeur approchée de lnp1, 1q à 10¡3 près. (a) Rappeler le développement limité de lnp1   t q à l’ordre 3 en 0. 4 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.1. Année 1995–1996 Exercice 5 (sur 4) 1. Étude préliminaire. qu’alors la fonction x est une primitive de la fonction v. Calculer xpT q et en déduire la vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB. c (a) Pour t ¥ 0, on pose v pt q  2 t 4 ¡ t. (c) Prouver qu’il existe un instant au cours de l’expérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. i. Prouver que l’ensemble de dé?nition D de la fonction v est r0, 4s. ii. Déterminer le maximum de v sur D. (b) (d) Application numérique. Sachant que A et B sont distants de 1 km et que la vitesse maximale atteinte est 200 km/h, déterminer T en secondes c puis V en km/h. On donne 15 3  c 26 et 80 3  139. i. Pourquoi v est-elle intégrable sur D ? ii. Calculer l’intégrale de v sur D au moyen d’une intégration par parties. 9 mai 1996 Dé?nition I.1.1. iii. Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle Exercice 1 (sur 4) valeur moyenne de f sur ra, bs la Soit C la courbe représentative de la fonction f dé?nie par quantité µ dé?nie par µ 1 b¡a »b a f px q  f pt q dt. — 3 x3   2x2   x. 1. Calculer le développement limité généralisé de f pxq à l’ordre 1 en ¨V. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D. 2. (a) Déterminer les asymptotes D   et D ¡ à C respectivement en  V et ¡V. 2. Étude concrète. Un motard réalise une (b) Préciser les positions relatives expérience de vitesse sur une piste rectiligne d’extrémités A et B. Sa vitesse insi. de C et D   au voisinage de  V tantanée, exprimée en km/h, est donii. de C et D ¡ au voisinage de ¡V née en fonction du temps par v pt q  c a t T ¡ t où Exercice 2 (sur 5) • a est un paramètre réel strictement positif ; 1. Soit α un réel de s ¡ π , π r. 2 2 • t est exprimé en heure ; (a) Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que • 0 et T sont les instants respectivement de départ en A et d’arrivée en B. 1   tan2 α  (a) Calculer v p0q et v pT q puis déterminer l’instant tM de vitesse maximale ainsi que la vitesse maximale vM  v ptM q. 1 . cos2 α (b) Rappeler l’expression de sin 2α en fonction de sin α et cos α et en déduire que (b) On désigne par x la distance parcourue depuis A et on rappelle sin 2α  2 tan α cos2 α. 5 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.1. Année 1995–1996 (c) Déduire de ce qui précède que sin 2α  2. Pour quelles valeurs de x cette inégalité 2 x permet-elle d’a?rmer que 1   2 ¡ x est 8 c une valeur approchée de 1   x à 10¡3 près ? 2 tan α . 1   tan2 α 2. On pose t  tanpx{2q. 3. Donner une valeur approchée de 10¡3 près. (a) Rappeler l’expression de la dérivée de la fonction tan et en déduire que dt  f px q  I  0  »1 3. Déterminer les développements limités de f d’ordre 3 à droite et à gauche de 0. 2 dt p1   t q2 . 0 Exercice 5 (sur 3) 1. Calculer la dérivée de Arctanp 1 q. x (b) Quel changement de variable permet d’a?rmer que I 2 »2 1 2. On pose f pxq  Arctan x   Arctanp1{xq. Déduire de la question (1) l’expression de f du ? u2 (a) sur R ¦ (c) Calculer I. (b) sur R¡¦ . Exercice 3 (sur 4) 1. lnp1   x2 q. 2. La fonction f admet-elle un développement limité en 0 d’ordre supérieur ou égal à 1 ? dx . 1   sin x (a) En utilisant le changement de variable t  tanpx{2q, établir que I ˜ 1. Pourquoi la fonction f n’est-elle dérivable que sur R¦ ? 3. On pose π 2 1, 2 à Exercice 4 (sur 4) Soit f la fonction dé?nie sur R par 1 p1   t2 q dx. 2 (b) À l’aide de la question (1c), exprimer sin x en fonction de t. » c 19 juin 1996 (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à Exercice 1 (sur 3) l’ordre 2. (b) Prouver que si c ¡ 0 alors 0  1. Déterminer la nature de l’intégrale   1. p1   cq { 1 »3 5 2 1 (c) En appliquant la formule de TaylorLagrange, établir que pour tout x ¡ 0 1  x x2 ¡ 2 8   c 1   x   1  2. x x2 x3 ¡   . 2 8 16 c dx . x¡1 (a) Déterminer un équivalent, au voisinage de 1, de x 4x ¡ 1 6 c x ¡ 1. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.1. Année 1995–1996 (b) En déduire la nature de l’intégrale »3 1 1. Prouver que l’intégrale I est convergente. 4x ¡ 1 c dx. 2x x ¡ 1 2. On pose, pour X ¥ 2, I pX q  Exercice 2 (sur 3) Soit f la fonction dé?nie sur R2 par f px, y q  5 xy   x2 y 2 0 si px, y q $ p0, 0q si px, y q  p0, 0q. I pX q  (a) Déterminer la di?érentielle df px, y q de f en tout point px, y q $ p0, 0q. x y f px, y q  pydx ¡ xdy q. 1 ¡ x2 y 2 . ¡ Dé?nition I.1.2. La fonction 4. 1 px, y q ÞÝÑ y ©2 (a) Soit px, y q un point de D. Calculer df px, y q. (b) Soit c c px, y q  p 22 , 22 q p?x, ?y q  p2.10¡2 , 4.10¡2 q ?f px, y q  f px   ?x, y   ?y q ¡ f px, y q. c Sachant que 6  2, 45, estimer ?f px, y q à l’aide de df px, y q. est appelée facteur intégrant de la forme différentielle ω. Exercice 4 (sur 5) On considère l’intégrale I dé?nie par 2 ˜ P nant ?I  fxy ¡ fxP fyP . Soit x0 un réel 2 2 et M0 px0 , 0q un point critique de f . Préciser la nature de M0 en étudiant, pour px, y q dans D, le signe de f px, y q¡f px0 , 0q. Qu’en est-il des autres points critiques de f ? est exacte sur ? et déterminer une fonction dont elle est, sur cet ensemble, la di?érentielle. t2 π 4 cos u du. sin2 u 3. Nota. Dans cette question, on ne cherchera pas à étudier le signe du discrimi- 1 ω y  2 2. Déterminer l’ensemble des points critiques de f . 2. Démontrer que la forme di?érentielle I » Arctan X 1. Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble de dé?nition D de f . 1. Prouver que la forme di?érentielle ω n’est pas exacte. »  V 1 4 Exercice 5 (sur 5) On désigne par f la fonction dé?nie sur R2 par Exercice 3 (sur 4) On pose ?  R ¦ ¢ R ¦ et on considère la forme di?érentielle ω dé?nie sur ? par ωpx, y q  cdt 2 . 4 t 3. En déduire la valeur de I. (b) Calculer l’image du couple p3, ¡4q par df p2, 1q. 1 2 t2 En utilisant le changement de variable t  2 tan u pour u dans s0, π{2r, établir que 1. Prouver que f est partiellement dérivable mais discontinue au point p0, 0q. 2. »X cdt 2 . 4 t 7 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.2. Année 1996–1997 2. On note T la température (en ¥C) à l’instant t (en h). Quand la température diminue, dT {dt représente la vitesse de refroidissement. Le record de variation de température en l’espace de 12 h a été atteint en 1916 lorsque la température passa de 6 ¥C à ¡48 ¥C. Prouver que la vitesse de refroidissement a, à un moment donné, dépassé ¡4 ¥C h¡1 pendant cette période. Année 1996–1997 9 janvier 1997 Exercice 1 (sur 4) Calculer c c 1. limxÑ V x2 ¡ 3 ¡ x2 ¡ 1, 2. limxÑπ{2 tan2 xp1 ¡ sin xq. Exercice 2 (sur 6) On considère la fonction f dé?nie sur R par Exercice 4 (sur 8) c f pxq  ln x ¡ x. 1. (a) Rappeler la dé?nition de Arcsin x. (b) Prouver que, pour tout x dans r¡1, 1s, sinpArcsin xq  x. 1. Le but de cette question est de démontrer le résultat, admis en cours, suivant : pour tout α dans Q ¦ , ln x xÑ V xα lim (c) Démontrer que, pour tout x dans c r¡1, 1s, cospArcsin xq  1 ¡ x2 .  0. (d) Déduire de ce qui précède que, pour tout x dans r¡1, 1s, (a) Sans calculer les limites aux bornes de l’ensemble de dé?nition, dresser le tableau des variations de la fonction f. sinp2 Arcsin xq  2x (b) Que vaut limxÑ0 sin x{x ? En déduire, à l’aide de la relation (I.1), c x 1 ¡ x2 lim . xÑ0 Arcsin x (c) En déduire x lim Ñ V ln x . x (d) Soit α dans Q ¦ . En posant X  xα , prouver que ln x xÑ V xα lim 2. 1 ¡ x2 . (I.1) (a) Que vaut limxÑ0 Arcsin x ? 2. (b) Sachant que ln 2   1 et en utilisant la question précédente, établir que c pour tout x ¡ 0, ln x   x. — Exercice 5 (Hors barème) En revenant à la dé?nition de la limite, démontrer que  0. lim x2   4  4. x (a) Calculer les limites de f en 0 et en  V. Ñ0 12 mars 1997 (b) Donner l’allure de la courbe représentative de f . Exercice 1 (sur 7,5) Exercice 3 (sur 2) 1. Calculer l’intégrale » 1. Rappeler, avec ses hypothèses, le théorème des accroissements ?nis. t e2t dt. 8 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.2. Année 1996–1997 2. Calculer, éventuellement au moyen d’un Exercice 4 (sur 4,5) changement de variable, l’intégrale » e2 e dx x pln xq3 1. Prouver que, pour tout h dans s0, 1r, . ¡1   3. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale Arctan x dx. 0 3. (a) Soit α et θ deux réels. i. Après avoir rappelé l’expression de cos 2α en fonction de sin α, exprimer sin2 α en fonction de cos 2α. ii. Rappeler l’expression de sin 2θ en fonction de sin θ et cos θ. En déduire, à l’aide de la question précédente, que sin2 θ cos2 θ  0 x2 (a) En appliquant la formule de TaylorLagrange à la fonction f : x ÞÑ 1 1 x , déduire de la question précédente que, pour tout h ¡ 0, 1 ¡ h   h2 ¡ h3   1 ¡ cos 4θ . 8 1 1 h   1 ¡ h   h2 . (b) Pour quelles valeurs de h l’inégalité précédente permet-elle d’a?rmer que 1 ¡ h   h2 est une valeur 1 approchée de 1 h à 10¡3 près ? (b) Éventuellement au moyen du changement de variable θ  Arcsin x, calculer »1 ¡1   0. p1   θhq4 2. