trompette de Gabriel

« Un volume fini de surface infinie : comment démontrer le paradoxe du peintre grâce aux intégrales et à la trompette de Gabriel. Introduction : Les mathématiques sont un monde à part, pouvant refléter et s'apparenter à notre monde jusqu'à une certaine limite car possédant des objets paradoxaux et impossibles à concevoir dans notre monde.

L’un d’entre eux est la trompette de Gabriel qui possède un volume fini mais une surface infini, je vais donc m'efforcer durant cette oral à vous le démontrer.

Pour cela je vais tout d’abord présenter ce qu'est la trompette de Gabriel de manière historique et comment elle se construit, puis dans un second temps je présenterais ce qu'est une intégrale pour enfin parvenir à une démonstration mathématique de mes dires en calculant le volume et la surface de la trompette de Gabriel. I) La trompette de Gabriel : - - - Cette figure a été inventée vers 1640 par l'Italien Evangelista Torricelli.

Ce résultat a eu beaucoup de retentissement au XVII e siècle, parmi les mathématiciens et les philosophes tels que Descarte et Pascal tant le paradoxe semblait insaisissable. Son nom lui vient de l'ange Gabriel qui, dans certaines traditions religieuses, annonce le Jugement dernier en soufflant dans une trompette. De cette trompette naît le paradoxe du peintre qui nous dit que nous pourrions remplir cette trompette d’un volume fini de peinture mais qu’il nous faudrait un volume infini de peinture pour pouvoir peindre sa surface. Pour pouvoir construire cette fameuse trompette de Gabriel il nous faut prendre la fonction qui à x associe 1/x c’est-à-dire que nous gardons sur l’intervalle ]1;+∞[ et ensuite, il nous faut effectuer une rotation autour de l’axe des abscisses ce qui nous donne donc une forme de trompette. II) Intégral et Intégral de Riemann : - - - L'intégrale est souvent interprétée comme l'aire algébrique entre la courbe représentative de la fonction et l'axe des abscisses. En pratique une intégrale se calcule par F(b)-F(a) pour une fonction définie sur un intervalle [a;b] et elle se note : En réalité, nous appelons ce genre de calcul l’intégrale mais nous devrions plutôt l’appeler l’intégrale de Riemann car c’est lui qui a introduit ce procédé que nous utilisons en terminale.

Sa méthode était de diviser l’aire se situant entre la courbe et l’axe d' abscisse en une infinitée de rectangles infiniment fin car possédant une aire facile à déterminer, et enfin d'additionner toutes ces aires pour déterminer l’aire se situant donc entre la courbe et l’axe d' abscisse On retrouve cette idée dans le symbole de l’intégrale qui est un S stylisée symbolisant la somme de tous ces.... »