Algèbre et analyse

« • x, représentant n'importe quel élément de E , est appelé variable def Les suites Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est une partie 1 de l'ensemble N des entiers naturels.

L'ensemble d'arrivée peut être R (on parle alors de suite réelle), un ensemble de fonctions (suite de fonctions), etc.

Bien que les suites soient des fonctions , on use à leur propos d'un vocabulaire et de notations spécifiques .

• À la phrase « u est une fonction définie sur 1 et à valeurs dans R qui à un entier naturel n associe le nombre réel u (n) » on préfère « u est une suite réelle indexée sur 1 de terme général u, » .

• Les notations u: N --> R, n--> u, sont remplacées par u = (unl ,.EN • Lorsque n désigne un entier naturel fixé, u, est appelé terme de rang n ou n-ième terme de la suite u.

Composition de fondions Étant données deux fonctions f: E--+ F et g : G--> H telles que l'ensemble d'arrivée F defsoit inclus dans l'ensemble de départ G de g (ce qui se note F c G),la composée defet g, notée .fg, est la fonction qui, à tout élément x de E, associe l'image par g de l'image parfdex: .fg (x ) = g (f (x )) .

La condition F c G est nécessaire pour que tout élément de E ait une image par la composée.

Fondions monotones Si les ensembles de départ et d'arrivée d'une fonction sont munis d'une relation d'ordre (généralement notée s ou ~ pour un ensemble de nombres , on peut définir les fonctions monotones, croissantes ou décroissantes .

Une fonction est dite croissante si les images d 'éléments de l'ensemble de départ sont dans le même ordre que leurs antécédents .

Elle est dite décroissante dans le cas où elle renverse cet ordre .

Dans ces deux cas, elle est dite monotone .

REPRtSENTATIONS GIIAPHIQUES L'ensemble Rest usuellement représenté sous la forme d'une droite horizontale (« droite des réels») sur laquelle sont placés un point 0 correspondant au nombre 0 et à sa droite un point 1 correspondant au nombre 1.

Ensuite , tous les points de la droite correspondent à des nombres réels (le point situé au milieu de 0 et 1 correspond à 0,5 , le symétrique de 1 par rapport à 0 à -1, etc.) .

y A(2 ;3) ---- , ' 2 La donnée de deux droites perpen ­ diculaires similaires à la «droite des réels » (horizontale : 0 2 x axe des abscisses ; verticale : axe des ordonnées) permet de r epérer chaque point du plan par un couple de réels .

C'est le système des coordonnées cartésiennes .

On peut associer (bijectivement) à chaque point du plan un couple de nombres , abscisse et ordonnée, correspondant respectivement à la projection sur leur a xe éponyme .

Ce couple est appelé coordonnées du point.

Le point d 'intersection des deux axes , généralement nommé o.

correspond au couple (O; 0), il est appelé origine du repère .

L'ensemble du dispositif s'appelle repère du plan .

y= x 2 y=fX y=x Dans un plan muni d'un tel repère la représentation graphique ou graphe d'une fonctionf : R--> Rest l'ensemble des points de coordonnées (x; y ) tels que y = f(x ).

On a représenté ici les graphes des fonctions de base X---'~>X , X-+J! et X-+ v X.

CALCUL DIFftRENTIEL ET INrtCRAL Le calcul différentiel et intégral, ou calcul infinitésimal, permet l'étude des variations des fonctions .

Son importance en physique est primordiale .

Notion de limite Limite d'une suite Une suite réelle u = (u,) nEN est dite convergente s 'il existe un réel / tel que les terme s u, de la suite « s'approchent autant qu'on veut » de 1 pourvu que n soit « assez grand ».

En traduisant en français la définition formelle logique, on obtient : « Étant donnée une distance , aussi petite soit-elle , il existe un rang à partir duquel les termes u, se trouvent tous à une distance de t inférieure à la distance fixée ».

La suite est dite convergente vers 1 et le nombre test appelé limite de la suite u; on note li1 n Un;;;; f 0-++ 00 -lire « u converge vers 1 quand n tend vers plus !Infini».

Si la suite n 'est pas convergente , elle est dite divergente .

Définition et convergence d'une série Étant donn ée une suite réelle u = (u,) nEN• on appelle s érie de terme général un la suite indexée sur N de terme général ,,., Sn= ~u i,où •=o '""" kolti = tto + ...

+Un désigne la somme des n + 1 premiers termes de la suite u (somme partielle, somme à l'ordre n).

La série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles (Sol nEN est convergente ; sa limite est alors appelée somme de la série et se note Un exemple de série convergente est la série de terme général1f2 n dont la somme est égale à 1 comme on peut le voir grace à la figure suivante : En plaçant dans un rectangle surface égale à 1 des d ' aires moiti é, de moiti é, etc., la limite », tous les rectangle s d'aires 1/2n recomposent le grand .

Ce résultat s'étend aux séries - 1 R admet une limite finie en + co -lire « plus l'infini » -s'il existe un nombre réel/ dont les images f (x) de x part se « rapprochent » de plus en plus lorsque x« grandit » , ce qu'on note lim f(x) =l +co lire «ftend vers t en plus l'infini ».

On définit de même la limite de fen -co.

Graphiquement la courbe représentative de la fonction s 'approche sans cesse d'une droite horizontale (y=() à mesure que l'on s'éloigne de l'origine du repère .

y y=~ 0 x Cette droite est appelée asymptote horizontale de la fonction .

Ainsi la fonction inverse , définie sur l'ensemble R * des nombres réels non nuls par x--+ 1/x, admet l'a xe des abscisses comme a symptote horizontale .

x Dans le cas où les images f (x) de x par f prennent des valeurs aussi « grande s » que l'on veut lorsque x « augm e nte » on dit que f tend ve rs + co en + oo.