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 2. »1 4. ¡ 0 et tout θ (c) Donner une valeur approchée de 1 ¡3 près. 1,09 à 10 — 1 ¡ x2 dx. Exercice 5 (sur 2,5) 1. Exercice 2 (sur 4) (a) Soit a un réel strictement positif. Rappeler l’ensemble des réels α pour lesquels converge l’intégrale »  V 1. Après avoir résolu l’équation sans second membre associée, résoudre l’équation di?érentielle a dx . xα (b) Soit a et b deux réels tels que a   b. Rappeler l’ensemble des réels α pour lesquels converge l’intégrale y I ¡ 3x2 y  x2 . 2. Résoudre l’équation di?érentielle »b y P ¡ 10y I   41y  0. a Exercice 3 (sur 1,5) E?ectuer la division selon les puissances croissantes, à l’ordre 3, du polynôme 1 ¡ 3X par le polynôme 1 ¡ X 2 . dx pb ¡ x qα . 2. Déterminer la nature de l’intégrale »  V 3 9 1 x dx. 4   x3 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.2. Année 1996–1997 3. (Hors barème) Déterminer la nature de l’intégrale »  V 0 résoudre l’équation di?érentielle y P   2y I   y  7x2   28x   15 (E2 ) 1 x dx. 4   x3 en en cherchant une solution particulière sous la forme y  αx2   βx   γ. Exercice 3 (sur 2,5) 4 juin 1997 Exercice 1 (sur 6) 1. Rappeler, avec ses conditions d’application, la formule donnant la dérivée de la fonction réciproque f ¡1 d’une fonction numérique de variable réelle f . 2. (a) Rappeler rapidement les principales propriétés et la représentation graphique de la fonction cosinus hyperbolique ch. 1. Soit k un entier naturel non nul. À l’aide d’une intégration par parties, prouver que » pln tq k dt  t pln t q k » ¡ k pln tqk¡1 dt. 2. Calculer »2 1 pln tq3 dt. (b) Rappeler la dé?nition de la fonction Argch et exprimer sa dérivée. Exercice 4 (sur 3,5) 3. Calculer les intégrales 1. Prouver que si c ¡ 0 alors (a) » 0  c dt , t2 ¡ 1 (b) »4 1 c dx 9x2 ¡ 4 p1   cq7{2   1. 2. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 2. . 3. Exercice 2 (sur 5) (a) En appliquant la formule de TaylorLagrange à la fonction f : h ÞÑ 1. Après avoir résolu l’équation sans second membre associée, résoudre l’équation di?érentielle p1   x qy I ¡ xy  2x. 2 y P   2y I   y  0 (EI ) 2 admet comme solution générale C0 , C1 € R, 1¡ h 3h2 5h3   8 ¡ 16 2 2 h   c 1   1 ¡ 2   3h 8 1 h . (b) Pour quelles valeurs de h cette inégalité permet-elle d’a?rmer que 2 h 1 ¡ 2   3h est une valeur approchée 8 de c 1 à 10¡3 près ?   1 h 10 c1 , 1 h déduire de la question précédente que, pour tout h ¡ 0, (E1 ) 2. Après avoir expliqué pourquoi l’équation sans second membre y  e¡x pC1 x   C0 q, 1 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.3. Année 1997–1998 (c) Prouver que 1 ¡ 0, 1{2   3p0, 1q2 {8 est une valeur approchée de c1 à 1,1 3. Développer pa ¡ bqpa2   ab   b2 q et en déduire c 10¡3 près. 1¡ 3 x . x Ñ1 1 ¡ x lim Exercice 5 (sur 3) 1. Déterminer le développement limité en Exercice 2 (sur 2) 0 à l’ordre 4 de la fonction t ÞÝÑ Calculer, par exemple en utilisant les équivalents, sin t cos t. 2. Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 2 de la fonction t ÞÝÑ ¡1 . lnp1   t q et lim xÑ0 pex c 1q tan cx ¡ x x sin 2 et ln x . xÑ1 sinpx ¡ 1q 3. (Hors barème) On note C la courbe représentant la fonction f dé?nie sur R ¦ par f pxq  ln x. lim Exercice 3 (sur 1,5) nombre complexe j est dé(a) Prouver que le développement li- On rappelle que le c 1 mité à l’ordre 2 en x0  e de f est ?ni par j  ¡ 2   i 23 où i 2  ¡1. Déterminer ¡ © le module et un argument puis placer dans le 1 1 f pxq  1  px ¡eq¡ 2 px ¡eq2  o px ¡ eq2 . plan complexe l’image e 2e (b) Déduire de la question précédente l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse x0  e ainsi que la position relative de C et T . 1. de j, 2. de j 2 . Exercice 4 (sur 1,5) Soit y un réel de s ¡ π , π r. 2 2 Année 1997–1998 1. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que 24 novembre 1997 Exercice 1 (sur 5) 1. Calculer lim 1   tan2 y  x¡4 ¡ x ¡ 12 x Ñ x 2. Rappeler l’expression de sin 2y en fonction de sin y et cos y puis en déduire que lim lnpx   1q ¡ ln x. 4 x2 et sin 2y  2 tan y cos2 y. Ñ V 2. Étudier la continuité, par prolongement éventuel, de la fonction f dé?nie par f px q  1 . cos2 y c x 1¡2 . x¡3 11 3. Déduire de ce qui précède que sin 2y  2 tan y . 1   tan2 y (I.2) Chapitre I. Énoncés des épreuves I.3. Année 1997–1998 Exercice 5 (sur 10) Soit f la fonction dé?nie sur R par ¢ 2x f pxq  Arcsin 1   x2 (c) Prouver que f I pxq   . i. Prouver que, pour tout x réel, ¤ 1. ii. Prouver que, pour tout x réel, 2x 1   x2   si x ¡ 1. ¡   (a) Rappeler la dé?nition de y. (b) Prouver que i. si 0 ¤ x ¤ 1 alors 0 ¤ 2y ¤ π , 2 ii. si x ¡ 1 alors 0   π ¡ 2y   π . 2 (c) Exprimer x en fonction de y puis, à l’aide de l’égalité (I.2), f pxq en fonction de y. (d) (Hors barème) i. Déduire, à l’aide de la dé?nition de la fonction Arcsin et des questions (5c) et (5(b)i), que 1. Le but de cette question est de déterminer Df . On pourra s’aider des questions suivantes. 2x 1   x2 si 0 ¤ x ¤ 1, 2 1 x2 2 1 x2 5. Dans toute cette question, on pose y Arctan x. On notera Df l’ensemble de dé?nition et Cf la courbe représentative de f . (a) 5 ¥ ¡1. si 0 ¤ x ¤ 1 alors (b) Rappeler l’ensemble de dé?nition de la fonction Arcsin et déduire Df des questions précédentes. f pxq  2 Arctan x (I.3) (a) Tracer, rapidement, l’allure de la courbe représentative de la fonction Arcsin. (b) Rappeler la parité de la fonction Arcsin puis étudier celle de f . 2. ii. Déduire, à l’aide de la dé?nition de la fonction Arcsin et des questions (5c) et (5(b)ii), en utilisant la relation liant sinpπ ¡ 2y q et sin 2y, que si x ¡ 1 alors f pxq  π ¡ 2 Arctan x. (I.4) 3. Calculer f p1q et lim  V f . 4. (a) i. Résoudre rapidement, à l’aide des calculs e?ectués à la question (1(a)i), l’équation 2x 1   x2  1. 6. À l’aide des égalités (I.3) et(I.4), tracer l’allure de Cf . 16 février 1998 Exercice 1 (sur 4,5) ii. Rappeler l’ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable et en déduire le sous-ensemble de R  sur lequel f est dérivable. (b) On pose u px q  1. À l’aide d’intégrations par parties, déterminer » ρe¡ρ dρ » 1{2 et 0 c x Arcsin x 1 ¡ x2 dx. 2. Au moyen de changements de variables, calculer 2x . 1   x2 »3 Calculer u I pxq. 0 12 dx x2   9 » e2 et e dx x pln xq4 . Chapitre I. Énoncés des épreuves I.3. Année 1997–1998 Exercice 2 (sur 2,5) Après avoir résolu l’équation sans second membre associée, résoudre par exemple à l’aide de la méthode de la variation de la constante l’équation di?érentielle y I   3x2 y  e¡x . 3 (c) On pose α  1  a  1, 00500417. i. Prouver que α est une valeur 1 approchée de ch 10 à 9.10¡8 près et préciser s’il s’agit d’une valeur approchée par excès ou par défaut. ii. En quoi l’inégalité α ¡ a   10¡8 permet-elle d’a?rmer que a est une valeur approchée 1 de ch 10 à 10¡7 près ? Exercice 3 (sur 2,5) Après avoir résolu l’équation sans second membre (I.6) résoudre l’équation di?érentielle y P ¡ 4y I   13y  26x2   10x   9. ¡4   10 24 et (I.5) y P ¡ 4y I   13y  0 10¡2 2 (I.7) Exercice 5 (sur 3,5) Exercice 4 (sur 7) 1. On rappelle que, pour tout x réel, ch x  e x   e ¡x 2 et sh x  e x ¡ e ¡x . 2 Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh. 2. Soit a un réel, n un entier naturel non nul et f une fonction numérique de variable réelle. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange pour f en a à l’ordre n. 3. (a) Sachant que sh 1   1, prouver que 2 1 pour tout x tel que 0 ¤ x ¤ 2 et pour tout θ dans s0, 1r, 0 ¤ sh θx   1. (b) En appliquant la formule de TaylorLagrange à la fonction ch en 0 à l’ordre 5 et en utilisant la question précédente, prouver que pour tout x dans r0, 1 s, 2 0 ¤ ch x ¡ ¢ x2 1  2  4 x   24 ¤ x5 . 120 13 1. Rappeler l’ensemble de dé?nition de la fonction Argch. Rappeler à quoi équivaut y  Argch x. 2. On rappelle le résultat suivant. Proposition 1. Soit f une fonction bijective d’un sousensemble A de R sur un sous-ensemble B de R. Soit x un élément de B tel que f soit dérivable et de dérivée non nulle en f ¡1 pxq. Alors f ¡1 est dérivable en x et ¡ f ¡1 ©I pxq  f I ¥ f1¡1 pxq   1 &. f I f ¡1 p x q (a) Rappeler la dérivée de la fonction Argch (on pourra le cas échéant la retrouver à l’aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique et de la propostion précédente). (b) En déduire les intégrales » et c dt t2 ¡ 1 »4 1 c dx 9x2 ¡ 4 (on pourra poser t  3x 2 ). Chapitre I. Énoncés des épreuves I.3. Année 1997–1998 3. Le but de cette question est de prouver que ¡ dx ¥ 1, Argch x  ln x   2. Dans cette question, a désigne un paramètre strictement positif. © — x2 ¡ 1 . (a) Prouver que »X x (a) Véri?er que la relation précédente est vraie pour x  1. (b) Dans toute la suite, on suppose x ¡ 1. Prouver que 5 y  Argch x x¡1 2 0 2 e¡ax dx  p q ¡ y ¡ 0. ey 2 2xey »X x 0 3 x  2 e¡ax dx  2 2 e¡ax dx   1  0 £ 1 ¡X e¡aX 2   c 1 2a a » X ca 2 e¡u du 0 »  V x2 e¡ax dx 2 0 — x2 ¡ 1, x ¡ puis son expression en fonction de ³  V ¡u 2 e du. 0 3. Les molécules de gaz enfermées dans un récipient à la température T (en degrés Kelvin) sont animées d’une vitesse de v cm/s. Cet état d’équilibre est caractérisé par la fonction de distribution de vitesse de Maxwell-Boltzmann F dé?nie par A — x2 ¡ 1 . F pv q  cv 2 e¡ 2kT v m c x ¡ x2 ¡ 1 ¡ 1 x¡1 2 où m est la masse d’une molécule, et c et k des constantes positives. La constante c doit être telle que est l’ensemble vide. En déduire que si x ¡ 1 et y ¡ 0 alors l’égac lité ey  x ¡ x2 ¡ 1 n’a jamais lieu et conclure. »  V 0 F pv q dv  1. Grâce à l’égalité (I.8) et sachant que c ³  V e¡u du  2 , déterminer l’expression de c en fonction de k, T et m pour qu’il en soit ainsi. 