Aire maximal dun polygone

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1. b) D'après la gure créée sous Geoplan, on peut dire que l'aire du triangle ABC est maximale pour x = BC = 5. Puisque le périmètre du triangle est 15 et que le triangle est isocèle en A, on en déduit que le triangle ABC est équilatéral. En eet, AB = AC = 15−BC 2 = 15−5 2 = 5, c'est-à-dire, AB = AC = BC. 2. Démonstration a) Puisque le périmètre du triangle ABC est 15, x prend ses valeurs dans l'intervalle · 0 ; 15 2 ¸ . Aux bornes de cet intervalle, le triangle est aplati. En eet, d'après l'inégalité triangulaire, on a BC 6 AB + AC ⇔ BC 6 15 − BC ⇔ BC 6 15 2 . b) Dans le triangle ABC, isocèle en A, H est le milieu du côté [BC]. On en déduit que [AH] est la hauteur issue de A. D'où A(x) = BC × AH 2 ⇔ A(x) = x × AH 2 Le triangle AHB est rectangle en H. D'après le théorème de Pythagore, AH2 + BH2 = AB2 (1) H est le milieu de [BC], donc BH = BC 2 = x 2 ABC est un triangle isocèle en A, donc AB = 15 − x 2 Dans (1), AH2 + ³x 2 ´2 = µ 15 − x 2 ¶2 ⇔ AH2 = 225 − 30x + x 2 4 − x 2 4 ⇔ AH2 = 225 − 30x + x 2 − x 2 4 ⇔ AH2 = 225 − 30x 4 ⇔ AH = √ 225 − 30x 2 Épreuve pratique 1/3 D'où A(x) = x × √ 225 − 30x 2 2 ⇔ A(x) = x 4 × √ 225 − 30x ∀x ∈ · 0 ; 15 2 ¸ c) • x 7−→ 225 − 30x est dénie et dérivable sur · 0 ; 15 2 · , et, 225 − 30x > 0 ∀x ∈ · 0 ; 15 2 · . x 7−→ √ x est dérivable sur ]0 ; +∞[. Donc la fonction x 7−→ √ 225 − 30x est dénie et dérivable sur · 0 ; 15 2 · . On en déduit que la fonction A est dérivable sur · 0 ; 15 2 ·