Algèbre et analyse

« • x, représentant n'importe quel élément de E, est appelé variable de f Les suHes Une suite est une fonction dont l'ensemble de départ est une partie I de l'ensemble N des entiers naturels.

L'ensemble d'arrivée peut être R (on parle alors de suite réelle), un ensemble de fonctions (suite de fonctions), etc.

Bien que les suites soient des fonctions, on use à leur propos d'un vocabulaire et de notations spécifiques.

•A la phrase• u est une fonction définie sur I et à valeurs dans R qui à un entier naturel n associe le nombre réel u (n) • on préfère • u est une suite réelle indexée sur Ide terme général Un•.

• Les notations u : N -+ R.

n -+ u.

sont remplacées par u=(u,J oEN • Lorsque n désigne un entier naturel fixé, Un est appelé terme de rang n ou n-ième terme de la suite u.

COlllpOSitlon de fonctions Étant données deux fonctions/: E -> F etg: G-> Htelles que l'ensemble d'arrivée F de/soit inclus dans l'ensemble de départGdeg (ce qui se note F c G), la composée defetg, notée f'g, est la fonction qui, à tout élément x de E, associe l'image par g de l'image parfdex : f'g (x) =g (f(x)) .

La condition F c G est nécessaire pour que tout élément de E ait une image par la composée .

FoadlHs -aoto11es Si les ensembles de départ et d'arrivée d'une fonction sont munis d'une relation d'ordre (généralement notée :s ou ~ pour un ensemble de nombres, on peut définir les fonctions monotones, croissantes ou décroissantes.

Une fonction est dite croissante si les images d'éléments de l'ensemble de départ sont dans le ~me ordre que leurs antécédents.

Elle est dite décroissante clans le cas où elle renverse cet ordre .

Dans ces deux cas, elle est dite monotone .

llEPltSENTATIONS GIAPlllQUES L'ensemble Rest usuellement représenté sous la forme d'une droite horizontale ( • droite des réels >) sur laquelle sont placés un point o correspondant au nombre o et à sa droite un point I correspondant au nombre 1.

Ensuite, tous les points de la droite correspondent à des nombres réels (le point situé au milieu de o et I correspond à 0,5, le symétrique de I par rapport à o à -1, etc.) .

y La donnée de deux droites perpen- A(2;3) diculaires - - -- 1 similaires à la 2 • droite des 1 réels» (horizontale: o x axe des abscisses; verticale : axe des ordonnées) permet de repérer chaque point du plan par un couple de réels .

C'est le système des coordonnées cartésiennes.

On peut associer (bijectivement) à chaque point du plan un couple de nombres, abscisse et ordonnée, correspondant respectivement à la projection sur leur axe éponyme.

Ce couple est appelé coordonnées du point.

Le point d'intersection des deux axes, généralement nommé 0, correspond au couple (O; O), il est appelé origine du repère.

L'ensemble du dispositif s'appelle repère du plan .

y =x2 y y=fX y=x X Dans u n plan muni d'un tel repère la représentation graphique ou graphe d'une fonction/: R-> Rest l'ensemble des points de coordonnées (x; y) tels quey=f(x).

On a représenté ici les graphes des fonctions de base X->X, X-+:i' et X-+ "\/x.

CAi.cul DIFÂIENTIEL n INTKIAL Le calcul différentiel et intégral, ou calcul infinitésimal.

permet l'étude des variations des fonctions.

Son importance en physique est primordiale.

Notion de limite Limite d'une suite Une suite réelle u = (u,J •EN est dite convergente s'il existe un réel ltel que les termes un de la suite• s'approchent autant qu'on veut • del pourvu que n soit• assez grand •.

En traduisant en français la définition formelle logique, on obtient : • Étant donnée une distance, aussi petite soit-elle, il existe un rang à partir duquel les termes un se trouvent tous à une distance de I inférieure à la distance fixée •.

La suite est dite convergente vers I et le nombre lest appelé limite de la suite u; on note llm Un=I 0-++ OO -lire « u converge vers I quand n tend vers plus l'infini •.

Si la suite n'est pas convergente, elle est dite divergente .

Définition et convergence d'une série Étant donnée une suite réelle u = (u,J oEN• on appelle série de tenne général un la suite indexée sur N de terme général l•n Sn='\' U;, OÙ ~.

/sn ~Uj=U 0+ ...

+Un ~ désigne la somme des n + 1 premiers termes de la suite u (somme partielle, somme à l'ordre n) .

La série est dite convergente si la suite de ses sommes partielles (s,J ..e< est convergente; sa limite est alors appelée somme de la série et se note convergent vers _l_.

(1-a) Limite en un point d'une fonction Une fonction/: E -+ R admet une limite en un point x0 E E si les images /(x) de x par /se• rapprochent• d'un certain nombre / lorsque x se • rapproche • de xO, ce qui se note lim f(x) =I X-+Xo lire •/tend vers I quand x tend vers x indice zéro •.

Comportement asymptotique d'une fonction On dit qu'une fonction/: R-+ R admet une limite finie en + oo -lire • plus l'infini » -s'il existe un nombre réel ldont les imagesf(x) dex par/ se • rapprochent • de plus en plus lorsque x •grandit».

ce qu'on note llm f(x)=I +oo lire •/tend vers I en plus l'infini •.