2 π 0 11 juin 1998 Exercice 1 (sur 4,5) Exercice 2 (sur 2,5) 1. Comparer, pour u ¥ 1, e¡u et e¡u . En déduire la nature des intégrales 2 »  V 1 e¡ u2 du et »  V e¡ u2 . 0 et préciser la nature de l’intégrale ii. (Hors barème) Prouver que l’ensemble des solutions de l’inéquation 5 »X (I.8) i. On considère x ¡ 1. Prouver que l’ensemble des solutions de l’équation X 2 ¡ 2xX   1  0, d’inconnue X, est l’ensemble (c) ¡X e¡aX 2   (b) Au moyen d’un changement de variable, en déduire que si et seulement si 5 ¢ 1 2a du. 0 14 1. Soit f la fonction dé?nie de par f px, y q  5 xy   x2 y 2 0 si R2 dans R px, y q $ p0, 0q sinon.  Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 1998–1999 (a) La fonction f est-elle continue en p0, 0q ? (b) Rappeler la dérivée de Arcsin et en déduire son développement limité en 0 à l’ordre 5. (b) Prouver que f est partiellement dérivable en p0, 0q. 2. À l’aide des questions précédentes, prouver que pour x ¡ 0 voisin de 0, 2. Prouver la discontinuité en p0, 0q de la fonction f dé?nie sur R2 par f px, y q  5 si 0 sinon. Année 1998–1999 Exercice 3 (sur 2,5) Déterminer les extrema de la fonction f dé?nie sur R2 par f px, y q  1 3 3 2 1 2 x   x   y ¡ 4y. 3 2 2 Exercice 4 (sur 7) Soit f la fonction dé?nie sur R par f pxq  — 3 Qu’en est-il pour x   0 voisin de 0 ? px, y q $ p0, 0q 5x2 y x4 3y 2   sh x   Arcsin x   tan x. x3 ¡ 3x   2 16 novembre 1998 Exercice 1 (sur 3) Au fur et à mesure qu’une navette spatiale prend de l’altitude, le poids de l’astronaute diminue jusqu’à atteindre un état d’apesanteur. Le poids P pzq (en kg) d’un astronaute, pesant P0 à la surface de la terre, est à l’altitude z (en km) donné par P pzq  P0 et Cf sa courbe représentative. 1. En en déterminant une racine évidente, factoriser le polynôme P  X 3 ¡ 3X   2. ¢ où R  6400 km. R 2 R z 1. Soit p un réel strictement positif. Prouver que la solution de l’équation P pzq  p est 2. Étudier la fonction f en précisant notamment zR (a) ses ensembles de dé?nition, continuité et dérivation, £d P0 p ¡1  (b) ses limites aux bornes de son ensemble de dé?nition, 2. À quelle altitude l’astronaute ne pèserat-il plus que le quart de son poids initial ? (c) sa dérivée et ses variations résumées dans un tableau de variation. 3. À quelle altitude l’astronaute, pesant 63 kg à la surface de la terre, ne pèsera-til plus que 7 kg ? 3. Étudier localement Cf au voisinage du point d’abscisse x0  0. 4. À quelle altitude l’astronaute sera-t-il en état d’apesanteur complet ? Que penser du résultat ? 4. Étudier les branches in?nies de Cf . 5. Esquisser Cf . Exercice 2 (sur 5) Exercice 5 (sur 3,5) 1. 1. Donner les équivalents en 0 de (a) Calculer les développements limités en 0 à l’ordre 5 de tan et sh. 15 et ¡ 1, lnp1   t q, 2. Calculer 1 ¡ cos t, sin t, tan t. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 1998–1999 Exercice 5 (sur 6) On cherche à résoudre numériquement l’équation (a) lim xÑ0 sin 84 x sin 105 x e¡x  x. (b) (I.9) On donne pe2u ¡ 1q sin cu c lim u Ñ0 p7   u qptan u q2 lnp1   3 u q ¡ 0, 6   10¡2 , e¡ ¡ 0, 47   10¡2 e¡ ¡ 0, 54   10¡2 . e¡ 2 1 2 3 4 5 8 (c) ex ¡ e . xÑ1 ln x 1. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f dé?nie par lim f p x q  x ¡ e ¡x . Exercice 3 (sur 3) Les fonctions f ci-dessous peuvent-elles être prolongées par continuité en x0 ? 1. x0  0 et f : x ÞÝÑ 2. x0  2 et f : x ÞÝÑ On expliquera en particulier pourquoi f est une fonction strictement croissante sur R. 2. Prouver que l’équation (I.9) admet une solution unique a sur R, située dans l’intervalle s0, 1r. c x2   x2 ; x2 ¡ x 3. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à 10¡1 près de a et prouver que 0, 56 est une valeur approchée à 10¡1 près de a. c 3 ¡ 2x   5 ; x¡2 26 février 1999 3. x0  3π{2 et Exercice 1 (sur 6,5) f : x ÞÝÑ p1   sin xq tan2 x. 1. À l’aide d’intégrations par parties, déterminer » Exercice 4 (sur 3) Soit f la fonction dé?nie sur R par f pxq  p3x ¡ π q2 . 4 1 ¡ cosp3x ¡ π q 4 »3 0 2. Prouver que f est continue ou peut être prolongée par continuité sur l’ensemble R¡ »π et t cos 3t dt. 0 2. Au moyen d’un changement de variable, calculer 1. Déterminer l’ensemble de dé?nition Df de f . 4 pln sq2 ds dx 9   x2 » et t2 dt   2t   1 . Exercice 2 (sur 2) B π   k 2π , k € Z¦ . 12 3 1. Rappeler ce que signi?e y  Arccos x. 2. Rappeler l’expression de cos 2a en fonction de cos a. 16 Chapitre I. Énoncés des épreuves   I.4. Année 1998–1999 ¨ 3. Prouver que cos 2 Arccos 7  17 et in8 32 diquer précisément l’argument permettant d’en déduire que 2 Arccos 7 8 (b) Soit λ1 et λ2 deux réels strictement positifs. On pose A  Arccos 17 . 32 λ1 A 2. Déterminer la formule de TaylorLagrange en 0 à l’ordre 3 pour la fonction c f : x ÞÑ 1   x.  cos ? λ2 A  sin ?q. Prouver à l’aide de la question précédente que y  A cospX ¡ ? q. Exercice 5 (sur 6,5) Remarque I.4.1 On admettra dans la suite que cette dernière expression est valable pour tous λ1 et λ2 réels. (a) Calculer la solution générale de l’équation di?érentielle En déduire que la solution générale de l’équation (I.10) peut s’écrire π π y  Ae¡x cosp3x ¡? q, A € R  , ? €s¡ , r. 2 2 (I.10) et en déterminer la limite en  V. (b) Préciser la solution de l’équation (I.10) véri?ant 0  1. presp. y  λ1 cos X   λ2 sin X. y I ¡ 2xy  x. y p0q y I p0q (I.11) On pose, pour X réel, Exercice 4 (sur 2,5) Après avoir résolu l’équation sans second membre associée, résoudre l’équation di?érentielle 5 λ2 . λ1 i. Rappeler ce que signi?e l’égalité (I.11). ii. (Hors barème) En factorisant par λ2 (resp. par λ2 ) dans A, en 1 2 déduire que 1. Soit a et h deux réels, n un entier et f une fonction. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre n pour f au point a. y P   2y I   10y  0 λ2   λ2 1 2 ?  Arctan Exercice 3 (sur 2,5) 1. ˜ 11 juin 1999 2. En utilisant éventuellement le théorème Exercice 1 (sur 8,5) de la feuille annexe, déterminer une solution particulière puis, à l’aide de 1. On rappelle que, pour tout x réel, la question (1), la solution générale de l’équation di?érentielle e x ¡ e ¡x e x   e ¡x ch x  et sh x  . 2 2 y P   2y I   10y  37 cos 3x. Rappeler la relation fondamentale de la 3. (a) Soit ? un réel de s ¡ π , π r. Proutrigonométrie hyperbolique puis, rapide2 2 ver que 1   tan2 ?  1{ cos2 ? et exment, les principales propriétés, les dériprimer 1   cotan2 ? en fonction de vées première et seconde et la représensin ?. tation graphique des fonctions ch et sh. 17 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.4. Année 1998–1999 2. Calculer f p0, 0q et, pour tout x $ 0, f p2x, xq. La fonction f est-elle continue en p0, 0q ? 2. Prouver que la fonction sh est une bijection de R sur R. 3. Rappeler le théorème donnant la dérivée de la bijection réciproque f ¡1 d’une bijection f et, à l’aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, en déduire que, pour tout x réel, pArgsh xqI  c 1 1   x2 3. En revenant à la dé?nition, étudier la dérivabilité partielle de f en p0, 0q par rapport à x et par rapport à y. 4. Pour tout px, y q de R2 tel que x   y calculer fxI px, y q et fyI px, y q. . 4. Rappeler, pour α dans R, le développement limité à l’ordre 2 en 0 de Exercice 3 (sur 3) p1   u qα et déterminer le développement limité à l’ordre 4 en 0 de c 1 1   x2 1. (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 2. (b) Prouver que si x alors 0  . En déduire que celui de Argsh x à l’ordre 5 en 0 est Argsh x  x ¡ x3 3x5   40   opx5 q. (I.12) 6 ¡ 0 et 0   θ   1 1 p1   θxq5{2   1. (c) En appliquant la formule de TaylorLagrange, établir que pour tout x ¡ 0, 1  x x2 ¡ 2 8   c 1   x   1  x x2 x3 ¡   . 2 8 16 5. À l’aide du le développement limité à 2. Donner une valeur approchée de l’ordre 3 en 0 de Argsh x, étudier loca10¡3 près. lement au point d’abscisse 0 la fonction Exercice 4 (sur 3) Argsh. 6. À l’aide de l’égalité (I.12), déterminer un équivalent en 0 de la fonction Argsh et donner la nature de l’intégrale »4 0 Argsh x cx3 $ 0, c 1, 2 à 1. En en donnant la valeur exacte, prouver la convergence de l’intégrale »  V dx. 0 dx . 1   x2 2. Déterminer la nature de l’intégrale I dé?nie par Exercice 2 (sur 3) Soit f la fonction dé?nie de R2 dans R par f px, y q  5 x ¡y   I x y $ 0 x y si 0 sinon.  »  V 0 cx dx 1   x2 et, en justi?ant le calcul, déterminer en fonction de I l’expression de 1. 2 Représenter graphiquement l’ensemble @ px, y q € R2 ; x   y  0 . 18 »  V — ¡V x dx. 1   x2 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 1999–2000 5. x0   V et Exercice 5 (sur 2,5) Étudier les branches in?nies de la fonction f dé?nie sur R par f pxq  f pxq  px ¡ 1q3 . px   1q2 f pxq  ln px   1q ¡ ln x. Exercice 3 (sur 3) 2 décembre 1999 1. Rappeler les équivalents en 0 de Exercice 1 (sur 3,5) et ¡ 1, 1. Pour θ  0, π , π , π , π , rappeler les va6 4 3 2 leurs de cos θ et sin θ. 3 2 , z2  1¡i et z3  lim xÑ0 lim x f px q  3. x0  3 et f px q  Ñ0 lnp1   2xq . tan 3x lim Exercice 2 (sur 3,5) Pour chaque fonction f et chaque réel x0 indiqués, calculer lim xÑx0 f pxq. 2. x0  4 et 1 ¡ cos x , ex ¡ 1 ex ¡ e2 . xÑ2 sinpx ¡ 2q 3 ¡ 1; x tan t. 3. En posant éventuellement x  2   h, calculer (c) Déterminer les modules et argu4 ments de z1 z2 , z2 , z1 . z 1 x2 sin t, (b) (b) Déterminer la forme exponentielle de z1 , z2 , z3 . f px q  1 ¡ cos t, (a) (a) Déterminer (par le calcul ou géométriquement) les modules et arguments de z1 , z2 , z3 . 1. x0  0 et x0   V et lnp1   t q, 2. Calculer 2. On considère les nombres complexes c ¡1   i 2 c x   2 ¡ x   1; 6. x0   V et Année 1999–2000 z1  j  c 3   i. c Exercice 4 (sur 4) Soit la fonction f dé?nie sur R par f px q  x sin x . 1 ¡ cos x 1. Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble de dé?nition Df de f . x¡4 ; x2 ¡ x ¡ 12 2. Étudier la parité de f . c 3. Prouver que la fonction f peut être prolongée par continuité en 0. x 1¡2 ; x¡3 4. 4. x0  0 et f pxq  x ln x; 19 (a) Soit λ un réel et ? la fonction constante égale à λ sur R. En revenant à la dé?nition, prouver que, pour tout x réel, ? I pxq  0. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 1999–2000 (b) Soit λ un réel et u et v de deux fonc- 1er mars 2000 tions dérivables. Rappeler les dériExercice 1 (sur 8) vées de u   v, λu, uv et u . v (c) (Hors barème) Prouver que, pour tout x de Df , 1. Étude préliminaire. 1 ¡ cos x i. Prouver que l’ensemble de dé?nition D de la fonction v est r0, 4s. ii. Déterminer le maximum de v sur D. Exercice 5 (sur 6) 1. Le but de cette question est de prouver que 2 Arctan 1 3  Arctan 3 . 4 (I.13) (a) Rappeler la dé?nition de y  Arctan x. Adapter cette dé?nition au cas de l’égalité (I.13). (b) i. Rappeler l’expression de tan 2a en fonction de tan a et en déduire une expression simpli?ée de tanp2 Arctan 1 q. 3 ii. Rappeler le sens de variation de la fonction Arctan et en déduire un encadrement de 2 Arctan 1 . 3 (c) Conclure. 2 Arctan 3  π ¡ Arctan 3 4 dont on notera qu’elle équivaut à π   Arctan si 0 ¤ x   1 2x 1 x2 ¡ µ 1 b¡a »b a f pt q dt. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D. • t est exprimé en heure 3. (Hors barème) Plus généralement, prouver que 2x Arctan 1¡x2 i. Pourquoi v est-elle intégrable sur D ? ii. Calculer l’intégrale de v sur D au moyen d’une intégration par parties. Dé?nition I.5.1. iii. Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle valeur moyenne de f sur ra, bs la quantité µ dé?nie par • a est un paramètre réel strictement positif 3 π ¡ 2 Arctan 3  Arctan . 4 2 Arctan x  (b) 2. Étude concrète. Un motard réalise une expérience de vitesse sur une piste rectiligne d’extrémités A et B. Sa vitesse instantanée, exprimée en km/h, est donnée en fonction du temps par v pt q  c a t T ¡ t où 2. Prouver l’égalité 5 c (a) Pour t ¥ 0, on pose v pt q  2 t 4 ¡ t. sin x ¡ x f I px q  . • 0 et T sont les instants respectivement de départ en A et d’arrivée en B. (a) Calculer v p0q et v pT q puis déterminer l’instant tM de vitesse maximale ainsi que la vitesse maximale vM  v ptM q. si x ¡ 1. 20 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 1999–2000 (b) On désigne par x la distance parcourue depuis A et on rappelle qu’alors la fonction x est une primitive de la fonction v. Calculer xpT q et en déduire la vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB. (c) Prouver qu’il existe un instant au cours de l’expérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. (d) Application numérique. Sachant que A et B sont distants de 1 km et que la vitesse maximale atteinte est 200 km/h, déterminer T en secondes c puis V en km/h. On donne 15 3  c 26 et 80 3  139. 3. Donner une valeur approchée de lnp1, 1q à 10¡3 près. Exercice 4 (sur 2) Calculer, éventuellement au moyen d’un changement de variable, les intégrales suivantes. »1 0 » e2 et et   1 dt, e dx x pln xq3 . Exercice 5 (sur 3) On rappelle que, pour tout x dans fonction Argth satisfait Argth x  s ¡ 1, 1r, la 1 1 x ln . 2 1¡x 1. Soit x dans s¡ 1, 1r. Expliciter pArgth xqI . Exercice 2 (sur 3) 2. À l’aide d’une intégration par parties et d’un éventuel changement de variable, calculer 1. Après avoir résolu l’équation sans second membre associée, résoudre l’équation di?érentielle » 1{2 y I   pcos xqy  2 cos x. Argth x dx. 0 2. Résoudre l’équation di?érentielle y P   8y I   25y  0 13 juin 2000 et en chercher la solution y0 véri?ant Exercice 1 (sur 5) I y0 p0q  1 et y0 p0q  10. Exercice 3 (sur 4) 1. (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 3. (b) Prouver que si h ¡ 0 et 0   θ   1 alors 0   p1   θhq¡3   1. (c) En appliquant la formule de TaylorLagrange, établir pour tout h ¡ 0 l’inégalité h2 h¡ 2 2 3   lnp1   hq   h ¡ h2   h3 . 2. Pour quelles valeurs de h ¡ 0 cette inéga2 lité permet-elle d’a?rmer que h ¡ h est 2 une valeur approchée de lnp1   hq à 10¡3 près ? 21 1. Démontrer que, en 0, tan h oph3 q. 2.  h   h3   3 (a) Rappeler le développement limité de lnp1   t q à l’ordre 3 en 0. (b) Calculer le développement limité de lnp1   tan hq ¡ lnp1 ¡ tan hq à l’ordre 3 en 0. 3. On rappelle que tanpa   bq  tan a   tan b . 1 ¡ tan a tan b Déduire des questions précédentes le développement limité de lnptan xq à l’ordre 3 en π . 4 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.5. Année 1999–2000 Exercice 2 (sur 3,5) On dé?nit la fonction f sur R par f pxq  ˜ x2   e1{x 2 Exercice 4 (sur 1,5) Soit f la fonction dé?nie sur R2 par ¡1 et on note D et C les ensemble de dé?nition et courbe représentative de f . 1. (a) Rappeler le sens de variation de la fonction exponentielle et en déduire une minoration, pour tout x $ 2 0, de e1{x . (b) Prouver que D 2.  R¦ . f px, y q  5 px, y q $ p0, 0q 2x2 y x4 y 2 si 0 sinon.   1. Déterminer l’ensemble de dé?nition de f. 2. Étudier la continuité de f en p0, 0q puis en déterminer l’ensemble de continuité. (a) En procédant éventuellement au Exercice 5 (sur 5,5) changement de variable h  1{x, On désigne par f la fonction dé?nie sur R2 par prouver que f admet pour dévelop˜ pement limité généralisé au voisif px, y q  1 ¡ x2 y 2 . nage de  V : 1 f pxq  x   3 2x ¢   o x13  1. Déterminer puis représenter graphiquement l’ensemble de dé?nition D de f . . (b) Déterminer le développement limité généralisé à l’ordre 3 de f au voisinage de ¡V. 2. Déterminer l’ensemble des points critiques de f . (c) Étudier les branches in?nies de C . 3. Nota. Dans cette question, on ne cherchera pas à étudier le signe du discriminant Exercice 3 (sur 4,5) 1. ¡ P ?I  fxy (a) Prouver la convergence de l’intégrale »  V e¡s ds. i. Pour s ¥ 1, comparer e¡s et e ¡s . ii. En déduire la nature des intégrales ¡ fxP fyP . 2 2 Soit x0 un réel et M0 px0 , 0q un point critique de f . Préciser la nature de M0 en étudiant, pour px, y q dans D, le signe de f px, y q ¡ f px0 , 0q. Qu’en est-il des autres points critiques de f ? 0 (b) ©2 2 »  V e¡ ds s2 puis 1 »  V e¡ ds. s2 c c (b) Soit px, y q  p 22 , 22 q et p?x, ?y q p2.10¡2 , 4.10¡2 q. On pose c 2. Déterminer la nature de l’intégrale 0 (a) Soit px, y q un point de D. Calculer df px, y q.  ?f px, y q  f px  ?x, y  ?y q¡f px, y q. 0 »1 4. Sachant que 6  2, 45, estimer ?f px, y q à l’aide de df px, y q. lnp1   t q dt. t3 22 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année 2000–2001 (b) en 0 de Année 2000–2001 19 décembre 2000 Exercice 1 (sur 3,5) 1. (c) en 2 de lnpx ¡ 1q , sinpx ¡ 2q (a) Calculer x¡2 Ñ2 x 3 ¡ 8 lim x (b) Calculer c lim x Ñ6 . ˜ lim Ñ V Exercice 4 (sur 5,25) x 3¡3 . x¡6 (c) Calculer x 1. c lnpx   1q ¡ ln x. 6 8 1 x sin f : x ÞÝÑ x 70 q f pxq  Arccosp2x2 ¡ 1q. (a) Déterminer l’ensemble de dé?nition D de f . si x $ 0 si x  0. (b) Déterminer l’ensemble de dérivabilité D I de f . (c) Calculer, sur D I , la dérivée de f et en déduire qu’il existe des constantes K  et K¡ telles que i. si 0   x   1, f pxq  2 Arccos x   K  ii. si ¡1   x   0, f pxq  ¡2 Arccos x   K¡ 1 2, 2. sin 2x  sin x, 3. tan 3x  tanpx   π q. 3 (d) Déterminer les constantes K  et K¡ ci-dessus. (e) Ce qui a été obtenu à la question no 2c est-il valable pour x  ¡1, x  0 et x  1 ? Exercice 3 (sur 2,75) 1. Rappeler les équivalents en 0 de ex ¡ 1, lnp1   xq, 1 ¡ cos x, sin x, tan x. 2. À l’aide des équivalents, calculer les limites (a) en 0 de cx sin cx , x p2   x q  2. Soit f la fonction dé?nie sur R par Exercice 2 (sur 4,75) Résoudre dans R, puis dans s¡ π, πs, les équations suivantes. 