Travaux Personnels Encadrés: La mesure de la Terre dans l'histoire

« continentales et océaniques. Ici, les irrégularités sont évidemment très amplifiées. II) Histoire de la «Géométrie» (sens étymologique) a) Antiquité -L'histoire attribue à Ératosthène la première mesure précise de la circonférence de la Terre.

Ératosthène était un mathématicien, astronome et philosophe grec quivécut de 276 à 194 avant Jésus-Christ.

Il fut appelé à Alexandrie, en Égypte, vers 235 avant Jésus-Christ, où il devint bibliothécaire en chef de la célèbrebibliothèque.

Il y demeura jusqu'à la fin de sa vie.

Il a écrit un livre de géographie sur la mesure de la dimension de la Terre.

Ce livre est aujourd'hui disparu, mais ilnous en reste quelques transcriptions datant du Moyen Âge. -Ératosthène avait remarqué qu'a midi le soleil était exactement au zénith au midi solaire puisque alors le fond des puits étaient éclairés.

Il remarqua aussi qu’aumême moment à Alexandrie il y avait une ombre.

Il eu alors deux choix : soit la Terre était plate et le soleil était si rapproché que ses rayons n’étaient pas parallèle oualors la Terre était ronde et le soleil si éloigné que ses rayons sont parallèles : [pic] -Il choisit de se ranger à l’avis de la majorité (cf.

géodésie) et choisit la deuxième solution. -Il entreprit alors de calculer de combien de degrés le soleil étaient au sud du zénith avec une méthode de triangulation : il mesura l'ombre d'un obélisque dont ilconnaissait la taille et puis ainsi avec la tangente calculer l'angle (ici a) que les rayons du soleil faisaient avec l’obélisque. Tan a = côté opposé / côté adjacentTan a = longueur de l’ombre / longueur du gnomon=> Eratosthène trouve a = 7.2 ° -Les rayons du soleil étant parallèles en arrivant sur Terre, l'angle a est aussi l'angle que fait l'axe du gnomon avec l'axe du puit, où encore l’angle correspondant à ladifférence de latitude entres les deux villes, car ce sont deux angles alternes internes.-Ayant calculé cette angle, il ne lui restait plus qu’à estimer la distance D entre Alexandrie et Assouan : la ville d'Alexandrie est située sur le bord de la Méditerranée,à l'embouchure du Nil, au sud, sur la rive droite du Nil, onRetrouvait la ville de Syène, aujourd'hui Assouan (où se situe le fameuxBarrage).

Eratosthène estime la distance entre les deux villes à 5000 stades soit environ 787.5 kilomètres avec le temps mis par des caravanes de chameaux pourparcourir le trajet … On peut voir ici que les deux villes ne sont pas tout à fait sur le même méridien : c’est un facteur d’erreur. Il ne lui reste plus qu’à faire un produit en croix et ainsi associé l’angle a à la distance D et la circonférence de la Terre avec l’angle associé a un tour complet : 360. a D360° circonférence de la Terre Donc la circonférence de la Terre est égale à : (360° x D) / a360° x 787.5 / 7.2° = 39 375 Km (250 000 stades) La valeur se trouve très proche de la valeur reconnue aujourd’hui de 40 074 Km. Il y a plusieurs causes d’erreur : -déjà la situation des villes, elles ne sont pas tout à fait sur le même méridien (2° de différence)-il y a aussi la précision de l’instrument de mesure, le gnomon et les calculs faits avec celui-ci sont peu précis. -Deux siècles plus tard, Posidonius (contemporain de Pompée) vérifia les calculs d’Eratosthène avec une autre méthode.

Il avait remarqué que l'étoile Canopus(constellation de la Carène) ne se montre que pendant quelques instants, au-dessus de l'horizon de Rhodes, et qu'elle ne quitte pas ce plan, tandis qu'à Alexandrie elleest élevée de 7°30’ quand elle passe au dessus du méridien (c’est-à-dire quand elle est au plus haut dans le ciel).

La différence de latitude entre les deux villes estdonc de 7°30’.

Il considérait les deux villes sur le même méridien et distante de 5000 stades soit 787.5 (comme entre Alexandrie et Assouan), mais cette distance esttrès approximative, plus encore que celle entre Alexandrie et Assouan puisque ce qui sépare Alexandrie de Rhodes est la mer ! [pic] Comme Eratosthène il calcule ensuite la circonférence de la Terre avec la différence de latitude, la distance entre ces deux villes et l’angle correspondant à un tourcomplet d’un cercle : 360°. 7°30’ 787.5360° circonférence de la Terre 360° x 787.5 / 7,5° = 37 800 Km (240 000 stades) Son résultat est inférieur à celui d’Eratosthène, sûrement à cause de l’estimation douteuse de la distance entre Alexandrie et Rhodes et aussi parce que les stadesutilisés par les deux géographes ne sont pas forcément les mêmes … Expérience avec un gnomon : Nous avons nous aussi voulut calculer la circonférence de la terre avec nos propres moyens et sous nos latitudes.

Nous avons choisit la méthode d'Eratosthène qui estnéanmoins un peu modifié du fait que nous ne n'avons pas fait les mesures le 21 juin et en Egypte (ce qui permet au savant de n'avoir qu'a mesurer qu'une ombre etnon deux puisque les rayons du soleil, à cette époque et à Assouan, éclaire le fond des puits)!Nous avons pris des mesures dans deux villes différentes de l’hémisphère nord (l’une en Haute- Saône et l’autre dans le var).Pour cette expérience, nous avons mesuré la longueur des ombres des bâtons plantés perpendiculairement dans le sol de deux villes différentes le même jour, à lamême heure (pour cela il fallait du soleil dans ces deux villes).. »