On définit de même la limite defen-oo.

Graphiquement.

la courbe représentative de la fonction s'approche sans cesse d'une droite horizontale (y= 1) à mesure que l'on s'éloigne de l'origine du repère.

y=~ X Cette droite est appelée asymptote horizontale de la fonction.

Ainsi la fonction inverse, définie sur l'ensemble R* des nombres réels non nuls par x-+ lfx, admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale.

y ~ y=x12 X Dans le cas où les images f (x) de x par f pren nent des valeurs aussi • grandes• que l'on veut lorsque x •augmente • on dit que f tend vers+ oo en+ oo.

Dans ce cas il arrive que/ admette une asymptote oblique (si sa courbe s'approche sans cesse d'une droite oblique sans jamais l'atteindre), ou une courbe asymptote.

Calcul dlflérelltiel Continuité d'une fonction Une fonction f: I -+ R est dite continue en un point x0 E I si elle admet une limite en x0 et que ltm f(x)=f(xJ X->Xo '\' u; M, Une fonction est dite continue tout court quand elle est continue en tout Un exemple de série convergente est la point de son ensemble de départ La série de terme général 1/2n dont la courbe d'une telle fonction est une somme est égale à 1 comme on peut le ligne continue au sens usuel.

voir grâce à la figure suivante: Dérivabilité d'une fonction 1 En plaçant dans un rectangle Nous nous limiterons au cas où [est de surface égale à 1 des définie sur un intervalle de R (un rectangles d'aires moitié, ensemble de nombres réels x tels que puis moitié de moitié, etc., a < x < b, où a et b sont des réels) on voit noté ) a, b [.

qu' •à la limite •,tous les Le taux de variation d'une fonction petits rectangles d'aires 1/2n f:) a, b [-> R en un point Xo de 1 recomposent le grand.

) a, b [est la fonction définie sur i Ce résultat s'étend aux séries l'ensemble R* des nombres réels non • de terme général a' où a est nuls par un réel différent de zéro tel b f{xg + b)-f(,xJ que-lO fO Lorsque la dérivée s'annule en changeant de signe, la variation de la fonction change de nature: si elle devient croissante après avoir été décroissante on dit qu'elle atteint un minimum local, et un maximum local en cas contraire.

Méthodes d'approximation En algèbre, la résolution d'une équation donnée consiste à prouver l'existence de solution et à en déterminer le nombre ou la forme générale.

Mais du point de we analytique, cela ne suffit pas: on souhaite utiliser ce nombre, et pour cela obtenir une méthode permettant d'approcher le nombre d'aussi près qu'on le désire, le plus rapidement possible.

Le problème consiste donc, pour une équation donnée f (x) = 0, à trouver une suite (x,J nEN convergeant rapidement vers la solution.

Une première étape consiste à trouver deux nombres a0 et b0 tels que f(a 0).J(b 0 ) < 0 O'une des images est négative et l'autre positive).

Si la fonction est continue, cela assure l'existence de solution (car la courbe ne peut• sauter• l'axe des x); si elle est monotone, l'unicité et un premier encadrement de la solution entre a0etbg.

La méthode la plus simple consiste, à chaque étape, à calculer l'image du milieu en de [a,; b.J : si elle est du même signe quef(a,J, la fonction s'annule donc entre en et bn.

On pose donc an+ 1 = Cn et bn ., =b, (si la fonction change de signe entre an et c,,.

on pose an+ 1 =an et bn •• =c,J et on itère l'opération jusqu'à obtenir la précision (différence entre an et b,J désirée.

Cette méthode, appelée dichotomie (du grec dikhotomia couper en deux), est simple mais très lente.

Quand la fonction est dérivable, il en existe de plus efficaces.

X1 X la méthode de Newton La méthode de Newton, ou méthode des tangentes, est l'une d'elles: partant d'un point arbitraire x., on calcule à chaque étape l'intersection de la tangente à la courbe au point d'abscisse xn avec l'axe des abscisses.

La tangente étant proche de la courbe, cette intersection est proche de celle de la courbe.

En itérant ce procédé, on converge très vite vers la solution.

La différence des deux méthodes est appréciable: pour approcher y2 (avec la fonctionx-> :i'-2), la méthode de Newton donne au quatrième pas X _fil 3 -408 (c'est l'approximation de Baudhayana) soit 5 décimales exactes; la dichotomie au même stade ne fournit que l'encadrement: 1,375 < y2 < 1,4375 : la première décimale n'est pas encore connue .

Calcul l11tégral Intégrale d'une fonction y=f(x) 0 c L'intégrale d'une fonction f:] a, b [-+ R entre deux éléments c et d de ) a, b [ correspond graphiquement à l'aire limitée par la courbe de/, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'abscisses cet d, avec la convention de signe suivante: si c < d, on compte positivement l'aire située au-dessus de l'axe des abscisses, négativement celle au-dessous (et l'inverse si c > d).

On la note {t(x)dx.

Primitive d'une fonction ~tant donnée une fonction/ : I-+ R.

on appelle primitive de/toute fonction F:I-+ R telle queF =/ Les primitives d'une fonction sont identiques à une constante près.

Lorsqu'une fonction/admet une primitive F on a d f(x) dx=F (d)-F (c).

c. »