1. cospx ¡ (a) Rappeler la dé?nition de y Arccos x. (b) À l’aide de cette dé?nition, prouver 3 que 2 Arccos 4  Arccos 1 . 8 2. Prouver la continuité en 0 de la fonction f dé?nie par π 8 c tan2 p πxq , 1 ¡ cos x (f) Retrouver le résultat de la question no 1b. Exercice 5 (sur 3,75) On cherche à résoudre numériquement l’équation e¡x  x. 23 (I.14) Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année 2000–2001 1. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f dé?nie par f p x q  x ¡ e ¡x . Exercice 3 (sur 2) On considère un réel c et l’équation di?érentielle On expliquera en particulier pourquoi f est une fonction strictement croissante sur R. 2. Prouver que l’équation (I.14) admet une solution unique a sur R. 3. Prouver que a appartient à l’intervalle s0, 1r. y P   2y I   cy  0 (I.15) 1. On pose c  ¡3. Réécrire et résoudre dans ce cas l’équation (I.15). 2. On pose c  1. Réécrire et résoudre dans ce cas l’équation (I.15). 3. On pose c  10. Réécrire et résoudre dans ce cas l’équation (I.15). 4. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à 10¡2 près de a et prouver que Exercice 4 (sur 3,5) 0, 57 est une valeur approchée à 10¡2 près de a. 1. On rappelle que, pour tout x réel, 4 mai 2001 ch x  Exercice 1 (sur 4,5) sh x  1. À l’aide d’intégrations par parties, déterminer » ρe¡ρ dρ et » π{4 θ dθ. cos2 θ ¡π{4 2. Calculer, au moyen éventuel de changements de variables, »3 0 dx x2   9 »1 et 0 dx . 4x2   4x   1 3. (Hors barème) Soit a un réel et f une fonction intégrable sur r¡a, as. On pose ³a I  ¡a f psq ds. (a) Prouver que, si f est paire, I ³a 2 0 f psq ds. (b) Prouver que, si f est impaire, I ¡I. Qu’en conclue-t-on ?   Exercice 2 (sur 1,5) Sur R ¦ , après avoir résolu l’équation sans second membre associée, résoudre par exemple à l’aide de la méthode de la variation de la constante, l’équation di?érentielle e x   e ¡x 2 e x ¡ e ¡x . 2 Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh. 2. Soit x0 un réel, h un réel non nul, n un entier naturel non nul et f une fonction numérique de variable réelle. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange pour f sur rx0 , x0   hs à l’ordre n. 3. Appliquer la formule de TaylorLagrange à la fonction sh en 0 à l’ordre 4. 4. (Hors barème) 1 (a) Sachant que ch 2   3{2, prouver 1 que pour tout h tel que 0 ¤ h ¤ 2 et pour tout θ dans s0, 1r, 0 ¤ ch θh   3{2. (b) En utilisant les deux questions précédentes, prouver que pour tout h dans r0, 1 s, 2 0 ¤ sh h ¡ 1 y I   y  x. x 24 ¢ h3 h  6  5 h   80 . Chapitre I. Énoncés des épreuves I.6. Année 2000–2001 • de l’équation di?érentielle (I.16) est y Repe x Qpxqq (c) On pose  10¡3 et a  0, 10016. 6 • de l’équation di?érentielle (I.17) est y  i. Prouver que α est une valeur Impe x Qpxqq 10¡5 1 ¡6 approchée de sh 10 à 80 10 près et préciser s’il s’agit d’une où valeur approchée par excès ou •  α   iω par défaut. ii. En quoi l’inégalité α ¡ a   • Q est la fonction polynôme complexe qu’on 7.10¡6 permet-elle d’a?rmer détermine en résolvant l’équation que a est une valeur approchée 1 de sh 10 à 10¡5 près ? aQP  p2a   bqQI  pa 2   b   cqQ  P α  10¡1   Exercice 5 (sur 8,5) sachant que 1. si a 1. Calculer le développement limité de pex ¡ 1q cos x à l’ordre 4 en 0. fQ  fP 2. Calculer le développement limité de ln cos x à l’ordre 6 en 0. 2. si a 2 3. Soit f la fonction dé?nie par f px q    b   c $ 0, alors 2 fQ  fP   1 x4   16 et C sa courbe représentative. 3. si a 2 4 x3  o ¢ 1 x3   2 et valQ  2. 1. Comparer, pour tout x ¥ 1, ln x et x. En déduire la nature de l’intégrale . (c) Déterminer le développement limité généralisé à l’ordre 3 de f au voisinage de ¡V. (d) Étudier les branches in?nies de C . »  V 1 1 dx. ln x 2. Étudier la convergence des intégrales Théorème I.6.1. Soit pa, b, cq un triplet de R¦ ¢ R2 , P une fonction polynôme et α et ω deux réels. On considère les équations di?érentielles ay P   by I   cy  P pxq eαx cos ωx ay P   by I   cy  P pxq eαx sin ωx. et valQ  1;  b  c  0 et 2a  b  0, alors (a) Étudier C localement au point fQ  fP d’abscisse 0. (b) En procédant éventuellement au changement de variable h  1{x, 15 juin 2001 prouver que f admet pour développement limité généralisé au voisi- Exercice 1 (sur 3,5) nage de  V : f pxq  x   valQ  0;  b  c  0 et 2a  b $ 0, alors — 4 et »  V 1 x x4 ¡ 1 (I.16) (I.17) Exercice 2 (sur 5,5) Alors, une solution particulière 25 dx et »  V 0 x dx. x4 ¡ 1 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année 2001–2002 ii. En posant u  h{k pour k $ 0, prouver que f p4   h, 3   k q ¡ f p4, 3q ¥ 0. iii. Quelle est la nature du point f p4, 3q pour f ? 1. (Question préliminaire) Prouver que, si q $ 1, alors n ¸    q  1 ¡¡ q 1 n 1 qk k 0 . 2. On ?xe k dans N et on pose Ik  » pk  1qπ Exercice 4 (sur 1,5) Résoudre dans R l’équation di?érentielle e¡x sin x dx. yI   kπ xy 1   x2 2x  1   x2 . (a) Au moyen d’une double intégration e ¡π par parties, prouver que I0  1 2 . Exercice 5 (sur 3,5) (b) Exprimer sinpt   kπq en fonction de sin t puis, au moyen d’un change1. Donner les développements limités à ment de variable, prouver que Ik  l’ordre 4 en 0 de et , lnp1   t q, cos t, sin t. ¡k e¡kπ I0 . p¡1q 2. — dé?nit la fonction f par f pxq On lnp1   x2 q. 3. On pose I  »  V e¡x sin x dx. (a) Prouver que le développement limité de f en 0 à l’ordre 3 est, si x est positif, 0 Prouver que I est absolument convergente et déduire des questions 1 et 2b 1 que I  2 . ¡ © 1 f pxq  x ¡ x3   o x3 . 4 (b) Étudier localement en 0 la courbe représentant f . Exercice 3 (sur 6) 1. Déterminer l’ensemble de dé?nition de la fonction dé?nie de R2 dans R par x y . f px, y q  ln x¡y 2. Soit f la fonction dé?nie de par  Année 2001–2002 10 décembre 2001 R2 dans R Exercice 1 (sur 6) Calculer les limites suivantes. f px, y q  x2   y 2 ¡ xy ¡ 5x ¡ 2y   9. 1. c (a) limxÑ V x2   x   1 ; (b) limxÑ¡V 7x 1¡2x 4 ; ¡x 5 4 (a) Calculer les dérivées premières et secondes de f . (b) On se propose de chercher si f présente un extremum. Prouver que f admet pour seul point critique le point p4, 3q. ¡8 (c) limxÑ2 xx¡2 ; 3  2x¡3 (d) limxÑ¡3 xx2  7x 12 ; 2 2. 3. 26 x 1 (b) limxÑ V ln x ¡ x ; (c) Soit h et k des réels. i. Calculer f p4   h, 3   k q. x ¡ ¡ cx 1 ; (a) limxÑ V c x (a) limxÑ0 lntan xxq ; p1  Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année 2001–2002 e (b) limxÑ2 lnpx¡e q . ¡1 x 2 Exercice 2 (sur 3) Résoudre dans R, puis dans s¡ π, πs, les équations   1. cos 3x ¡ π 6 ¨    cos x   π 4 ¨ Exercice 6 (Hors barème sur 2) Soit f la fonction dé?nie par f pxq  px ¡ 1q2 . Prouver, en revenant à la dé?nition, que limxÑ1 f pxq  0. 18 mars 2002 ; Exercice 1 (sur 4,5) 2. tan x  cotan x. 1. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Young à l’ordre n en a pour une fonction f . Exercice 3 (sur 2) Résoudre dans C l’équation z3  1. Exercice 4 (sur 4) Soit f la fonction dé?nie sur R par f px q  2. Déterminer les développements de Taylor-Young d’ordre 3 en 0 de sin x et tan x. En déduire 1 ¡ cos x 2 sin2 x sin x ¡ tan x . x Ñ0 x3 lim 1. Déterminer l’ensemble de dé?nition D de f . 3. (a) la parité de f ; (a) Déterminer les développements de Taylor-Young en 0 de ch x ¡ cos x d’ordres 2 et 3. (b) la périodicité de f . (b) En déduire 2. Étudier i. 3. Déterminer limπ f . ch x ¡ cos x , x Ñ0 x2 lim 4. Prouver que f peut être prolongée par continuité en 0. 5. Pour x % 0, r2πs, simpli?er l’expression de f pxq. ii. ch x ¡ cos x ¡ x2 , x Ñ0 x2 lim Exercice 5 (sur 5) Soit f la fonction dé?nie sur R par iii. ch x ¡ cos x ¡ x2 . x Ñ0 x3 f pxq  x5   x2 ¡ 1. lim 1. Factoriser a5 ¡ b5 par a ¡ b, en déduire le taux de variation de f puis prouver que f est strictement croissante sur r0,  Vr. Exercice 2 (sur 2,5) L’objet de cet exercice est de prouver que, pour 2. Prouver que l’équation f pxq  0 admet tout x ¥ 1, une unique solution x0 sur s0, 1r. ¡ © — Argch x  ln x   x2 ¡ 1 . (I.18) 3. Prouver (a) que 103 est une valeur approchée 128 fractionnaire à 10¡2 près de x0 ; On rappelle que (b) que 0, 805 est une valeur approchée à 10¡2 près de x0 . 27 y  Argch x ðñ 5 ch y  x y ¥ 0. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année 2001–2002 1. Rappeler l’ensemble de dé?nition de la fonction Argch. 2. (a) Prouver que © x ¡ c 2 si ln x   x ¡ 1 ¥ 0. ¥ 4. 1 alors 2 ¡ h2   lnp1   hq ¡ h   0. (b) En revenant à la dé?nition de la fonction & ch, calculer ¡ c © ch ln x   x2 ¡ 1 pour x ¥ 1. (b) En déduire une valeur approchée de lnp1, 1q à 10¡2 près. 5. 3. Déduire de ce qui précède la relation (I.18) pour x ¥ 1. (a) En appliquant la formule de TaylorLagrange à l’ordre 1, établir l’encadrement (a) En appliquant la formule de TaylorLagrange à l’ordre 2, établir l’encadrement ¢ 0   lnp1   hq¡ h ¡ Exercice 3 (sur 1,5) Soit f une fonction et a et h deux réels. h2 2  3   h3 . (I.19) 1. Rappeler le théorème des accroissements ?nis pour f sur l’intervalle ra, a   hs. 2. Pour n entier naturel, rappeler, avec ses hypothèses, la formule de TaylorLagrange pour f à l’ordre n sur l’intervalle ra, a   hs. (b) En déduire une valeur approchée de lnp1, 1q à 10¡3 près. (c) Pour quelles valeurs de h ¡ 0 l’encadrement (I.19) permet-il d’a?rmer 2 que h ¡ h est une valeur approchée 2 de lnp1   hq à 10¡3 près ? 