Dan s ce cas il arrive que f admette une as ymptote oblique (s i s a courbe s'approche sans cesse d'une droite oblique sans jamais l'atteindre ), ou une courbe asymptot e.

Calcul différentiel Continuité d 'une fonction Une fonction [: 1--+ Rest dite continue en un point x0 E 1 si elle admet une limite en x0 et que lim f(x) =f(x 0 ) X-+Xo Une fonction est dite continue tout court quand elle est continue en tout point de son ensemble de d épart .

La courbe d 'une telle fonction est une ligne continu e au sens usuel.

Dérivabil ité d'une fonction Nous nous limiterons au cas où f est définie sur un intervalle deR ( un ensemble de nombres réels x tels que a < x < b, où a et b sont des r éels) noté 1 a , b [.

Le taux de variation d'une fonction f : 1 a, b [--> R en un point x0 de 1 a, b [ est la fonct ion définie sur l'ensemble R * des nombres réels non nuls par h f(x 0+h) -J(x 0) --> h Graphiquement c'est la pente d'une corde joignant les points ( x0;J(x0)) et (x0 + h ;J(x0 + h)) .

La fonction fest dite dérivable en x0 si son taux de variation en x0 admet une limite en zéro, cette limite est appelée dériv ée de la fonction (x0;J(x0)) en x0 et est notée f'(x 0 ) -lire « fprime de x indice zéro ».

Graphiquement cela signifie que la courbe représentative de f admet une tangente au point (x0;J(x 0)), de pente f'(xo) .

Une fonct ion définie sur 1 a, b [ est dérivable si elle est dérivable en tout point de 1 a, b [ ; on appelle alors fonction dérivée defia fonction } définie sur 1 a, b [ par x--+ f'(x) .

Dans la pratique , le calcul d'une fonction dériv ée s ' obtient en décomposant la fonction en sommes et produits de fonctions connues, dites fonctions de référence .

Application à l'étude d 'une fonction L'utilisation de la fonction dérivée , lorsqu 'elle existe , permet de connaître les variations d'une fonction.

Celle -ci est croissante sur les intervalles où sa dérivée est positive, et décrois sante sinon.

Les valeurs où la dérivée s'annule sont les abscisses de points de la courbe où la tangente est horizontale .

Y maximum f>O Lorsque la dériv ée s'annule en changeant de signe , la variation de la fonction change de nature : si elle devient crois sante aprè s avoir été d écroissante on dit qu'elle atteint un minimum local, e t un m aximum local en cas contraire .

Méthodes d 'appro ximation En algèbre , la résolution d'une équation donnée consiste à prouver l'existence de solution et à en déterminer le nombre ou la forme générale.

Mais du po int de vue analytique , cela ne suffit pas: on souhaite utiliser ce nombre , et pour cela obtenir une méthode permettant d 'approcher le nombre d'aus si près qu'on le désire , le plus rapidement possible.

Le probl ème consiste donc , pour une équation donn é ef(x) =o.

à trouver une suite (xnl n conver geant rapidement vers la solution .

Une première étape consiste à trouver deux nombres a0 et b0 tels que f(a 0).f(b 0 ) < 0 O'une des images est négative et l'autre positive ) .

Si la fonction est continue , cela assure l'existen c e de soluti o n ( car la courbe ne peut « sauter » l'axe des x); si elle est monotone , l'unicité et un premier encadrement de la solution entre a0 etb0 .

La méthode l a plus simple consiste , à chaque étape , à c alculer l'imag e du milieu c, de [a,; b,J : si elle est du même signe quef (a,), la fonction s'annule donc entre c , et b,.

On pose donc a , • 1 = C , et b00 1 = b, (si la fonction change de signe entre a, et cov on pose a00 1 =a, et b, • 1 = c,J et on itère l'opération jusqu 'à obtenir la précision (différence entre a, et bol désirée.

Cette méthode, appelée dichotomie (du grec dikhotomia couper en deux ) , est simpl e mais très lente.

Quand la fonction est dérivable , il en e xiste de plus effic aces.

x la méthode de Newton La méthode de Newton , ou m éthode des tangente s, est l'une d'elles: partant d 'un point arbitraire x ..

on calcule à chaque étape l'inter section de la tangente à la courbe au point d'abscisse x, avec l'axe des abscisses.

La tangen te étant proche de la courbe, cette inter section est proche de celle de la courbe.

En itérant ce procéd é , on converge très vite vers la solution .

La différence des deux méthodes est appréciab le : pour approcher '1/2 (avec la fonctio n x--> x'-2),1a méth ode de Newton donne au quatrième pas x _ill_ , -408 (c 'est l'approximation de Baudhayana ) soit 5 décimales e xactes ; la dichotomie au même stade ne fournit que l'encadrement: 1,375 < '1/2 < 1.4375 : la première décimale n 'est pas encore connue .

Calcul intégral Intégrale d'une fonction y=f(x) 0 c L'int égrale d 'une fonction f: 1 a, b [--+ R entre deux éléments c et d de 1 a , b [ correspond graphiquement à l 'aire limitée par la courbe deJ.I'axe des abscisses et les deux droit e s verticales d 'abscis ses cet d, avec la convention de signe suivante : s i c < d, on compte positivement l'aire située au-dessus de l 'axe des abscisses , n égativem ent celle au-dessous (et l 'inverse s i c > d).

On la note [t(x)dx .

Primitive d 'une fonction Étant donn ée une fonct ion f: 1--> R, on appelle primitive def to ute fonct ion F : 1--+ R telle que F' =J Les primiti ves d 'une fonction sont identiques à une constante près.

Lorsqu'une fonction fadmet une primitive F on a d c f(x) dx=F (d)- F (c).. »