3. Le théorème des accroissements ?nis Exercice 5 (sur 6) peut-il être considéré comme un cas Soit f la fonction dé?nie sur R par particulier de la formule de TaylorLagrange ? Préciser. 1 ¡ x2 f pxq  Arcsin . 1   x2 Exercice 4 (sur 5,5) 1. Prouver que, pour tout x réel, Soit f la fonction dé?nie sur R par 1 ¡ x2 ¡1 ¤ 1   x2 ¤ 1. f pxq  lnp1   xq et h un réel strictement positif. En déduire l’ensemble de dé?nition de f . 1. Déterminer, pour tout entier naturel non nul n et tout x ¡ ¡1, l’expression de f pnq pxq. 2. Soit n entier naturel non nul. Prouver que si 0   θ   1 alors 0   p1   θhq¡n   1. 3. (a) En appliquant le théorème des accroissements ?nis à f sur l’intervalle r0, hs, établir l’encadrement ¡h   lnp1   hq ¡ h   0. (b) En déduire une valeur approchée de lnp1, 1q à 10¡1 près. 28 2. Déterminer l’ensemble de continuité de f. 3. Déterminer l’ensemble d’étude de f . 4. Calculer les valeur(s) et/ou limite(s) de f aux bornes de son ensemble d’étude. 5. Rappeler l’ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable ; en déduire l’ensemble de dérivabilité de f et prouver que f I px q  5 ¡     2 1 x2 2 1 x2 si x ¡ 0 si x   0. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.7. Année 2001–2002 6. Étudier les variations de f et en esquisser la courbe représentative C . En déduire que celui de Argsh x à l’ordre 5 en 0 est 7. Pour x ¥ 0, utiliser l’expression de f I pxq pour déterminer une expression plus simple de f pxq. Argsh x  x ¡ x3 3x5   40   opx5 q. (I.20) 6 5. À l’aide du le développement limité à l’ordre 3 en 0 de Argsh x, étudier localement au point d’abscisse 0 la fonction Argsh. 8. Construire les courbes représentatives des fonctions Arctan, ¡ Arctan, ¡2 Arctan et f en précisant, pour f , les points et les tangentes remarquables. 6. À l’aide de l’égalité (I.20), déterminer un équivalent en 0 de la fonction Argsh et donner la nature de l’intégrale 17 juin 2002 »4 Exercice 1 (sur 8,5) 0 Argsh x cx3 dx. 1. On rappelle que, pour tout x réel, ch x  sh x  e x   e ¡x 2 e x ¡ e ¡x . 2 Exercice 2 (sur 3) Soit f la fonction dé?nie de R2 dans R par f px, y q  Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique puis, rapidement, les principales propriétés, les dérivées première et seconde et la représentation graphique des fonctions ch et sh. 1   x2 . 1  $ 0, $ 0, Exercice 3 (sur 3) et déterminer le développement limité à l’ordre 4 en 0 de x2 sinon. 4. Pour tout px, y q de R2 tel que x   y calculer fxI px, y q et fyI px, y q. p1   u qα 1 0 3. En revenant à la dé?nition, étudier la dérivabilité partielle de f en p0, 0q par rapport à x et par rapport à y. 4. Rappeler, pour α dans R, le développement limité à l’ordre 2 en 0 de c x y $ 0 si 2. Calculer f p0, 0q et, pour tout x f p2x, xq. 3. Rappeler le théorème donnant la dérivée de la bijection réciproque f ¡1 d’une bijection f et, à l’aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, en déduire que, pour tout x réel, 1   x y 1. Représenter graphiquement l’ensemble 2 @ px, y q € R2 ; x   y  0 . 2. Prouver que la fonction sh est une bijection de R sur R. pArgsh xqI  c 5 x¡y 1. (a) Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 2. (b) Prouver que si x alors 0  . 29 1 ¡ 0 et 0   θ   1 p1   θxq5{2   1. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année 2002–2003 1. Résoudre dans R l’équation (c) En appliquant la formule de TaylorLagrange, établir que pour tout x ¡ 0, 1  x x2 ¡ 2 8   c 1   x   1  ¡ cos 3x ¡ x x2 x3 ¡   . 2 8 16 2. Donner une valeur approchée de 10¡3 près. 2. Résoudre dans l’équation c 1, 2 à Exercice 4 (sur 3) 0  1. dx . 1   x2 »  V 0 s ¡ π, πs, (a) Calculer les limites en 0  et en  V de f : x ÞÑ x   1{x. (b) Calculer x2 ¡ 8x   16 . x Ñ4 x3 ¡ 64 lim cx dx 1   x2 (c) Calculer lim x et, en justi?ant le calcul, déterminer en fonction de I l’expression de Ñ3 c x 1¡2 . x¡3 (d) Prouver que l’expression x2 ¡4x¡45 est factorisable par x ¡ 9. En déduire »  V — ¡V puis dans Exercice 3 (sur 8) 2. Déterminer la nature de l’intégrale I dé?nie par I R, cos 2x  sin 2x. 1. En en donnant la valeur exacte, prouver la convergence de l’intégrale »  V ¡ © π©  cos 2x   π . 6 3 x dx. 1   x2 c 3¡ x . lim xÑ9 x2 ¡ 4x ¡ 45 Exercice 5 (sur 2,5) Étudier les branches in?nies de la fonction f dé?nie sur R par 2. (a) Rappeler les équivalents en 0 de ex ¡ 1, lnp1   xq, 1 ¡ cos x, sin x, tan x. (b) Calculer les limites quand x Ñ 0 de x i. ; lnp1   xq x 1 ¡ cos 3 ii. x pe ¡ 1q sin 2x . px ¡ 1q3 . f pxq  px   1q2 Année 2002–2003 (c) Calculer la limite quand x Ñ 1 ¡ tan x . cos 2x 18 décembre 2002 π 4 de Exercice 1 (sur 1) Exprimer sans valeur absolue la fonction f dé?nie par Exercice 4 (sur 5) On cherche à résoudre numériquement l’équaf pxq  2x   4 ¡ 3x ¡ 9 tion Exercice 2 (sur 3) x4   4x  1. (I.21) 30 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année 2002–2003 1. Étudier sur R, sans la représenter graphiquement, la fonction f dé?nie par 3. (a) Au moyen d’un changement de variable, calculer »3 f pxq  x4   4x ¡ 1. 0 2. Prouver que l’équation (I.21) admet une solution unique x0 sur l’intervalle s0, 1r. (b) 3. Déterminer une valeur approchée fractionnaire à 10¡2 près de x0 et prouver que 0, 49 est une valeur approchée à 10¡2 près de x0 . dx x2 i. Rappeler l’expression de cos 2α en fonction de cos α et en déduire une expression de cos2 α en fonction de cos 2α. ii. Au moyen du changement de variable t  tan α, calculer »1 Exercice 5 (sur 3) Soit f la fonction dé?nie sur R par f pxq  5 x cos 0  1¨ x   9. 0 si x $ 0 si x  0. p1   t2 q2 (a) pour x positif, »x e ct dt 0 2. Calculer f I pxq pour x $ 0. (b) » 3. La fonction f est-elle dérivable en 0 (on justi?era l’a?rmation) ? sin3 t dt. cos2 t Exercice 2 (sur 3) Résoudre dans R les équations di?érentielles suivantes et en déterminer les solutions valant 1 en 0. 9 avril 2003 Exercice 1 (sur 7) 1. y I   2y  0, 1. Déterminer des primitives de 2. dy dx   y  ¡x, 3. (a) dx dt   1 x  t2 1 1 . t ¡ 2 cos x sin x (b) — 1   x2 . Exercice 3 (sur 3) Le but de cet exercice est de prouver que 2. En intégrant par parties, calculer 1 2 Arcsin 2 (a) »  Arcsin c 3 . 2 (I.22) 1. Rappeler la dé?nition de y  Arcsin x. Adapter cette dé?nition au cas de l’égalité (I.22). θ dθ cos2 θ 2. (b) »e . 4. Calculer 1. La fonction f est-elle continue en 0 (on justi?era l’a?rmation) ? x dt x2 ln x dx. 1 31 (a) On rappelle que, pour tout x dans c r¡1, 1s, cos pArcsin xq  1 ¡ x2 . Déterminer une expression simpli?ée de sinp2 Arcsin 1 q. 2 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année 2002–2003 3. Exprimer la dérivée f I de f en en simpli?ant au maximum l’expression. (b) Rappeler le sens de variation de la fonction Arcsin et en déduire un encadrement de 2 Arcsin 1 . 2 4. Déduire de la question précédente que, si x € r¡ 1 , 1 s, 2 2 3. Conclure. f pxq  3 Arcsin x. Exercice 4 (sur 4) 1. Prouver que, pour tout h dans s0, 1r, ¡1   ¡ 0 et tout θ ¡1   0. p1   θhq4 13 juin 2003 Exercice 1 (sur 4) 1. Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 3 de 2. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 2. 3. lnp1   xq . sin x (a) En appliquant la formule de TaylorLagrange à la fonction f : x ÞÑ 1 1 x 2. Soit f la fonction dé?nie sur R par d f px q  , déduire de la question précédente que, pour tout h ¡ 0, 1 ¡ h   h2 ¡ h3   1 1 h   1 ¡ h   h2 . . (b) Étudier les branches in?nies de f . Exercice 2 (sur 2) (c) Donner une valeur approchée de 1 ¡3 près. 1,09 à 10 1. Résoudre dans R les équations di?érentielles suivantes de fonction inconnue y et de variable x : (a) y P ¡ 5y I   6y  0 ; (b) 4y P ¡ 4y I   y  0 ; (c) y P ¡ 4y I   5y  0 ; de cette dernière équation, déterminer la solution telle que Exercice 5 (sur 4) Soit f la fonction dé?nie par f pxq  Arcsinp3x ¡ 4x3 q. 5 1. Factoriser les polynômes ¡ 3x   1 et 4x3 ¡ 3x ¡ 1 pour prouver que 4x3 4x3 ¡ 3x   1 4x3 ¡ 3x ¡ 1 x¡1 (a) Déterminer l’ensemble de dé?nition D de f . (b) Pour quelles valeurs de h l’inégalité précédente permet-elle d’a?rmer que 1 ¡ h   h2 est une valeur 1 approchée de 1 h à 10¡3 près ? 5 x3 ¥ 0 ðñ ¤0 5 x 1 x¡1 ¥0 ¤ 0. 2. En utilisant la question 1, déterminer l’ensemble de dé?nition de f . 32 y p 0q  0 y I p0q  1. 2. (Hors barème) Résoudre, en s’aidant éventuellement du Théorème 1 page suivante, l’équation de fonction inconnue x et de variable t xP   x  2 sin t. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.8. Année 2002–2003 Exercice 3 (sur 4) 4. Rappeler le développement limité à l’ordre 2 en 0 de 1. Déterminer la nature de l’intégrale »  V 1 1 1¡u x dx. x4   1 et déterminer le développement limité à l’ordre 5 en 0 de 2. Déterminer la nature de l’intégrale »  V 0 e ¡x cx dx. 1 1 ¡ x2 Exercice 4 (sur 2) En déduire que celui de Argth x à l’ordre 6 en 0 est 1. Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble de dé?nition D de la fonction f dé?nie de R2 dans R par f px, y q  . Argth x  x   x3 x5   5   opx6 q. (I.23) 3 ˜ x3 ¡ y. 2. Soit f la fonction dé?nie de par 5. À l’aide du développement limité à l’ordre 3 en 0 de Argth x, étudier localement au point d’abscisse 0 la fonction Argth. R2 dans R f px, y q  x2   y 2 . 6. À l’aide de l’égalité (I.23), déterminer un équivalent en 0 de la fonction Argth et donner la nature de l’intégrale Déterminer l’unique point critique px0 , y0 q de f et prouver que f y atteint un extremum qu’on précisera. » Exercice 5 (sur 8) On rappelle que, pour tout x réel, 1 2 Argth x 0 e x   e ¡x , 2 e x ¡ e ¡x , sh x  2 sh x th x  . ch x 1. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique. ch x  cx3 dx. Théorème 1. Soit pa, b, cq un triplet de R¦ ¢ R2 , P une fonction polynôme et α et ω deux réels. On considère les équations di?érentielles ay P   by I   cy  P pxq eαx cos ωx ay P   by I   cy  P pxq eαx sin ωx. (I.24) (I.25) 2. Prouver que la fonction th est une bijecAlors, une solution particulière tion de R sur s ¡ 1, 1r. 3. Rappeler le théorème donnant la dérivée de la bijection réciproque f ¡1 d’une bijection f et, à l’aide de la relation fondamentale de la trigonométrie hyperbolique, en déduire que, pour tout x dans s ¡ 1, 1r, 1 pArgth xqI  1 ¡ x2 . • de l’équation di?érentielle (I.24) est y Repe x Qpxqq • de l’équation di?érentielle (I.25) est y Impe x Qpxqq où • 33  α   iω   Chapitre I. Énoncés des épreuves I.9. Année 2003–2004 • Q est la fonction polynôme complexe qu’on et détermine en résolvant l’équation aQP  p2a   bqQI  pa 2   b   cqQ  P sachant que 1. si a 2. si a 3. si a   b   c $ 0, alors fQ  fP et valQ  0; 2   b   c  0 et 2a   b $ 0, alors fQ  fP   1 et valQ  1; 2   b   c  0 et 2a   b  0, alors fQ  fP   2 et valQ  2. 2 ln x Ñ1 sinpx ¡ 1q lim x . Exercice 3 (sur 4) Résoudre dans R, puis dans s¡ π, πs, les équations suivantes. 1 1. cospx ¡ π q  2 , 8 2. sin 2x  sin x, 3. tan 3x  tanpx   π q. 3 Exercice 4 (sur 1) Soit y un réel de s ¡ π , π r. 2 2 1. Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que Année 2003–2004 1   tan2 y  16 décembre 2003 1 . cos2 y Exercice 1 (sur 3) 2. Rappeler l’expression de sin 2y en fonction de sin y et cos y puis en déduire que 1. Calculer sin 2y  2 tan y cos2 y. x¡4 xÑ4 x2 ¡ x ¡ 12 lim 3. Déduire de ce qui précède que et x lim Ñ V lnpx   1q ¡ ln x sin 2y  2 tan y . 1   tan2 y (I.26) 2. Étudier la continuité, par prolongement Exercice 5 (sur 10) éventuel, de la fonction f dé?nie par Soit f la fonction dé?nie sur R par c x 1¡2 ¢  f px q  2x x¡3 f pxq  Arcsin . 1   x2 2   ab   b2 q et en dé3. Développer pa ¡ bqpa On notera Df l’ensemble de dé?nition et Cf la duire cx courbe représentative de f . 1¡ 3 lim . 1. Le but de cette question est de détermix Ñ1 1 ¡ x ner Df . On pourra s’aider des questions Exercice 2 (sur 2) suivantes. Calculer, par exemple en utilisant les équiva(a) i. Résoudre les équations lents, lim xÑ0 pex c 1q tan cx ¡ x sin 2x 1   x2 x 2 34 1 et 2x 1   x2  ¡1. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.9. Année 2003–2004 ii. Prouver que, pour tout x réel, 2x 1   x2 ¤ 1. 2x 1   x2 (on s’aidera de l’égalité (I.26 page précédente) de la question 3 page précédente de l’exercice 4 page précédente). ¥ ¡1. (b) On considère un réel x tel que x ¡ 1. De même, en revenant à la dé?nition de l’arc sinus, exprimer de façon équivalente, puis prouver l’égalité et (b) Rappeler l’ensemble de dé?nition de la fonction Arcsin et déduire Df des questions précédentes. 2. π ¡ 2 Arctan x  Arcsin (a) Tracer, rapidement, l’allure de la courbe représentative de la fonction Arcsin. 2x 1   x2  (on s’aidera de l’égalité (I.26) de la question 3 page précédente de l’exercice 4 page précédente). (b) Rappeler la parité de la fonction Arcsin puis étudier celle de f . (c) À l’aide de l’égalité (I.27), tracer l’allure de Cf . 3. Calculer f p1q et lim  V f . 4. ¢ (a) Rappeler l’ensemble sur lequel la fonction Arcsin est dérivable et, en 7 avril 2004 s’aidant de la question 1(a)i page précédente, en déduire le sous- Exercice 1 (sur 3) ensemble de R  sur lequel f est dérivable. 1. Calculer l’intégrale (b) On pose » 2 c 3x   1 dx. 2x . u px q  x   3x ¡ 2 1   x2 Calculer u I pxq. 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales (c) Prouver que f I pxq  5 2 1 x2 2 1 x2   ¡  » si 0 ¤ x ¤ 1, t e dt, si x ¡ 1. f px q  2 Arctan x π ¡ 2 Arctan x 3. Calculer, éventuellement au moyen d’un changement de variable, les intégrales suivantes. »1 si 0 ¤ x ¤ 1, si x ¡ 1. 0 (I.27) (a) On considère un réel x tel que 0 ¤ x ¤ 1. En revenant à la dé?nition de l’arc sinus, exprimer de façon équivalente, puis prouver l’égalité 2 Arctan x  Arcsin ¢ 2x 1   x2 Arctan x dx. 0 5. Le but de cette question est de prouver que 5 »1 2t et et   1 » e2 dt, e dx x pln xq3 . Exercice 2 (sur 2,5)  1. Après avoir résolu l’équation sans second membre associée, résoudre l’équation di?érentielle y I ¡ 3x2 y  x2 . 35 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.9. Année 2003–2004 2. Résoudre l’équation di?érentielle 3. Déterminer la nature de l’intégrale y P ¡ 10y I   41y  0. »  V 0 Exercice 3 (sur 5) 1. Prouver que, pour tout h dans s0, 1r, ¡ 0 et tout θ 1 x dx. 4   x3 Exercice 5 (sur 5,5) ¡1   0. p1   θhq4 1. Rappeler l’ensemble de dé?nition de la fonction Argch. Rappeler à quoi équivaut y  Argch x. 2. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 2. 2. Le but de cette question est de prouver que ¡1   3. (a) En appliquant la formule de TaylorLagrange à la fonction f : x ÞÑ 1 1 x , déduire de la question précédente que, pour tout h ¡ 0, 1 ¡ h   h2 ¡ h3   1 1 h 5   1 ¡ h   h2 . 5 (c) dx . xα (b) Soit a et b deux réels tels que a   b. Rappeler l’ensemble des réels α pour lesquels converge l’intégrale »b a dx pb ¡ xqα . 3 y  Argch x x¡1 pey q2 ¡ 2xey   1  0 y ¡ 0. i. On considère x ¡ 1. Prouver que l’ensemble des solutions de l’équation X 2 ¡ 2xX   1  0, d’inconnue X, est l’ensemble 3 x  — x2 ¡ 1, x ¡ — A x2 ¡ 1 . ii. (Hors barème) Prouver que l’ensemble des solutions de l’inéquation 5 c x ¡ x2 ¡ 1 ¡ 1 x¡1 est l’ensemble vide. En déduire que si x ¡ 1 et y ¡ 0 alors l’égac lité ey  x ¡ x2 ¡ 1 n’a jamais lieu et conclure. 2. Déterminer la nature de l’intégrale »  V © x2 ¡ 1 . si et seulement si (a) Soit a un réel strictement positif. Rappeler l’ensemble des réels α pour lesquels converge l’intégrale a — (b) Dans toute la suite, on suppose x ¡ 1. Prouver que Exercice 4 (sur 4) »  V Argch x  ln x   (a) Véri?er que la relation précédente est vraie pour x  1. (b) Donner une valeur approchée de 1 ¡3 près. 1,09 à 10 1. ¡ dx ¥ 1, 1 x dx. 4   x3 36 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.9. Année 2003–2004 3. Soit f la fonction dé?nie sur R par 8 juin 2004 f pxq  Exercice 1 (sur 3,5) Soit f la fonction dé?nie de R2 dans R par f px, y q  6 2 8 xy 7 x2   y2 0 si x2 esin x ln cos 6x dont la courbe représentative est notée C. px, y q $ p0, 0q sinon. (a) Déduire de la question précédente que le développement limité en 0 à l’ordre 2 de f est 1. Déterminer l’ensemble de dé?nition D de f . ¢ ff  (a) Calculer fx px, y q en tout point px, y q $ p0, 0q. 1 11 f px q  ¡ 1   x ¡ x2   opx2 q . 18 2 (b) En revenant à la dé?nition, prouver que 2. (b) Donner l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0 ainsi que les positions relatives de C et T . ff p0, 0q  0. fx (c) i. Vers quel point tend lorsque x Ñ 0 ? ii. Calculer px, 2xq Exercice 3 (sur 2,5) Soit f la fonction dé?nie sur R par px ¡ 1q3 . px   1q2 f px q  ff px, 2xq. x Ñ0 f x lim ff La fonction fx est-elle continue en p0, 0q (justi?er) ? Étudier les branches in?nies de la courbe représentative C de f . Exercice 4 (sur 3,5) Exercice 2 (sur 7,5) 1. Prouver que, pour tout x réel, 1. Donner les développements limités à l’ordre 4 en 0 des fonctions (a) t ÞÝÑ et ; lnp1   ch xq ¡ ln 2 ¥ 0. 2. À l’aide d’un développement limité, établir que (b) t ÞÝÑ lnp1   t q ; (c) t ÞÝÑ cos t ; lnp1   ch xq ¡ ln 2 x Ñ0 x2 (d) t ÞÝÑ sin t. lim 2. Prouver que le développements limités en 0 1 x  x2 2   o px 2 q . 3. Déterminer la nature de l’intégrale » ¡18 x ¡ 108 x   opx q. 4 lnp1   ch xq ¡ ln 2 3 (b) de ln cos 6x à l’ordre 4 est 2 et en déduire un équivalent en 0 de p cxq7 (a) de esin x à l’ordre 2 est 1 4 4 π 2 0 37 lnp1   ch xq ¡ ln 2 p cxq7 3 dx. Chapitre I. Énoncés des épreuves I.10. Année 2004–2005 Exercice 5 (sur 3) Soit R la fonction d’ensemble de départ est dé?nie par ¡ Rpρ, θ q  ln 16 ¡ ρ2 ¡ θ 2 ©¡ 2. Calculer R2 et (a) ©& ρ2   θ 2 ¡ 4 lim xÑ0 sin 84 x sin 105 x lim xÑ0 . pex c 1q tan cx ¡ (b) 1. Préciser et représenter graphiquement dans le plan l’ensemble de dé?nition DR de R. 2. On rappelle que la di?érentielle dRpρ, θ q de R, en un point pρ, θ q où R est partiellement dérivable, est dé?nie par (c) x x sin 2 pe2u ¡ 1q sin cu c u Ñ0 p7   u qptan u q2 lnp1   3 u q 2 fR pρ, θq dρ   fR pρ, θq dθ. dRpρ, θ q  fρ fθ Calculer dRpρ, θ q. lim (d) ex ¡ e . xÑ1 ln x lim Année 2004–2005 Exercice 3 (sur 3,5) Les fonctions f ci-dessous peuvent-elles être prolongées par continuité en x0 ? 5 janvier 2005 Exercice 1 (sur 2) 1. x0  0 et 1. Calculer f : x ÞÝÑ (a) lim x Ñ 4 x2 x¡4 ¡ x ¡ 12 2. x0  2 et f : x ÞÝÑ (b) x lim Ñ V lnpx   1q ¡ ln x. c 1¡ 3 x lim . x Ñ1 1 ¡ x f : x ÞÝÑ p1   sin xq tan2 x. Exercice 4 (sur 4) Résoudre dans R, puis dans s¡ π, πs, les équations suivantes. 1. sinpx ¡ π q  1 , 8 2 Exercice 2 (sur 4) 2. cos 2x  cos x, 1. Donner les équivalents en 0 de e ¡ 1, lnp1   t q, c 3 ¡ 2x   5 ; x¡2 3. x0  3π{2 et 2. Développer pa ¡ bqpa2   ab   b2 q et en déduire t c x2   x2 ; x2 ¡ x 1 ¡ cos t, sin t, tan t. 38 3. tan 3x  tanpx   π q. 3 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.10. Année 2004–2005 Exercice 5 (sur 6,5) Soit f la fonction dé?nie sur R par f pxq  x 1. (e) »   x ¡ 1. Factoriser b5 ¡ a5 par b ¡ a, en déduire le 5 2 ¡π 4 3. taux de variation de f puis prouver que f est strictement croissante sur r0,  Vr. 2. Prouver que l’équation f pxq  0 admet une unique solution x0 sur s0, 1r. 3. Prouver (a) que 103 est une valeur approchée 128 fractionnaire à 10¡2 près de x0 ; 1. cos t 1 ¡ sin2 t dt. (a) Rappeler les formules d’Euler. (b) À l’aide des formules d’Euler, linéariser puis déterminer les primitives de sin3 x. (c) Reprendre les calculs en remar  ¨ quant que sin3 x  1 ¡ cos2 x sin x. » ln t dt 2. pour n dans N » 28 avril 2005 t n ln t dt Exercice 1 3. 1. Pour une fonction dérivable u, donner les primitives de uI cos2 u x sin 2x dx uI . 1   u2 et » 4. » s ch2 s 2. Déterminer 5. (a) x3    1 c ¡ x dx x ¡ dx » Arctan x dx 6. (b) » — Exercice 2 À l’aide d’intégrations par parties, calculer (b) que 0, 805 est une valeur approchée à 10¡2 près de x0 . »¢ π 4 © » 1{2 ¡1{2 x 1   x2 dx pArccos xq2 dx. Exercice 3 À l’aide de changements de variable, calculer (c) » — x3   1 x4   4x   9 1. dx 0 dx x2   9 et, pour a dans R¦ , (d) » »3 »a e2s ds 3   e2s 0 39 dx x2   a2 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.10. Année 2004–2005 Exercice 2 2. »3 1 dx px   1qcx . 1. Après avoir résolu l’équation sans second membre associée, résoudre l’équation di?érentielle Exercice 4 y I ¡ 3x2 y  x2 . 1. Résoudre l’équation di?érentielle 2. Résoudre l’équation di?érentielle y I   pcos xqy  2 cos x y P ¡ 10y I   41y  0. par exemple après en avoir résolu l’équaExercice 3 tion sans second membre associée. 2. Résoudre l’équation di?érentielle 1. Soit α un réel de s ¡ π , π r. 2 2 y P   8y I   25y  0 et en chercher la solution y0 véri?ant I y0 p0q  1 et y0 p0q  10. Exercice 5 Soit a un réel et f une fonction intégrable sur ³a r¡a, as. On pose I  ¡a f psq ds. 1. Prouver que, si f ³a 2 0 f psq ds. est paire, I 2. Prouver que, si f est impaire, I Qu’en conclue-t-on ?  (a) Rappeler la relation fondamentale de la trigonométrie circulaire et en déduire que 1   tan2 α  (b) Rappeler l’expression de sin 2α en fonction de sin α et cos α et en déduire que sin 2α  2 tan α cos2 α.  ¡I. (c) Déduire de ce qui précède que sin 2α  12 mai 2005 Exercice 1 On rappelle que, pour tout x dans fonction Argth satisfait Argth x  s ¡ 1, 1r, la 2 tan α . 1   tan2 α 2. On pose t  tanpx{2q. (a) Pour une fonction dérivable u, rappeler les expressions de la dérivée de la fonction tan u et en déduire que 1 1 x ln . 2 1¡x 1. Soit x dans s ¡ 1, 1r. Prouver que dt  1 pArgth xqI  1 ¡ x2 . 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer » 1{2 1 . cos2 α Argth x dx. (b) À l’aide de la question (1c), exprimer sin x en fonction de t. 3. On pose I 0 40 1 p1   t2 q dx. 2  » π 2 0 dx . 1   sin x Chapitre I. Énoncés des épreuves I.10. Année 2004–2005 (a) En utilisant le changement de variable t  tanpx{2q, établir que I  »1 0 2 dt p1   t q2 . (b) À l’aide du changement de variable permettant d’a?rmer que I 2 »2 1 du , u2 calculer I. 1. Calculer v p0q et v pT q puis déterminer l’instant tM de vitesse maximale ainsi que la vitesse maximale vM  v ptM q. 2. On désigne par x la distance parcourue depuis A et on rappelle qu’alors la fonction x est une primitive de la fonction v. Calculer xpT q et en déduire la vitesse moyenne V du motard sur le parcours AB. 3. Prouver qu’il existe un instant au cours de l’expérience auquel la vitesse instantanée du motard égale sa vitesse moyenne. Exercice 4 (Étude préliminaire) c Pour t ¥ 0, on pose v pt q  2 t 4 ¡ t. 1. Prouver que l’ensemble de dé?nition D de la fonction v est r0, 4s. 2. Déterminer le maximum de v sur D. 3. • 0 et T sont les instants respectivement de départ en A et d’arrivée en B. (a) Pourquoi v est-elle intégrable sur D? 4. Application numérique. Sachant que A et B sont distants de 1 km et que la vitesse maximale atteinte est 200 km h¡1 , déterminer T en secondes puis V en km h¡1 . c c On donne 15 3  26 et 80 3  139. (b) Prouver, au moyen d’une intégra- 15 juin tion par parties, que l’intégrale de Exercice 1 v sur D vaut 256 . 15 Dé?nition I.10.1. (c) Soit f une fonction intégrable sur un intervalle ra, bs. On appelle valeur moyenne de f sur ra, bs la quantité µ dé?nie par µ 1 b¡a »b a f pt q dt. Déduire de la question précédente la valeur moyenne V de v sur D. 2005 1. Rappeler, avec ses hypothèses, la formule de Taylor-Lagrange en 0 à l’ordre 3. 2. Prouver que si h ¡ 0 et 0 0   p1   θhq¡3   1.   θ   1 alors 3. En appliquant la formule de TaylorLagrange, établir pour tout h ¡ 0 l’inégalité h¡ h2 2 2 3   lnp1   hq   h ¡ h2   h3 . Exercice 5 (Étude concrète de l’exercice précédent) 4. En justi?ant le résultat, donner une vaUn motard réalise une expérience de vitesse leur approchée de lnp1, 1q à 10¡3 près. sur une piste rectiligne d’extrémités A et B. Sa vitesse instantanée, exprimée en km h¡1 , Exercice 2 estc donnée en fonction du temps par v pt q  a t T ¡ t où 1. En en donnant la valeur exacte, prouver la convergence de l’intégrale • a est un paramètre réel strictement posi»  V tif ; dx . 1   x2 0 • t est exprimé en heure ; 41 Chapitre I. Énoncés des épreuves I.11. Année 2005–2006 2. Déterminer la nature de l’intégrale I dé?nie par I 3.  et déterminer le développement limité à l’ordre 4 en 0 de cx dx. 1   x2 »  V 0 c 1   x2 (a) Rappeler un équivalent de lnp1   t q en 0 (on pourra s’aider d’un développement limité de lnp1   t q en 0). 0 Argsh x  x ¡ lnp1   t q dt. t3 (a) Démontrer que, en 0, tan h h3 3 3   o ph q. (b)  h  f px, y q  5 x ¡y   x y $ 0 x y si 0 sinon. 1. Déterminer et représenter graphiquement l’ensemble de dé?nition de f . 2. (c) On rappelle que tan a   tan b . 1 ¡ tan a tan b (a) Que vaut f p0, 0q ? (b) Pour tout x $ 0, calculer f p2x, xq. La fonction f est-elle continue en p0, 0q ? 3. En revenant à la dé?nition, étudier la dérivabilité partielle de f en p0, 0q par rapport à x et par rapport à y. Déduire des questions précédentes le développement limité de lnptan xq à l’ordre 3 en π . 4 4. Pour tout px, y q de R2 tel que x   y calculer fxI px, y q et fyI px, y q. 2. Étudier les branches in?nies de la courbe C représentant la fonction f dé?nie par ¢ 5   3x   opx5 q. 40 Exercice 5 Soit f la fonction dé?nie de R2 dans R par i. Rappeler le développement limité de lnp1   t q à l’ordre 3 en 0. ii. Calculer le développement limité de lnp1   tan hq ¡ lnp1 ¡ tan hq à l’ordre 3 en 0. tanpa   bq  x3 6 2. À l’aide du le développement limité à l’ordre 3 en 0 de Argsh x, étudier localement au point d’abscisse 0 la fonction Argsh. Exercice 3 1. . En déduire que celui de Argsh x à l’ordre 5 en 0 est (b) Déterminer la nature de l’intégrale »1 1  1 . f pxq  x ln 1   x 2 Année 2005–2006 Exercice 4 On rappelle que, pour tout x réel, pArgsh xqI  c 1 1   x2 23 novembre 2005 Exercice 1 . 1. Rappeler, pour α dans R, le développement limité à l’ordre 2 en 0 de p1   u q α 42 1. Résoudre les équations suivantes : x2 ¡ 1  0 et x2 ¡ 1 x¡1  0. $ 0, Chapitre I. Énoncés des épreuves I.11. Année 2005–2006 Exercice 4 Développer pa ¡ bqpa2   ab   b2 q et en déduire 2. Résoudre l’inéquation suivante 2x ¡ 3 x 2 ¥ x ¡ 1. x 2 c 1¡ 3 x . x Ñ1 1 ¡ x lim 3. Factoriser x2 ¡ 2x ¡ 3 puis résoudre l’in- Exercice 5 équation suivante : x2 ¡ 2x ¡ 3 x 2 1. En réduisant au même dénominateur prouver que ¤ 0. cos 3a sin 3a   cos a sin a Exercice 2 1. Pour θ  0, leurs de cos θ et sin θ. π π π π 6, 4, 3, 2, 2. Résoudre dans R l’équation ¡1   i 2 3 2 , z2  1¡i et z3 c π©  23 sin x ¡ 12 ¡ rappeler les va- 2. On considère les nombres complexes c z1  j  c 3   i.  cotan a ¡ tan a 3. Le but de cette question est de prouver que  1 ¡ sin x ¡ cos x  0 ðñ x  0 r2πs (a) Déterminer (par le calcul ou géométriquement) les modules et arguments de z1 , z2 , z3 . ou x  π r2πs. (I.28) 2 (a) Résoudre l’équation sin t ¡ cos t  0. (b) Poser x  2t et réécrire l’équ...